GS-BGéométrie dans l’espace

Produit vectoriel et déterminant : aires, volumes, colinéarité et coplanarité

Idée directrice

Le produit vectoriel $\vec{u}\wedge\vec{v}$ fournit un vecteur normal à $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , de norme $\|\vec{u}\wedge\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta$ — ce qui donne directement l'aire du parallélogramme (et la moitié pour le triangle). Le déterminant $\det(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ (produit mixte) est le volume du parallélépipède et sa nullité caractérise la coplanarité. La colinéarité de deux vecteurs équivaut à $\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Calculer $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ » ; « En déduire l'aire du triangle $ABC$ » ; « Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$ » ; « Les points sont-ils coplanaires ? ».

Sujet principal

Exercice 2 — produit vectoriel, aire et volume

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ , on donne $A(1;-1;2)$ , $B(3;0;1)$ , $C(2;2;-1)$ et $D(0;1;3)$ .

Calculer $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ (produit vectoriel).
1. Rappeler la formule en coordonnées.
2. Effectuer le calcul et donner les coordonnées du vecteur résultat.
En déduire l'aire du triangle $ABC$ .
Calculer le produit mixte $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})$ et en déduire le volume du tétraèdre $ABCD$ .
Les points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont-ils coplanaires ? Justifier.

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1. Idée : formule du produit vectoriel en coordonnées, vecteur orthogonal aux deux autres. (a) $\vec u\wedge\vec v=(a_2b_3-a_3b_2;\,a_3b_1-a_1b_3;\,a_1b_2-a_2b_1)$ . (b) $\overrightarrow{AB}=(2;1;-1)$ , $\overrightarrow{AC}=(1;3;-3)$ : $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(-3+3;\,-1+6;\,6-1)=(0;5;5)$ . Contrôle : $(0;5;5)\cdot(2;1;-1)=0$ .

2. Idée : l'aire du triangle est la moitié de la norme du produit vectoriel. $\|(0;5;5)\|=5\sqrt2$ , aire $=\dfrac{5\sqrt2}{2}$ .

3. Idée : le produit mixte est le volume du parallélépipède ; le tétraèdre en est le sixième. $\overrightarrow{AD}=(-1;2;1)$ et $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})=(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AD}=0\cdot(-1)+5\cdot2+5\cdot1=15$ . $V=\dfrac{|15|}6=\dfrac52$ .

4. Idée : coplanaires $\iff$ produit mixte nul. $15\neq0$ : $A,B,C,D$ ne sont pas coplanaires, le tétraèdre n'est pas aplati.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill GS-B.1 — aire d'un triangle par produit vectoriel

1 questionCorrigé masqué

$A(0;0;0)$ , $B(1;0;0)$ , $C(0;2;0)$ . Calculer l'aire du triangle $ABC$ via $\vec{AB}\wedge\vec{AC}$ .

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Idée : aire $=\frac12\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|$ . $\overrightarrow{AB}=(1;0;0)$ , $\overrightarrow{AC}=(0;2;0)$ , $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(0;0;2)$ , aire $=\tfrac12\cdot2=1$ — c'est le triangle rectangle de côtés $1$ et $2$ .

Entraînement 02 / 02

Drill GS-B.2 — coplanarité par le déterminant

1 questionCorrigé masqué

Les vecteurs $\vec u=(1;1;0)$ , $\vec v=(0;1;1)$ , $\vec w=(1;2;1)$ sont-ils coplanaires ?

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Idée : coplanaires $\iff\det=0$ . $\det(\vec u,\vec v,\vec w)=1(1\cdot1-1\cdot2)-1(0\cdot1-1\cdot1)+0=-1+1=0$ : les trois vecteurs sont coplanaires ; en effet $\vec w=\vec u+\vec v$ .

Méthode / Automatismes

Produit vectoriel : $(a_2 b_3-a_3 b_2;\;a_3 b_1-a_1 b_3;\;a_1 b_2-a_2 b_1)$ — mémoriser l'ordre cyclique $1\to2\to3\to1$ .
Aire d'un triangle : $\mathcal{A}=\tfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|$ . Parallélogramme : enlever le facteur $\tfrac{1}{2}$ .
Volume tétraèdre : $V=\tfrac{1}{6}|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})|$ . Base $\times$ hauteur $\div 3$ si on connaît la base et la hauteur.
Coplanarité/colinéarité : produit mixte $=0$ $\Leftrightarrow$ coplanarité ; $\vec{u}\wedge\vec{v}=\vec{0}$ $\Leftrightarrow$ colinéarité.

Pièges classiques

Inverser l'ordre des indices dans la formule du produit vectoriel (erreur de signe sur une composante). Confondre volume du tétraèdre ( $\div 6$ ) et volume du parallélépipède ( $=|\det|$ sans facteur). Affirmer que quatre points sont coplanaires à partir de leur seule appartenance à un même plan sans vérifier le rang.

Variantes rencontrées : L'énoncé peut fixer une aire ou un volume et demander de trouver un paramètre inconnu dans les coordonnées d'un point. Il peut aussi demander de montrer que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires (vérifier $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{CD}=\vec{0}$ ou existence de $k$ tel que $\overrightarrow{CD}=k\,\overrightarrow{AB}$ ).