S-EIsométries et similitudes

Similitude indirecte et forme réduite

Idée directrice

La similitude indirecte ( $z'=a\bar z+b$ , $|a|\neq1$ ) se décompose en forme réduite : composée d'une homothétie et d'une réflexion de même centre, ou d'une similitude directe et d'une réflexion. On extrait le rapport $|a|$ , et l'on identifie l'axe de la réflexion associée. C'est le scénario le plus technique, souvent réservé aux questions finales.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Soit $s$ d'écriture $z'=a\bar z+b$ » avec $|a|\neq1$ ; « décomposer $s$ ».

Sujet principal

Exercice 5 — nature d'une similitude indirecte

3 questionsCorrigé masqué

Soit $s:\ z'=2\bar z+3$ .

Montrer que $s$ est une similitude indirecte et donner son rapport.
Déterminer l'ensemble des points fixes de $s$ .
Décomposer $s$ sous la forme $h\circ \sigma$ où $h$ est une homothétie et $\sigma$ une réflexion.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : $z'=a\bar z+b$ avec $|a|\neq1$ est une similitude indirecte de rapport $|a|$ . Ici $a=2$ : $s$ est une similitude indirecte de rapport $2$ .

2. Idée : le centre est l'unique point fixe. $z=2\bar z+3$ avec $z=x+\i y$ donne $x=2x+3$ et $y=-2y$ , d'où $x=-3$ , $y=0$ : un seul point fixe, le centre $\Omega(-3)$ .

3. Idée : centrer en $\Omega$ pour lire la forme réduite. Comme $3$ est réel, $z'+3=2\bar z+6=2\,\overline{(z+3)}$ , soit $z'-\omega=2\,\overline{(z-\omega)}$ avec $\omega=-3$ . L'application $\sigma:\ z\mapsto\omega+\overline{(z-\omega)}$ est la réflexion d'axe la droite passant par $\Omega$ parallèle à l'axe réel (ici l'axe réel lui-même, $y=0$ ), et $h:\ z\mapsto\omega+2(z-\omega)$ est l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $2$ . Donc

s=h\circ\sigma=\sigma\circ h,\qquad h=h(\Omega,2),\quad \sigma=S_{(\Omega,\vec u)}\ \text{avec}\ \vec u(1)

Contrôle : $\sigma(0)=-3+\overline{3}=0$ puis $h(0)=-3+2\times3=3=s(0)$ ✓.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill S-E.1 — similitude indirecte de centre A dans un carré

3 questionsCorrigé masqué

Dans le plan rapporté au repère orthonormé direct $(A,\vec{AB},\vec{AD})$ , $ABCD$ est un carré : $A(0)$ , $B(1)$ , $C(1+\i)$ , $D(\i)$ . Soit $F$ le point d'affixe $2$ et $f$ la similitude indirecte de centre $A$ telle que $f(D)=F$ .

Justifier que $f$ n'est pas une isométrie (donc pas un antidéplacement), montrer que son rapport est $2$ et que l'image de $M(z)$ est le point d'affixe $2\i\,\bar z$ .
Déterminer les affixes de $f(B)$ et de $f(C)$ .
Montrer que $f=h\circ S$ , où $h$ est l'homothétie de centre $A$ et de rapport $2$ et $S$ la réflexion d'axe $(AC)$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : une similitude indirecte de centre $A(0)$ s'écrit $z'=a\bar z$ . $f(D)=F$ donne $a\,\overline{\i}=2$ , soit $-a\i=2$ et $a=2\i$ . Le rapport est $|a|=2$ et $f:\ z'=2\i\,\bar z$ ; on retrouve $\dfrac{AF}{AD}=2$ .

2. $f(B)$ : $2\i\cdot\overline{1}=2\i$ , point d'affixe $2\i$ (le symétrique de $A$ par rapport à $D$ ). $f(C)$ : $2\i\,\overline{(1+\i)}=2\i(1-\i)=2+2\i$ , point d'affixe $2+2\i$ .

3. Idée : factoriser le rapport. $2\i\,\bar z=2\big(\i\,\bar z\big)$ . L'application $S:\ z\mapsto\i\,\bar z=\e^{\i\pi/2}\bar z$ est la réflexion d'axe la droite passant par $A$ et d'angle polaire $\dfrac{\pi}{4}$ , c'est-à-dire $(AC)$ (on vérifie $S(1+\i)=\i(1-\i)=1+\i$ : $C$ est fixe). Puis $z\mapsto 2z$ est l'homothétie $h$ de centre $A$ et de rapport $2$ . Donc $f=h\circ S$ ; comme $h$ et $S$ ont le même centre $A$ , on a aussi $f=S\circ h$ .

Méthode / Automatismes

Similitude indirecte $\iff z'=a\bar z+b$ , $|a|\neq1$ ; rapport $|a|$ .
Point fixe : résoudre $z=a\bar z+b$ ; en général un seul point fixe $\Omega$ (le centre).
Forme réduite : centrer en $\Omega$ pour obtenir $z'-\omega=a\,\overline{(z-\omega)}$ , produit d'une homothétie de rapport $|a|$ et d'une réflexion (axe passant par $\Omega$ , dirigé par un argument lié à $\arg a$ ).
Contrôle : $s\circ s$ est une similitude directe de rapport $|a|^2$ (deux indirectes se composent en directe).

Pièges classiques

Chercher un « angle » pour une similitude indirecte (elle n'en a pas au sens des directes : elle inverse les angles orientés). Appliquer $\frac{b}{1-a}$ pour le centre (valable seulement en direct ; ici on résout $z=a\bar z+b$ ).