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Fahmio
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Bac Tunisie
Mathématiques/S-D
S-DIsométries et similitudes

Composer et conjuguer : nature de la composée

Idée directrice

La nature d'une composée d'isométries se lit sur la parité : déplacement ∘\circ déplacement == déplacement, déplacement ∘\circ antidéplacement == antidéplacement. Deux rotations d'angles opposés se composent en une translation ; la conjugaison σ∘s∘σ\sigma\circ s\circ\sigma conserve le type. L'argument d'identification du bac est constant : deux isométries de même nature qui coïncident en deux points distincts sont égales.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« former f−1∘gf^{-1}\circ g » ; « deux isométries qui coïncident en deux points » ; « ff et rr sont deux rotations d'angles opposés » ; « en déduire que la composée est une translation »

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  • Parité : déplacement ∘\circ déplacement == déplacement ; déplacement ∘\circ antidéplacement == antidéplacement ; antidéplacement ∘\circ antidéplacement == déplacement.
  • Deux rotations d'angles opposés ⇒\Rightarrow translation (évaluer sur un point pour trouver le vecteur).
  • Identification : deux isométries de même type (deux déplacements, ou deux antidéplacements) qui coïncident en deux points distincts sont égales.
  • Conjuguée σ∘u∘σ\sigma\circ u\circ\sigma : même « type » que uu ; l'angle d'une rotation change de signe si σ\sigma est une réflexion.
Les pièges à vérifier dans ta démarche

Se tromper de parité (oublier qu'un antidéplacement « compte pour un »). Identifier deux isométries qui coïncident en un seul point. Composer f∘rf\circ r en oubliant l'ordre (l'ordre compte pour le vecteur de la translation, pas pour le type « translation »).

Sujet principal

Exercice — composées, inverse et identification par deux points

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit OABCOABC un carré de sens direct. On note II le milieu de [OB][OB]. Soit ff la rotation (déplacement) de centre II et d'angle π2\dfrac{\pi}{2} telle que f(O)=Af(O)=A et f(A)=Bf(A)=B. Soit ss la réflexion (antidéplacement) d'axe (OA)(OA). Soit rr la rotation (déplacement) de centre OO et d'angle −π2-\dfrac{\pi}{2}. On travaille uniquement avec des isométries : déplacements (translations, rotations) et antidéplacements (réflexions, symétries glissantes).

  1. Justifier que f−1f^{-1} est un déplacement. Former la composée f−1∘sf^{-1}\circ s et montrer que c'est un antidéplacement.
  2. Calculer (f−1∘s)(O)(f^{-1}\circ s)(O) et (f−1∘s)(A)(f^{-1}\circ s)(A). Comparer les médiatrices de [O (f−1∘s)(O)][O\,(f^{-1}\circ s)(O)] et de [A (f−1∘s)(A)][A\,(f^{-1}\circ s)(A)], puis en déduire la nature de l'antidéplacement f−1∘sf^{-1}\circ s et une construction de son axe.
  3. Montrer que ff et rr sont deux rotations d'angles opposés, puis en déduire que f∘rf\circ r est une translation. Préciser le vecteur de cette translation en évaluant (f∘r)(O)(f\circ r)(O).
  4. Former la conjuguée s∘f∘ss\circ f\circ s. Justifier que c'est un déplacement, puis préciser sa nature (rotation d'angle opposé).
  5. Dans le repère direct (O;OA→,OC→)(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}), déterminer une expression de la translation f∘rf\circ r sous la forme z↦z+bz\mapsto z+b.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : inverse d'un déplacement et parité de la composée. ff est une rotation d'angle π2\dfrac{\pi}{2} de centre II, donc f−1f^{-1} est la rotation de même point fixe II et d'angle −π2-\dfrac{\pi}{2} : c'est un déplacement. La réflexion ss est un antidéplacement. La composée d'un déplacement et d'un antidéplacement est un antidéplacement ; ainsi f−1∘sf^{-1}\circ s est un antidéplacement. f−1∘s antideˊplacement\boxed{f^{-1}\circ s\text{ antidéplacement}}

2. Idée : décider entre réflexion et symétrie glissante par le test des médiatrices. On a s(O)=Os(O)=O et s(A)=As(A)=A (points de l'axe (OA)(OA)). Comme f(O)=Af(O)=A, on a f−1(A)=Of^{-1}(A)=O, d'où (f−1∘s)(A)=f−1(A)=O(f^{-1}\circ s)(A)=f^{-1}(A)=O. De plus f(C)=Of(C)=O (quart de tour autour de II), donc f−1(O)=Cf^{-1}(O)=C et (f−1∘s)(O)=C(f^{-1}\circ s)(O)=C. L'antidéplacement g=f−1∘sg=f^{-1}\circ s envoie donc OO sur CC et AA sur OO. Or la médiatrice de [OC][OC] et celle de [AO][AO] sont deux droites distinctes (l'une est parallèle à (OA)(OA), l'autre lui est perpendiculaire), par suite gg n'est pas une réflexion : c'est une symétrie glissante. Son axe passe par le milieu de [OC][OC] et le milieu de [AO][AO]. f−1∘s=symeˊtrie glissante\boxed{f^{-1}\circ s=\text{symétrie glissante}}

3. Idée : deux rotations d'angles opposés se composent en une translation. ff a pour angle π2\dfrac{\pi}{2} et rr a pour angle −π2-\dfrac{\pi}{2} : angles opposés. La composée de deux rotations d'angles opposés est une translation. On calcule (f∘r)(O)=f(r(O))=f(O)=A(f\circ r)(O)=f(r(O))=f(O)=A car rr fixe OO. Donc f∘rf\circ r est la translation de vecteur OA→\overrightarrow{OA}. f∘r=tOA→\boxed{f\circ r=t_{\overrightarrow{OA}}}

4. Idée : conjugaison par une réflexion. ss est un antidéplacement et ff un déplacement, donc s∘f∘ss\circ f\circ s est un déplacement (deux changements d'orientation se compensent). Il fixe s(I)s(I), puisque ff fixe II et que s∘s=ids\circ s=\mathrm{id}, ce qui prouve que s∘f∘ss\circ f\circ s est la rotation de centre s(I)s(I) ; la réflexion inversant les angles orientés, son angle est −π2-\dfrac{\pi}{2}. s∘f∘s=rotation de centre s(I) et d’angle −π/2\boxed{s\circ f\circ s=\text{rotation de centre }s(I)\text{ et d'angle }-\pi/2}

5. Idée : expression d'une translation. Dans le repère direct (O;OA→,OC→)(O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}), le vecteur OA→\overrightarrow{OA} a pour affixe 11, d'où z↦z+1z\mapsto z+1 pour tOA→t_{\overrightarrow{OA}}. z↦z+1\boxed{z\mapsto z+1}

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill S-D.1 — parité : déplacement ∘ antidéplacement
Entraînement 01 / 04

Drill S-D.1 — parité : déplacement ∘ antidéplacement

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit ABCABC un triangle équilatéral de sens direct. Soit rr la rotation de centre AA et d'angle π3\dfrac{\pi}{3} (déplacement). Soit σ\sigma la réflexion d'axe (AB)(AB) (antidéplacement). On étudie la composée r∘σr\circ\sigma en tant qu'isométrie du plan.

  1. Justifier que r∘σr\circ\sigma est un antidéplacement.
  2. Calculer (r∘σ)(A)(r\circ\sigma)(A) et (r∘σ)(B)(r\circ\sigma)(B). En déduire une information sur les points fixes éventuels de cet antidéplacement.
  3. Soit g=r∘σg=r\circ\sigma. Montrer que si un antidéplacement hh vérifie h(A)=g(A)h(A)=g(A) et h(B)=g(B)h(B)=g(B), alors h=gh=g.
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1. Idée : parité des isométries. rr est un déplacement (rotation) et σ\sigma un antidéplacement (réflexion). La composée d'un déplacement et d'un antidéplacement est un antidéplacement. Donc r∘σr\circ\sigma est un antidéplacement. r∘σ antideˊplacement\boxed{r\circ\sigma\text{ antidéplacement}}

2. Idée : images de deux points de l'axe. σ(A)=A\sigma(A)=A et σ(B)=B\sigma(B)=B car AA et BB sont sur l'axe (AB)(AB), d'où g(A)=r(A)=Ag(A)=r(A)=A et g(B)=r(B)g(B)=r(B). La rotation de centre AA et d'angle π3\dfrac{\pi}{3} envoie BB sur le point B′B' tel que AB=AB′AB=AB' et (AB→,AB′→)≡π3(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB'})\equiv\dfrac{\pi}{3}. Ainsi gg fixe AA ; or un antidéplacement qui fixe un point est une réflexion, ce qui prouve que gg est la réflexion d'axe la droite passant par AA et par le milieu de [B g(B)][B\,g(B)]. g(A)=A,  g=reˊflexion\boxed{g(A)=A,\;g=\text{réflexion}}

3. Idée : unicité par coïncidence en deux points. gg et hh sont deux antidéplacements tels que h(A)=g(A)h(A)=g(A) et h(B)=g(B)h(B)=g(B) avec A≠BA\neq B. Deux antidéplacements qui coïncident en deux points distincts sont égaux, d'où h=gh=g. h=g\boxed{h=g}

2 Drill S-D.2 — deux rotations d'angles opposés → translation
Entraînement 02 / 04

Drill S-D.2 — deux rotations d'angles opposés → translation

3 questionsCorrigé masqué

Soit OO un point du plan et u⃗\vec u un vecteur non nul. Soit r1r_1 la rotation de centre OO et d'angle 2π3\dfrac{2\pi}{3} (déplacement). Soit r2r_2 la rotation de centre OO et d'angle −2π3-\dfrac{2\pi}{3} (déplacement). Soit tt la translation de vecteur u⃗\vec u.

  1. Justifier que r1∘r2r_1\circ r_2 est une translation, et préciser laquelle.
  2. Former r1∘t∘r1−1r_1\circ t\circ r_1^{-1}. Montrer que c'est une translation, et déterminer son vecteur (image de u⃗\vec u par la rotation r1r_1).
  3. Pourquoi r1∘r1r_1\circ r_1 n'est-elle pas une translation (non triviale) ? Préciser la nature de cette isométrie.
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1. Idée : angles opposés, même centre. r1r_1 et r2r_2 sont deux rotations de centre OO et d'angles opposés 2π3\dfrac{2\pi}{3} et −2π3-\dfrac{2\pi}{3}. Les angles s'ajoutent : r1∘r2r_1\circ r_2 est la rotation de centre OO et d'angle 00. Conclusion : la composée est l'identité, c'est-à-dire la translation de vecteur nul. (Si les deux centres différaient, la composée serait une translation non nulle.) r1∘r2=id=t0⃗\boxed{r_1\circ r_2=\mathrm{id}=t_{\vec 0}}

2. Idée : conjugaison d'une translation par une rotation. r1r_1 est un déplacement et tt un déplacement, donc r1∘t∘r1−1r_1\circ t\circ r_1^{-1} est un déplacement. La conjuguée d'une translation par une isométrie uu est la translation de vecteur u(u⃗)u(\vec u) (image du vecteur). Ici u=r1u=r_1, d'où le vecteur r1(u⃗)r_1(\vec u) (le vecteur tourné de 2π/32\pi/3 autour de OO). r1∘t∘r1−1=tr1(u⃗)\boxed{r_1\circ t\circ r_1^{-1}=t_{r_1(\vec u)}}

3. Idée : somme des angles. r1∘r1r_1\circ r_1 est la rotation de centre OO et d'angle 4π3≠0  [2π]\dfrac{4\pi}{3}\neq 0\;[2\pi], donc ce n'est pas une translation : c'est encore une rotation (déplacement non trivial avec un point fixe). r1∘r1=rotation d’angle 4π/3\boxed{r_1\circ r_1=\text{rotation d'angle }4\pi/3}

3 Drill S-D.3 — composée h∘rh\circ r d'une homothétie et d'une rotation de centres distincts
Entraînement 03 / 04

Drill S-D.3 — composée h∘rh\circ r d'une homothétie et d'une rotation de centres distincts

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans le plan orienté, ABCABC est un triangle équilatéral tel que AB=2AB=2 et (AB→,AC→)≡π3 [2π]\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv\frac{\pi}{3}\,[2\pi] ; GG est son centre de gravité. On note rr la rotation de centre AA et d'angle π3\frac{\pi}{3}, hh l'homothétie de centre CC et de rapport 22, et f=h∘rf=h\circ r.

  1. Montrer que ff est une similitude directe dont on précisera le rapport et l'angle.
  2. Déterminer f(B)f(B), puis montrer que f(A)f(A) est le symétrique DD de CC par rapport à AA.
  3. Soit II le milieu de [AB][AB] et Ω\Omega le symétrique de GG par rapport à la droite (AB)(AB). Montrer que Ω\Omega appartient à la médiane (CI)(CI), puis que ΩB=233\Omega B=\dfrac{2\sqrt3}{3} et ΩC=433\Omega C=\dfrac{4\sqrt3}{3}.
  4. Montrer que (ΩB→,ΩC→)≡π3 [2π]\left(\overrightarrow{\Omega B},\overrightarrow{\Omega C}\right)\equiv\frac{\pi}{3}\,[2\pi] et en déduire que Ω\Omega est le centre de ff.
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1. rr est une similitude directe de rapport 11 et d'angle π3\frac{\pi}{3}, hh une similitude directe de rapport 22 et d'angle 00 : f=h∘rf=h\circ r est une similitude directe de rapport 2×1=22\times1=2 et d'angle π3+0=π3\frac{\pi}{3}+0=\frac{\pi}{3}. Les centres de rr et de hh étant distincts, le centre de ff n'est pas donné : on le cherche à la question 4.

2. r(B)=Cr(B)=C (triangle équilatéral direct) et h(C)=Ch(C)=C, donc f(B)=Cf(B)=C. r(A)=Ar(A)=A et h(A)h(A) vérifie Ch(A)→=2CA→\overrightarrow{Ch(A)}=2\overrightarrow{CA} : AA est le milieu de [C h(A)][C\,h(A)], donc f(A)=Df(A)=D, symétrique de CC par rapport à AA.

3. (CI)(CI) est la médiatrice de [AB][AB] : elle est perpendiculaire à (AB)(AB) en II et contient GG. Le symétrique Ω\Omega de GG par rapport à (AB)(AB) est donc sur (CI)(CI), de l'autre côté de (AB)(AB), avec IΩ=IGI\Omega=IG. Or CI=3CI=\sqrt3 (hauteur d'un triangle équilatéral de côté 22) et IG=13CI=33IG=\frac13CI=\frac{\sqrt3}{3}. Dans le triangle IΩBI\Omega B rectangle en II : ΩB=1+13=233\Omega B=\sqrt{1+\frac13}=\frac{2\sqrt3}{3}. Et ΩC=ΩI+IC=33+3=433\Omega C=\Omega I+IC=\frac{\sqrt3}{3}+\sqrt3=\frac{4\sqrt3}{3}.

4. Idée : le centre d'une similitude directe de rapport kk et d'angle θ\theta qui envoie BB sur CC est l'unique point Ω\Omega tel que ΩC=k ΩB\Omega C=k\,\Omega B et (ΩB→,ΩC→)≡θ\left(\overrightarrow{\Omega B},\overrightarrow{\Omega C}\right)\equiv\theta. Dans le triangle IΩBI\Omega B rectangle en II, tan⁡IΩB^=IBIΩ=13/3=3\tan\widehat{I\Omega B}=\frac{IB}{I\Omega}=\frac{1}{\sqrt3/3}=\sqrt3, donc IΩB^=π3\widehat{I\Omega B}=\frac{\pi}{3}. Comme CC est sur la demi-droite [ΩI)[\Omega I) et que BB est à droite de (ΩC)(\Omega C) dans la figure directe, (ΩB→,ΩC→)≡π3\left(\overrightarrow{\Omega B},\overrightarrow{\Omega C}\right)\equiv\frac{\pi}{3}. Avec ΩC=433=2 ΩB\Omega C=\frac{4\sqrt3}{3}=2\,\Omega B et f(B)=Cf(B)=C : Ω\Omega est le centre de ff.

4 Drill S-D.4 — conjuguée SΔ∘S∘SΔS_\Delta\circ S\circ S_\Delta d'une similitude directe par une réflexion
Entraînement 04 / 04

Drill S-D.4 — conjuguée SΔ∘S∘SΔS_\Delta\circ S\circ S_\Delta d'une similitude directe par une réflexion

3 questionsCorrigé masqué

Soit SS la similitude directe de centre OO, de rapport kk et d'angle θ\theta, et Δ\Delta une droite passant par OO. On note SΔS_\Delta la réflexion d'axe Δ\Delta et φ=SΔ∘S∘SΔ\varphi=S_\Delta\circ S\circ S_\Delta.

  1. Montrer que φ\varphi est une similitude directe de rapport kk et que φ(O)=O\varphi(O)=O.
  2. Soit MM un point distinct de OO, N=SΔ(M)N=S_\Delta(M) et M′=φ(M)M'=\varphi(M). Montrer que (OM→,OM′→)≡−θ [2π]\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM'}\right)\equiv-\theta\,[2\pi]. En déduire la nature et les éléments de φ\varphi.
  3. Application : SS est la rotation de centre OO et d'angle π3\frac{\pi}{3}. Déterminer SΔ∘S∘SΔS_\Delta\circ S\circ S_\Delta et S∘SΔ∘S∘SΔS\circ S_\Delta\circ S\circ S_\Delta.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. φ\varphi est la composée de deux similitudes indirectes de rapport 11 et d'une similitude directe de rapport kk : c'est une similitude directe (deux inversions d'orientation se compensent) de rapport kk. SΔ(O)=OS_\Delta(O)=O car O∈ΔO\in\Delta, et S(O)=OS(O)=O : φ(O)=O\varphi(O)=O.

2. Idée : une réflexion change les angles orientés en leurs opposés. M′=SΔ(S(N))M'=S_\Delta\left(S(N)\right) avec (ON→,OS(N)→)≡θ\left(\overrightarrow{ON},\overrightarrow{OS(N)}\right)\equiv\theta. La réflexion SΔS_\Delta envoie NN sur MM et S(N)S(N) sur M′M' en inversant les angles : (OM→,OM′→)≡−θ\left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM'}\right)\equiv-\theta. Donc φ\varphi est la similitude directe de centre OO, de rapport kk et d'angle −θ-\theta.

3. SΔ∘S∘SΔS_\Delta\circ S\circ S_\Delta est la rotation de centre OO et d'angle −π3-\frac{\pi}{3} ; c'est S−1S^{-1}. Donc S∘SΔ∘S∘SΔ=S∘S−1S\circ S_\Delta\circ S\circ S_\Delta=S\circ S^{-1} est l'identité.

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