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Fahmio
Fahmio
Bac Tunisie
Mathématiques/ED-F
ED-FÉquations différentielles

De l'équation différentielle y′=ay+by'=ay+b à l'expression de ff via f′f'

Idée directrice

Troisième angle du corrigé SE contrôle 2017 : partir de l'équation différentielle y′=ay+by'=ay+b et de la condition f(0)=0f(0)=0, f′(0)=12f'(0)=\frac12, pour exprimer ff en fonction de f′f', déterminer aa, puis écrire explicitement la solution f(x)=2−2e−0,25xf(x)=2-2e^{-0{,}25 x}.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« y′=ay+by'=ay+b »

« f(x)=1a(f′(x)−12)f(x)=\frac1a(f'(x)-\frac12) »

« Solution générale puis condition initiale »

« f(x)=2−2e−0,25xf(x)=2-2e^{-0{,}25 x} »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode
  • Toujours partir de f′=af+bf'=af+b pour lire bb en 00.
  • Intégrer la relation f=1a(f′−12)f=\frac1a(f'-\frac12) pour relier l'aire à f(4)f(4).
  • Terminer par solution générale puis condition initiale.
Les pièges à vérifier dans ta démarche

Erreur de signe sur aa en résolvant S=1a(f(4)−2)S=\frac1a(f(4)-2). Oublier que f(0)=0f(0)=0 dans le crochet.

Sujet principal

Exercice — exprimer ff à partir de y′=ay+by'=ay+b (esprit SE contrôle 2017)

5 questionsCorrigé masqué

Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R}, solution de l'équation différentielle y′=ay+by'=ay+b avec a≠0a\neq 0. On donne f(0)=0f(0)=0 et f′(0)=12f'(0)=\frac12.

  1. Montrer que b=12b=\frac12 et que pour tout xx, f(x)=1a(f′(x)−12)f(x)=\dfrac{1}{a}\Bigl(f'(x)-\dfrac12\Bigr).
  2. En déduire que si S=∫04f(x) dxS=\displaystyle\int_0^4 f(x)\,\mathrm{d}x et si f(4)=2−2e−1f(4)=2-2e^{-1}, alors S=1a(f(4)−2)S=\dfrac{1}{a}\bigl(f(4)-2\bigr).
  3. Sachant que S=8e−1S=8e^{-1}, déterminer aa.
  4. Écrire l'équation différentielle obtenue, donner sa solution générale, puis la solution ff vérifiant la condition initiale f(0)=0f(0)=0.
  5. Calculer f(3)f(3) et commenter (modèle de croissance d'une plante).
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : évaluer l'équation en 00, puis isoler ff. f′(0)=af(0)+b⇒b=12f'(0)=af(0)+b\Rightarrow b=\tfrac12 ; f(x)=1a(f′(x)−12)f(x)=\dfrac1a\big(f'(x)-\tfrac12\big).

2. Idée : intégrer la relation précédente ; ff est une primitive de f′f'. S=1a([f]04−12⋅4)=1a(f(4)−2)S=\dfrac1a\Big([f]_0^4-\tfrac12\cdot4\Big)=\dfrac1a\big(f(4)-2\big) car f(0)=0f(0)=0.

3. Idée : reporter les valeurs. 8e−1=1a(−2e−1)  ⟺  a=−148\e^{-1}=\dfrac1a(-2\e^{-1})\iff a=-\tfrac14.

4. (E):y′=−0,25y+12(E):y'=-0{,}25y+\tfrac12 ; solution générale Ce−0,25x+2C\e^{-0{,}25x}+2 ; f(0)=0f(0)=0 donne f(x)=2−2e−0,25xf(x)=2-2\e^{-0{,}25x}.

5. Idée : lire le modèle. f(3)≈1,05 mf(3)\approx1{,}05\ \mathrm m ; la croissance ralentit vers le plateau 2 m2\ \mathrm m, hauteur limite du plant de maïs dans ce modèle.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill ED-F.1 — de y′=ay+by'=ay+b à aa et bb
Entraînement 01 / 01

Drill ED-F.1 — de y′=ay+by'=ay+b à aa et bb

3 questionsCorrigé masqué

Soit ff solution de l'équation différentielle y′=ay+by'=ay+b, avec f(0)=0f(0)=0 et f′(0)=12f'(0)=\frac12.

  1. Déterminer bb.
  2. Exprimer f(x)f(x) en fonction de aa et f′(x)f'(x).
  3. Si de plus a=−14a=-\frac14, écrire ff sous forme explicite après imposition de la condition initiale f(0)=0f(0)=0 sur la solution générale.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : équation en 00. b=12b=\tfrac12. 2. f(x)=1a(f′(x)−12)f(x)=\dfrac1a\big(f'(x)-\tfrac12\big). 3. Idée : constante −b/a=2-b/a=2, homogène Ce−x/4C\e^{-x/4}, condition initiale. f(x)=2−2e−x/4f(x)=2-2\e^{-x/4} ; contrôle : f′=12e−x/4=−14f+12f'=\tfrac12\e^{-x/4}=-\tfrac14f+\tfrac12.

Relier ce raisonnement au bac

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