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Bac Tunisie
Mathématiques/GS-A
GS-AGéométrie dans l’espace

Produit scalaire dans l'espace, orthogonalité et projeté orthogonal

Idée directrice

Le produit scalaire en coordonnées dans un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗,k⃗)\left(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right) est u⃗⋅v⃗=xuxv+yuyv+zuzv\vec{u}\cdot\vec{v}=x_u x_v+y_u y_v+z_u z_v. Le problème exploite deux usages : (1) orthogonalité (u⃗⊥v⃗\vec{u}\perp\vec{v} ⇔\Leftrightarrow u⃗⋅v⃗=0\vec{u}\cdot\vec{v}=0) pour montrer que des droites ou des vecteurs sont perpendiculaires ; (2) projeté orthogonal HH d'un point MM sur une droite (AB)(AB) — on écrit AH→=t AB→\overrightarrow{AH}=t\,\overrightarrow{AB} et l'on résout HM→⋅AB→=0\overrightarrow{HM}\cdot\overrightarrow{AB}=0.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} » ; « Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont-elles orthogonales ? » ; « Déterminer le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB) » ; « Calculer d(C,(AB))d(C,(AB)) ».

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode
  • Produit scalaire en coordonnées : u⃗⋅v⃗=xuxv+yuyv+zuzv\vec{u}\cdot\vec{v}=x_u x_v+y_u y_v+z_u z_v — valable uniquement en repère orthonormé.
  • Projeté orthogonal : paramétrer H=A+t AB→H=A+t\,\overrightarrow{AB}, puis écrire HM→⋅AB→=0\overrightarrow{HM}\cdot\overrightarrow{AB}=0 pour trouver tt.
  • Angle : cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥ ∥v⃗∥\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} — toujours vérifier que l'angle est dans [0∘,180∘][0^\circ,180^\circ].
  • Distance point-droite : d(M,(AB))=∥AM→−t0 AB→∥d(M,(AB))=\|\overrightarrow{AM}-t_0\,\overrightarrow{AB}\| où t0t_0 est la valeur trouvée pour le projeté.
Les pièges à vérifier dans ta démarche

Appliquer la formule du produit scalaire en coordonnées dans un repère qui n'est pas orthonormé. Confondre AB→⋅CD→=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0 (orthogonalité des vecteurs directeurs) avec le fait que les droites se coupent à angle droit dans l'espace (nécessite en plus de vérifier qu'elles s'intersectent). Oublier le signe lors du calcul de HC→=AC→−t AB→\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{AC}-t\,\overrightarrow{AB}.

Sujet principal

Exercice 1 — orthogonalité et projeté dans le repère de l'espace

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

On se place dans un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗,k⃗)(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}). On donne les points A(1;0;2)A(1;0;2), B(3;2;0)B(3;2;0), C(0;3;1)C(0;3;1) et D(2;1;3)D(2;1;3).

  1. Calculer AB→⋅CD→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}. Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont-elles orthogonales ?
  2. Calculer la norme ∥AB→∥\|\overrightarrow{AB}\| et la norme ∥AC→∥\|\overrightarrow{AC}\|, puis l'angle BAC^\widehat{BAC}.
  3. Soit HH le projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB).
    1. Écrire AH→=t AB→\overrightarrow{AH}=t\,\overrightarrow{AB} et exprimer les coordonnées de HH en fonction de tt.
    2. Utiliser HC→⋅AB→=0\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{AB}=0 pour déterminer tt, puis les coordonnées de HH.
  4. Calculer la distance d(C,(AB))=CHd(C,(AB))=CH.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : produit scalaire en coordonnées ; orthogonal   ⟺  \iff produit nul. AB→=(2;2;−2)\overrightarrow{AB}=(2;2;-2), CD→=(2;−2;2)\overrightarrow{CD}=(2;-2;2), AB→⋅CD→=4−4−4=−4≠0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=4-4-4=-4\neq0 : les droites ne sont pas orthogonales.

2. Idée : cos⁡BAC^=AB→⋅AC→AB⋅AC\cos\widehat{BAC}=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}. AB=12=23AB=\sqrt{12}=2\sqrt3, AC→=(−1;3;−1)\overrightarrow{AC}=(-1;3;-1), AC=11AC=\sqrt{11}, AB→⋅AC→=−2+6+2=6\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-2+6+2=6 ; cos⁡BAC^=6233=333\cos\widehat{BAC}=\dfrac{6}{2\sqrt{33}}=\dfrac3{\sqrt{33}}, BAC^≈58,5∘\widehat{BAC}\approx58{,}5^\circ.

3. Idée : H∈(AB)H\in(AB) s'écrit A+tAB→A+t\overrightarrow{AB}, et HC→⊥AB→\overrightarrow{HC}\perp\overrightarrow{AB} fixe tt. (a) H(1+2t; 2t; 2−2t)H(1+2t;\,2t;\,2-2t). (b) HC→=(−1−2t; 3−2t; −1+2t)\overrightarrow{HC}=(-1-2t;\,3-2t;\,-1+2t) et HC→⋅AB→=2(−1−2t)+2(3−2t)−2(−1+2t)=6−12t=0  ⟺  t=12\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{AB}=2(-1-2t)+2(3-2t)-2(-1+2t)=6-12t=0\iff t=\tfrac12 : H(2;1;1)H(2;1;1). Raccourci : t=AC→⋅AB→AB2=612t=\dfrac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}}{AB^2}=\dfrac6{12}.

4. Idée : la distance d'un point à une droite est la longueur du segment perpendiculaire. HC→=(−2;2;0)\overrightarrow{HC}=(-2;2;0), CH=22CH=2\sqrt2. Contrôle par Pythagore : AH2+HC2=3+8=11=AC2AH^2+HC^2=3+8=11=AC^2.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : L'énoncé peut demander de montrer qu'un triangle est rectangle (montrer que deux côtés sont orthogonaux), ou de calculer la distance d'un point à un plan (utiliser la formule avec le vecteur normal).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill GS-A.1 — orthogonalité par produit scalaire
Entraînement 01 / 02

Drill GS-A.1 — orthogonalité par produit scalaire

1 questionCorrigé masqué

Dans un repère orthonormé, u⃗=(1;2;−1)\vec u=(1;2;-1) et v⃗=(3;−1;1)\vec v=(3;-1;1). Montrer que u⃗⊥v⃗\vec u\perp\vec v.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Idée : deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. u⃗⋅v⃗=1⋅3+2⋅(−1)+(−1)⋅1=3−2−1=0\vec u\cdot\vec v=1\cdot3+2\cdot(-1)+(-1)\cdot1=3-2-1=0, donc u⃗⊥v⃗\vec u\perp\vec v.

2 Drill GS-A.2 — projeté orthogonal
Entraînement 02 / 02

Drill GS-A.2 — projeté orthogonal

1 questionFigure fournieCorrigé masqué

Soit A(1;0;0)A(1;0;0), B(1;2;2)B(1;2;2) et M(2;1;0)M(2;1;0). Déterminer le projeté orthogonal HH de MM sur la droite (AB)(AB).

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Idée : AH→=tAB→\overrightarrow{AH}=t\overrightarrow{AB} avec t=AM→⋅AB→AB2t=\dfrac{\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AB}}{AB^2}. AB→=(0;2;2)\overrightarrow{AB}=(0;2;2), AM→=(1;1;0)\overrightarrow{AM}=(1;1;0), t=0+2+08=14t=\dfrac{0+2+0}{8}=\tfrac14 : H=A+14AB→=(1;12;12)H=A+\tfrac14\overrightarrow{AB}=\big(1;\tfrac12;\tfrac12\big). Contrôle : HM→=(1;12;−12)\overrightarrow{HM}=(1;\tfrac12;-\tfrac12) et HM→⋅AB→=0+1−1=0\overrightarrow{HM}\cdot\overrightarrow{AB}=0+1-1=0.

Relier ce raisonnement au bac

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