ST-FStatistiques

Série chronologique de ventes : retrouver une valeur manquante par la moyenne, nuage de points et passage au logarithme

Idée directrice

Une série chronologique se traite comme une série double $(X,Y)$ où $X$ est le rang du temps. Trois gestes reviennent : retrouver une valeur manquante à partir de la moyenne ( $\sum Y_i=n\bar Y$ ), lire la tendance sur le nuage de points, et, quand la croissance semble exponentielle, poser $Z=\ln Y$ pour ramener le problème à un ajustement affine de $Z$ en $X$ : $Z=\beta X+\alpha$ équivaut à $Y=\e^{\alpha}\,\e^{\beta X}$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« calculer le nombre de livres vendus en janvier 2014 sachant que la moyenne des ventes … » ; « représenter le nuage de points de la série statistique (X, Y) » ; « on pose Z = ln(Y/10) … ajustement affine »

Sujet principal

Exercice — ventes semestrielles et modèle exponentiel

4 questionsCorrigé masqué

Une librairie relève ses ventes semestrielles $Y$ (nombre de livres) de janvier 2012 à janvier 2015 ; $X$ est le rang du mois (janvier 2012 : $X=1$ ).

$X_i$	1	7	13	19	25	31	37
$Y_i$	2100	2450	2800	$y_4$	3300	3650	4020

La valeur $y_4$ (janvier 2014) a été perdue, mais on sait que la moyenne des ventes sur la période vaut $\bar Y=3078$ .

Retrouver $y_4$ .
Calculer $\bar X$ . Que représente le nuage de points de la série $(X,Y)$ ? Quelle tendance suggère-t-il ici ?
On pose $Z_i=\ln\!\Big(\dfrac{Y_i}{10}\Big)$ . Calculer $Z_1$ et $Z_7$ (arrondir à $10^{-3}$ ).
On admet que l'ajustement affine de $Z$ en $X$ par les moindres carrés donne $Z=0{,}018\,X+5{,}33$ . En déduire un modèle de la forme $Y=\alpha\,\e^{\beta X}$ et estimer les ventes de janvier 2016 ( $X=49$ ).

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : $\sum Y_i=n\bar Y$ . $n=7$ : $\sum Y_i=7\times3078=21\,546$ . Les six valeurs connues totalisent $2100+2450+2800+3300+3650+4020=18\,320$ , donc $y_4=21\,546-18\,320=\boxed{3226}$ livres.

2. Idée : le nuage est l'ensemble des points $(X_i;Y_i)$ . $\bar X=\dfrac{1+7+13+19+25+31+37}{7}=\dfrac{133}{7}=19$ . Le nuage de points représente chaque semestre par le point $(X_i;Y_i)$ dans un repère ; ici les points montent régulièrement, d'environ $350$ livres par semestre : la tendance est croissante et presque alignée, avec une légère accélération en fin de période.

3. Idée : $\ln$ transforme une croissance multiplicative en croissance additive. $Z_1=\ln210\approx\boxed{5{,}347}$ et $Z_7=\ln402\approx\boxed{5{,}996}$ .

4. Idée : revenir à $Y$ par l'exponentielle. $\ln\dfrac{Y}{10}=0{,}018X+5{,}33\iff Y=10\,\e^{5{,}33}\,\e^{0{,}018X}$ , soit $Y\approx\alpha\e^{\beta X}$ avec $\beta=0{,}018$ et $\alpha=10\e^{5{,}33}\approx2064$ . Pour $X=49$ : $Y\approx2064\,\e^{0{,}882}\approx\boxed{4990}$ livres. Le modèle suppose que la croissance de $1{,}8\,\%$ par mois se maintient : c'est une extrapolation.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill ST-F.1 — du logarithme au modèle exponentiel

2 questionsCorrigé masqué

Pour une série $(X,Y)$ , l'ajustement affine de $Z=\ln Y$ en $X$ donne $Z=0{,}05X+3$ .

Exprimer $Y$ en fonction de $X$ sous la forme $\alpha\,\e^{\beta X}$ .
De quel pourcentage $Y$ augmente-t-elle quand $X$ augmente de $1$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : appliquer l'exponentielle. $Y=\e^{0{,}05X+3}=\e^3\,\e^{0{,}05X}\approx20{,}1\,\e^{0{,}05X}$ .

2. Idée : $Y(X+1)/Y(X)=\e^{\beta}$ . $\e^{0{,}05}\approx1{,}051$ : hausse d'environ $5{,}1\,\%$ par unité de $X$ , un peu plus que $\beta=5\,\%$ car $\e^\beta>1+\beta$ .

Méthode / Automatismes

Valeur manquante : $y_k=n\bar Y-\sum_{i\neq k}Y_i$ .
Nuage de points : tracer avant de calculer ; il décide entre ajustement affine direct et changement de variable.
Modèle exponentiel : $Z=\ln Y$ (ou $\ln(Y/10)$ ), ajustement affine de $Z$ , retour par $\e^{\,\cdot}$ .

Pièges classiques

Diviser par $6$ au lieu de $7$ ; oublier le facteur $10$ en revenant de $\ln(Y/10)$ à $Y$ ; confondre $\bar X$ (rang moyen) avec une date ; présenter l'extrapolation comme une certitude.