ST-EStatistiques

Série statistique double : calculer $\bar t$ , $\bar C$ , la covariance, le coefficient de corrélation et la droite des moindres carrés

Idée directrice

Quand le sujet donne les données brutes, il attend les calculs dans l'ordre : moyennes, puis écarts à la moyenne, puis $\mathrm{cov}(t,C)=\frac1n\sum(t_i-\bar t)(C_i-\bar C)$ , variances, coefficient de corrélation $r=\dfrac{\mathrm{cov}}{\sigma_t\sigma_C}$ ; si $|r|$ est proche de $1$ l'ajustement affine est justifié et la droite des moindres carrés $C=bt+a$ a pour pente $b=\mathrm{cov}/\sigma_t^2$ et passe par le point moyen. Un tableau des écarts évite toutes les erreurs.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« calculer le coefficient de corrélation linéaire » ; « un ajustement affine par la méthode des moindres carrés est-il justifié » ; « déterminer une équation de la droite de régression de C en t » ; « estimer … pour t = … »

Sujet principal

Exercice — statistique à deux variables : de la série brute à la prévision

5 questionsCorrigé masqué

On mesure, à cinq dates $t$ (en heures), la concentration $C$ (en $\mathrm{mg\cdot L^{-1}}$ ) d'un produit formé au cours d'une réaction :

$t_i$	1	2	3	4	5
$C_i$	24	48	71	94	118

Calculer les moyennes $\bar t$ et $\bar C$ .
Calculer la covariance $\mathrm{cov}(t,C)$ et les variances $V(t)$ et $V(C)$ .
Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ (arrondi à $10^{-3}$ ). Un ajustement affine par la méthode des moindres carrés est-il justifié ?
Déterminer l'équation de la droite de régression de $C$ en $t$ sous la forme $C=bt+a$ . Vérifier qu'elle passe par le point moyen.
Estimer la concentration à $t=8\ \mathrm h$ . Pourquoi cette estimation est-elle moins fiable que celle à $t=3{,}5\ \mathrm h$ ?

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1. Idée : sommes divisées par $n=5$ . $\bar t=\dfrac{1+2+3+4+5}{5}=3$ et $\bar C=\dfrac{24+48+71+94+118}{5}=\dfrac{355}{5}=71$ .

2. Idée : tableau des écarts à la moyenne. Écarts $t_i-\bar t$ : $-2,-1,0,1,2$ ; écarts $C_i-\bar C$ : $-47,-23,0,23,47$ . $\mathrm{cov}(t,C)=\dfrac{(-2)(-47)+(-1)(-23)+0+(1)(23)+(2)(47)}{5}=\dfrac{234}{5}=46{,}8$ ; $V(t)=\dfrac{4+1+0+1+4}{5}=2$ ; $V(C)=\dfrac{47^2+23^2+0+23^2+47^2}{5}=\dfrac{5476}{5}=1095{,}2$ .

3. Idée : $r=\mathrm{cov}/(\sigma_t\sigma_C)$ . $\sigma_t=\sqrt2\approx1{,}414$ , $\sigma_C=\sqrt{1095{,}2}\approx33{,}09$ , donc $r=\dfrac{46{,}8}{1{,}414\times33{,}09}\approx\boxed{1{,}000}$ (exactement $0{,}99997$ ). $|r|$ est très proche de $1$ , bien au-dessus du seuil usuel $\dfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}87$ : la corrélation linéaire est très forte, l'ajustement affine est justifié.

4. Idée : $b=\mathrm{cov}/V(t)$ , puis $a=\bar C-b\bar t$ . $b=\dfrac{46{,}8}{2}=23{,}4$ et $a=71-23{,}4\times3=0{,}8$ : $\boxed{C=23{,}4\,t+0{,}8}$ . Au point moyen : $23{,}4\times3+0{,}8=71=\bar C$ .

5. Idée : la droite sert à extrapoler, avec prudence. $C(8)=23{,}4\times8+0{,}8\approx\boxed{188\ \mathrm{mg\cdot L^{-1}}}$ . À $t=3{,}5\ \mathrm h$ on interpole entre des mesures ; à $8\ \mathrm h$ on extrapole loin de la plage observée $[1;5]$ : rien ne garantit que la croissance reste linéaire (la réaction peut ralentir quand un réactif s'épuise).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill ST-E.1 — de la droite des moindres carrés au point moyen

2 questionsCorrigé masqué

Pour une série double, on a trouvé $\bar x=4$ , $\bar y=10$ , $V(x)=2{,}5$ et $\mathrm{cov}(x,y)=6$ .

Écrire l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ .
Si $\sigma_y=4$ , calculer $r$ et commenter.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : $b=\mathrm{cov}/V(x)$ et la droite passe par le point moyen. $b=\dfrac{6}{2{,}5}=2{,}4$ ; $a=\bar y-b\bar x=10-9{,}6=0{,}4$ : $y=2{,}4x+0{,}4$ .

2. Idée : $r=\mathrm{cov}/(\sigma_x\sigma_y)$ . $\sigma_x=\sqrt{2{,}5}\approx1{,}58$ , donc $r=\dfrac{6}{1{,}58\times4}\approx0{,}95$ : corrélation linéaire forte et positive, l'ajustement affine est légitime ( $0{,}95>\sqrt3/2$ ).

Méthode / Automatismes

Moyennes → écarts → $\mathrm{cov}$ , $V$ ; ne pas oublier de diviser par $n$ .
$r=\mathrm{cov}/(\sigma_t\sigma_C)$ ; ajustement justifié si $|r|$ proche de $1$ (seuil usuel $\sqrt3/2$ ).
Droite : $b=\mathrm{cov}/V(t)$ , passe par $(\bar t,\bar C)$ .
Distinguer interpolation et extrapolation.

Pièges classiques

Diviser la covariance par $n-1$ alors que $V$ est divisée par $n$ ; prendre $b=\mathrm{cov}/\sigma_t$ ; écrire la droite de $t$ en $C$ ; annoncer une prévision lointaine sans réserve.

Série statistique double : calculer tˉ\bar ttˉ, Cˉ\bar CCˉ, la covariance, le coefficient de corrélation et la droite des moindres carrés

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Série statistique double : calculer $\bar t$ , $\bar C$ , la covariance, le coefficient de corrélation et la droite des moindres carrés