S-CIsométries et similitudes

Antidéplacements : réflexion et symétrie glissante

Idée directrice

Un antidéplacement (isométrie indirecte, $z'=a\bar z+b$ avec $|a|=1$ ) est soit une réflexion (s'il a des points fixes : ils forment son axe), soit une symétrie glissante (s'il n'en a aucun). Le test décisif est donc la recherche des points fixes ; en l'absence, on décompose en réflexion suivie d'une translation le long de l'axe.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Montrer que $f$ est un antidéplacement » ; « déterminer les points fixes » ; « en déduire la nature de $f$ ».

Sujet principal

Exercice 3 — réflexion ou symétrie glissante ?

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f:\ z'=\i\bar z+1+\i$ .

Vérifier que $f$ est un antidéplacement.
Déterminer l'ensemble des points fixes de $f$ .
En déduire la nature de $f$ et ses éléments caractéristiques.

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1. Idée : un antidéplacement s'écrit $z'=a\bar z+b$ avec $|a|=1$ . Ici $a=\i$ , $|a|=1$ , et l'écriture porte sur $\bar z$ : $f$ est une isométrie qui renverse l'orientation, c'est un antidéplacement.

2. Idée : résoudre $f(z)=z$ en séparant parties réelle et imaginaire. Avec $z=x+\i y$ : $\i\bar z+1+\i=\i(x-\i y)+1+\i=(y+1)+\i(x+1)$ . L'égalité $z=f(z)$ équivaut à $x=y+1$ et $y=x+1$ , soit $x-y=1$ et $x-y=-1$ : impossible. $f$ n'a aucun point fixe.

3. Idée : un antidéplacement sans point fixe est une symétrie glissante ; $f\circ f$ en donne le vecteur, un milieu $[M\,f(M)]$ en donne l'axe. $f(f(z))=\i\,\overline{\i\bar z+1+\i}+1+\i=\i(-\i z+1-\i)+1+\i=z+2+2\i$ : $f\circ f=t_{2\vec u}$ avec $2\vec u$ d'affixe $2+2\i$ , donc $\vec u$ d'affixe $1+\i$ . L'axe $\Delta$ est dirigé par $\vec u$ et passe par le milieu de $[O\,f(O)]$ , d'affixe $\dfrac{1+\i}{2}$ : c'est la droite $y=x$ . Vérification : la réflexion d'axe $y=x$ est $z\mapsto\i\bar z$ , et $f(z)=\i\bar z+(1+\i)=t_{\vec u}\circ S_\Delta(z)$ avec $\vec u\parallel\Delta$ .

f=t_{\vec u}\circ S_{\Delta},\qquad \Delta:\ y=x,\qquad \vec u\,(1+\i)

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill S-C.1 — reconnaître et caractériser une symétrie glissante dans une figure

3 questionsCorrigé masqué

Soit $ABC$ un triangle équilatéral direct, $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[BC]$ . Soit $g$ l'antidéplacement qui envoie $A$ sur $B$ et $B$ sur $C$ .

Justifier que $g$ est une symétrie glissante.
Montrer que $g\circ g$ est la translation de vecteur $\vec{AC}$ .
En déduire le vecteur et l'axe de $g$ , puis écrire $g$ sous la forme $S_\Delta\circ t_{\vec u}$ .

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1. Idée : tester la réflexion. Une réflexion envoyant $A$ sur $B$ a pour axe la médiatrice de $[AB]$ et envoie alors $B$ sur $A\neq C$ ; $g$ n'est donc pas une réflexion. Un antidéplacement qui n'est pas une réflexion est une symétrie glissante.

2. $g=S_\Delta\circ t_{\vec u}$ avec $\vec u$ directeur de $\Delta$ , donc $g\circ g=t_{2\vec u}$ . Or $g\circ g(A)=g(B)=C$ , d'où $t_{2\vec u}(A)=C$ et $g\circ g=t_{\vec{AC}}$ .

3. $2\vec u=\vec{AC}$ donne $\vec u=\dfrac12\vec{AC}$ . L'axe passe par les milieux de $[A\,g(A)]=[AB]$ et de $[B\,g(B)]=[BC]$ , soit $I$ et $J$ : $\Delta=(IJ)$ , parallèle à $(AC)$ comme il se doit. Ainsi $g=S_{(IJ)}\circ t_{\frac12\vec{AC}}$ .

Méthode / Automatismes

Antidéplacement $\iff$ écriture $z'=a\bar z+b$ avec $|a|=1$ .
Points fixes : résoudre $z=a\bar z+b$ (poser $z=x+\i y$ ). Une droite $\to$ réflexion (c'est l'axe) ; ensemble vide $\to$ symétrie glissante.
Symétrie glissante : $f\circ f=t_{2\vec u}$ donne le vecteur $\vec u$ ; l'axe est parallèle à $\vec u$ .
Une réflexion vérifie $f\circ f=\mathrm{id}$ ; une symétrie glissante non (son carré est une translation non nulle).

Pièges classiques

Conclure « réflexion » sans avoir cherché les points fixes. Oublier qu'un antidéplacement sans point fixe existe (la symétrie glissante). Calculer $f\circ f$ en oubliant de conjuguer le terme constant lors de la substitution.