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Bac Tunisie
Mathématiques/GS-C
GS-CGéométrie dans l’espace

Droites et plans : représentations paramétriques, équations cartésiennes, intersections et distances

Idée directrice

Une droite dans l'espace est décrite par un point et un vecteur directeur : représentation paramétrique (x;y;z)=(x0+ta; y0+tb; z0+tc)(x;y;z)=(x_0+ta;\,y_0+tb;\,z_0+tc). Un plan est décrit par un point et un vecteur normal n⃗=(a;b;c)\vec{n}=(a;b;c) : équation cartésienne a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0. L'intersection d'une droite et d'un plan se trouve en substituant la paramétrique dans l'équation cartésienne. La distance d'un point MM à un plan ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 est ∣axM+byM+czM+d∣a2+b2+c2\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Donner une représentation paramétrique de la droite » ; « Déterminer l'équation cartésienne du plan » ; « Étudier la position relative de Δ\Delta et P\mathcal{P} » ; « Calculer la distance de BB au plan ».

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode
  • Vecteur normal d'un plan : (a;b;c)(a;b;c) sont exactement les coefficients de xx, yy, zz dans l'équation cartésienne.
  • Intersection droite/plan : substituer les paramètriques (x(t),y(t),z(t))(x(t),y(t),z(t)) dans l'équation du plan, résoudre en tt, puis calculer les coordonnées.
  • Droite parallèle au plan : n⃗⋅d⃗=0\vec{n}\cdot\vec{d}=0 ; incluse si de plus un point de la droite vérifie l'équation du plan.
  • Distance point-plan : d=∣ax0+by0+cz0+d∣/a2+b2+c2d=|ax_0+by_0+cz_0+d|/\sqrt{a^2+b^2+c^2} — penser à mettre le plan sous la forme ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 avant d'appliquer.
Les pièges à vérifier dans ta démarche

Confondre « n⃗⋅d⃗=0\vec{n}\cdot\vec{d}=0 » (droite parallèle ou incluse dans le plan) avec « la droite est dans le plan » — il faut vérifier en plus qu'un point de la droite appartient au plan. Oublier le terme dd dans la formule de distance (le dd constant, pas le vecteur directeur). Se tromper de signe en écrivant l'équation du plan.

Sujet principal

Exercice 3 — droites, plans et intersections

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

On se place dans un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗,k⃗)(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}). Soit le plan P\mathcal{P} d'équation 2x−y+3z−6=02x-y+3z-6=0 et la droite Δ\Delta de représentation paramétrique :

Δ:{x=1+ty=2−tz=1+2t,t∈R.\Delta : \begin{cases} x = 1+t \\ y = 2-t \\ z = 1+2t \end{cases}, \quad t\in\R.
  1. Donner un vecteur normal à P\mathcal{P} et un vecteur directeur de Δ\Delta.
  2. La droite Δ\Delta est-elle parallèle, incluse dans, ou sécante au plan P\mathcal{P} ? Justifier.
  3. Dans le cas sécant, déterminer les coordonnées du point d'intersection II de Δ\Delta et P\mathcal{P}.
  4. Déterminer l'équation cartésienne du plan Q\mathcal{Q} passant par A(2;1;0)A(2;1;0) et ayant n⃗=(1;−2;1)\vec{n}=(1;-2;1) pour vecteur normal.
  5. Calculer la distance du point B(3;0;2)B(3;0;2) au plan P\mathcal{P}.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : les coefficients de x,y,zx,y,z dans l'équation cartésienne forment un vecteur normal ; les coefficients de tt dans la paramétrique, un vecteur directeur. n⃗=(2;−1;3)\vec n=(2;-1;3), d⃗=(1;−1;2)\vec d=(1;-1;2).

2. Idée : Δ∥P  ⟺  n⃗⋅d⃗=0\Delta\parallel\mathcal P\iff\vec n\cdot\vec d=0. n⃗⋅d⃗=2+1+6=9≠0\vec n\cdot\vec d=2+1+6=9\neq0 : Δ\Delta est sécante à P\mathcal P.

3. Idée : reporter la paramétrique dans l'équation du plan. 2(1+t)−(2−t)+3(1+2t)−6=9t−3=0  ⟺  t=132(1+t)-(2-t)+3(1+2t)-6=9t-3=0\iff t=\tfrac13 : I(43;53;53)I\big(\tfrac43;\tfrac53;\tfrac53\big).

4. Idée : M∈Q  ⟺  n⃗Q⋅AM→=0M\in\mathcal Q\iff\vec n_Q\cdot\overrightarrow{AM}=0. (x−2)−2(y−1)+z=0  ⟺  x−2y+z=0(x-2)-2(y-1)+z=0\iff x-2y+z=0.

5. Idée : formule d=∣axB+byB+czB+d∣a2+b2+c2d=\dfrac{|ax_B+by_B+cz_B+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. d(B,P)=∣6−0+6−6∣14=614=3147d(B,\mathcal P)=\dfrac{|6-0+6-6|}{\sqrt{14}}=\dfrac6{\sqrt{14}}=\dfrac{3\sqrt{14}}7.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : Intersection de deux plans (système 2×32\times3, solution droite) ; distance d'une droite à un plan parallèle (substituer n'importe quel point de la droite) ; équation du plan passant par trois points non alignés (calculer deux vecteurs, puis le produit vectoriel pour obtenir n⃗\vec{n}).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill GS-C.1 — intersection droite/plan
Entraînement 01 / 04

Drill GS-C.1 — intersection droite/plan

1 questionCorrigé masqué

Droite D:(x;y;z)=(1+t; 2t; −t)D:(x;y;z)=(1+t;\,2t;\,-t) et plan P:x+y+z=3P:x+y+z=3. Déterminer D∩PD\cap P.

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Idée : substituer la paramétrique dans le plan. (1+t)+2t−t=3  ⟺  1+2t=3  ⟺  t=1(1+t)+2t-t=3\iff1+2t=3\iff t=1 : le point d'intersection est (2;2;−1)(2;2;-1) ; DD et PP sont sécants (le vecteur directeur (1;2;−1)(1;2;-1) n'est pas orthogonal à la normale (1;1;1)(1;1;1) : produit 2≠02\neq0).

2 Drill GS-C.2 — distance d'un point à un plan
Entraînement 02 / 04

Drill GS-C.2 — distance d'un point à un plan

1 questionCorrigé masqué

Calculer la distance du point M(1;1;1)M(1;1;1) au plan P:2x−y+2z−3=0P:2x-y+2z-3=0.

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Idée : formule de la distance, ou vérifier si le point est sur le plan. 2−1+2−3=02-1+2-3=0 : MM vérifie l'équation de PP, donc M∈PM\in P et d(M,P)=0d(M,P)=0.

3 Drill GS-C.3 — deux plans perpendiculaires, droite d'intersection Δ\Delta de vecteur directeur donné, distance d'un point à Δ\Delta
Entraînement 03 / 04

Drill GS-C.3 — deux plans perpendiculaires, droite d'intersection Δ\Delta de vecteur directeur donné, distance d'un point à Δ\Delta

2 questionsCorrigé masqué

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O,\vec i,\vec j,\vec k). On considère les plans P: x+2y+2z−3=0P:\ x+2y+2z-3=0 et Q: 2x+y−2z−3=0Q:\ 2x+y-2z-3=0, le vecteur u⃗(2,−2,1)\vec u(2,-2,1) et les points H(3,−1,1)H(3,-1,1) et B(7,−2,0)B(7,-2,0).

    1. Montrer que les plans PP et QQ sont perpendiculaires.
    2. Montrer que PP et QQ sont sécants suivant une droite Δ\Delta de vecteur directeur u⃗\vec u.
    3. Montrer que le point HH appartient à Δ\Delta. Donner alors une représentation paramétrique de Δ\Delta.
    1. Vérifier que le point BB appartient au plan PP.
    2. Déterminer les coordonnées du point KK de Δ\Delta tel que BK→⋅u⃗=0\overrightarrow{BK}\cdot\vec u=0. En déduire la distance du point BB à la droite Δ\Delta.
    3. Calculer la distance du point BB au plan QQ. Expliquer pourquoi on retrouve la distance de BB à Δ\Delta.
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1.a Idée : deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. On a n⃗P(1,2,2)\vec n_P(1,2,2) normal à PP et n⃗Q(2,1,−2)\vec n_Q(2,1,-2) normal à QQ ; n⃗P⋅n⃗Q=2+2−4=0\vec n_P\cdot\vec n_Q=2+2-4=0, donc P⊥Q\boxed{P\perp Q}.

1.b Idée : deux plans sont sécants quand leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires ; un vecteur directeur de la droite commune est orthogonal aux deux vecteurs normaux. n⃗P\vec n_P et n⃗Q\vec n_Q sont non nuls et orthogonaux, donc non colinéaires : PP et QQ sont sécants suivant une droite Δ\Delta. De plus u⃗⋅n⃗P=2−4+2=0\vec u\cdot\vec n_P=2-4+2=0 et u⃗⋅n⃗Q=4−2−2=0\vec u\cdot\vec n_Q=4-2-2=0 avec u⃗≠0⃗\vec u\neq\vec 0 : u⃗\vec u est un vecteur directeur de Δ\Delta. (Contrôle : n⃗P∧n⃗Q=(−6,6,−3)=−3 u⃗\vec n_P\wedge\vec n_Q=(-6,6,-3)=-3\,\vec u.)

1.c 3−2+2−3=03-2+2-3=0, donc H∈PH\in P ; 6−1−2−3=06-1-2-3=0, donc H∈QH\in Q. Ainsi H∈P∩Q=ΔH\in P\cap Q=\Delta, et Δ\Delta est la droite passant par HH et dirigée par u⃗\vec u :

Δ: {x=3+2ty=−1−2tz=1+t(t∈R)\Delta:\ \begin{cases}x=3+2t\\ y=-1-2t\\ z=1+t\end{cases}\quad(t\in\R)

2.a 7+2×(−2)+2×0−3=07+2\times(-2)+2\times0-3=0 : B∈PB\in P.

2.b Idée : KK est le projeté orthogonal de BB sur Δ\Delta ; on écrit KK avec le paramètre tt et on impose BK→⋅u⃗=0\overrightarrow{BK}\cdot\vec u=0. Soit K(3+2t, −1−2t, 1+t)K(3+2t,\,-1-2t,\,1+t) un point de Δ\Delta ; alors BK→(−4+2t, 1−2t, 1+t)\overrightarrow{BK}(-4+2t,\,1-2t,\,1+t) et

BK→⋅u⃗=2(−4+2t)−2(1−2t)+(1+t)\overrightarrow{BK}\cdot\vec u=2(-4+2t)-2(1-2t)+(1+t)

soit BK→⋅u⃗=9t−9\overrightarrow{BK}\cdot\vec u=9t-9, nul pour t=1t=1 : K(5,−3,2)\boxed{K(5,-3,2)}. Alors BK→(−2,−1,2)\overrightarrow{BK}(-2,-1,2) et d(B,Δ)=BK=4+1+4d(B,\Delta)=BK=\sqrt{4+1+4}, d'où d(B,Δ)=3\boxed{d(B,\Delta)=3}.

2.c Idée : BB est dans PP et n⃗Q\vec n_Q, orthogonal à n⃗P\vec n_P, est parallèle à PP : la perpendiculaire à QQ menée de BB reste dans PP. d(B,Q)=∣14−2−0−3∣4+1+4=93=3d(B,Q)=\dfrac{|14-2-0-3|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac93=3. La perpendiculaire à QQ menée de BB coupe QQ en un point de P∩Q=ΔP\cap Q=\Delta : le projeté orthogonal de BB sur QQ est sur Δ\Delta. C'est KK, puisque K∈QK\in Q et BK→=−n⃗Q\overrightarrow{BK}=-\vec n_Q. Donc d(B,Q)=BK=d(B,Δ)d(B,Q)=BK=d(B,\Delta).

4 Drill GS-C.4 — deux plans sécants suivant la droite (AB)(AB), puis sections d'une sphère par ces deux plans
Entraînement 04 / 04

Drill GS-C.4 — deux plans sécants suivant la droite (AB)(AB), puis sections d'une sphère par ces deux plans

3 questionsCorrigé masqué

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O,i⃗,j⃗,k⃗)(O,\vec i,\vec j,\vec k). On considère les points A(−2,1,−2)A(-2,1,-2), B(1,1,1)B(1,1,1), C(2,0,0)C(2,0,0) et E(0,−1,−1)E(0,-1,-1).

    1. Déterminer les composantes du vecteur AB→∧AC→\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}. En déduire que les points AA, BB et CC déterminent un plan PP.
    2. Montrer qu'une équation cartésienne de PP est x+2y−z−2=0x+2y-z-2=0.
  2. Soit SS l'ensemble des points M(x,y,z)M(x,y,z) de l'espace tels que x2+y2+z2+2y+2z−7=0x^2+y^2+z^2+2y+2z-7=0.
    1. Montrer que SS est la sphère de centre EE et de rayon 33.
    2. Vérifier que les points AA et BB appartiennent à SS.
    3. Montrer que le plan PP coupe la sphère SS suivant un cercle C1\mathcal C_1 (on ne demande ni son centre ni son rayon).
  3. On considère le plan Q: 2x+y−2z−1=0Q:\ 2x+y-2z-1=0.
    1. Montrer que PP et QQ sont sécants suivant la droite (AB)(AB).
    2. Vérifier que E∈QE\in Q. En déduire que QQ coupe SS suivant un cercle C2\mathcal C_2 dont on précisera le centre et le rayon.
    3. Montrer que les cercles C1\mathcal C_1 et C2\mathcal C_2 se coupent en AA et BB, et en aucun autre point.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a AB→(3,0,3)\overrightarrow{AB}(3,0,3) et AC→(4,−1,2)\overrightarrow{AC}(4,-1,2). Composantes : 0×2−3×(−1)=30\times2-3\times(-1)=3, 3×4−3×2=63\times4-3\times2=6 et 3×(−1)−0×4=−33\times(-1)-0\times4=-3, soit AB→∧AC→=(3,6,−3)\boxed{\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(3,6,-3)}. Ce vecteur n'est pas nul : AA, BB et CC ne sont pas alignés et déterminent un plan PP.

1.b AB→∧AC→=3 n⃗\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=3\,\vec n avec n⃗(1,2,−1)\vec n(1,2,-1), normal à PP : PP a une équation x+2y−z+d=0x+2y-z+d=0, et C∈PC\in P donne 2+d=02+d=0. D'où P: x+2y−z−2=0P:\ x+2y-z-2=0 (contrôle : AA donne −2+2+2−2=0-2+2+2-2=0, BB donne 1+2−1−2=01+2-1-2=0).

2.a x2+(y+1)2−1+(z+1)2−1−7=0x^2+(y+1)^2-1+(z+1)^2-1-7=0, soit x2+(y+1)2+(z+1)2=9x^2+(y+1)^2+(z+1)^2=9 : SS est la sphère de centre E(0,−1,−1)\boxed{E(0,-1,-1)} et de rayon R=3\boxed{R=3}.

2.b Pour AA : 4+1+4+2−4−7=04+1+4+2-4-7=0 ; pour BB : 1+1+1+2+2−7=01+1+1+2+2-7=0. Donc A∈SA\in S et B∈SB\in S.

2.c Idée : comparer la distance du centre au plan avec le rayon. d(E,P)=∣0−2+1−2∣6=36=62d(E,P)=\dfrac{|0-2+1-2|}{\sqrt6}=\dfrac{3}{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}2, et 62<3\dfrac{\sqrt6}2<3 : PP coupe SS suivant un cercle C1\mathcal C_1.

3.a Idée : des vecteurs normaux non colinéaires donnent deux plans sécants suivant une droite ; deux points distincts communs aux deux plans suffisent alors à la nommer. n⃗P(1,2,−1)\vec n_P(1,2,-1) et n⃗Q(2,1,−2)\vec n_Q(2,1,-2) ne sont pas colinéaires (n⃗P∧n⃗Q=(−3,0,−3)≠0⃗\vec n_P\wedge\vec n_Q=(-3,0,-3)\neq\vec 0) : PP et QQ sont sécants suivant une droite. Or −4+1+4−1=0-4+1+4-1=0 et 2+1−2−1=02+1-2-1=0 : A∈QA\in Q et B∈QB\in Q ; comme AA et BB sont aussi dans PP et sont distincts, P∩Q=(AB)\boxed{P\cap Q=(AB)}.

3.b 0−1+2−1=00-1+2-1=0 : E∈QE\in Q. Le plan QQ passe par le centre de SS (d(E,Q)=0<3d(E,Q)=0<3) : il coupe SS suivant le cercle C2\mathcal C_2 de centre E\boxed{E} et de rayon 3\boxed{3}.

3.c Idée : un point commun aux deux cercles est dans PP, dans QQ et sur SS, donc sur (AB)∩S(AB)\cap S. On a C1=P∩S\mathcal C_1=P\cap S et C2=Q∩S\mathcal C_2=Q\cap S, donc C1∩C2=(P∩Q)∩S=(AB)∩S\mathcal C_1\cap\mathcal C_2=(P\cap Q)\cap S=(AB)\cap S. Un point de (AB)(AB) s'écrit M(−2+3s, 1, −2+3s)M(-2+3s,\,1,\,-2+3s) avec s∈Rs\in\R ; M∈SM\in S équivaut à

2(3s−2)2+1+2+2(3s−2)−7=02(3s-2)^2+1+2+2(3s-2)-7=0

soit 18s2−18s=018s^2-18s=0, c'est-à-dire 18s(s−1)=018s(s-1)=0 : s=0s=0 (point AA) ou s=1s=1 (point BB). Les cercles C1\mathcal C_1 et C2\mathcal C_2 se coupent donc exactement en AA et BB.

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