Sphères : équation, plan tangent et positions relatives

Idée : compléter les carrés. $(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=1+4+9-5=9$ : centre $\Omega(1;-2;3)$, rayon $r=3$ (le second membre doit être strictement positif pour que l'ensemble soit une sphère).

Idée : tout se ramène au centre $I$ et au vecteur normal $\vec{n}(2;-1;2)$ de $\mathcal{P}$ ; le centre du cercle de section est le projeté orthogonal de $I$.

1. Idée : compléter les carrés. $x^2-4x=(x-2)^2-4$, $y^2+2y=(y+1)^2-1$, $z^2-6z=(z-3)^2-9$, donc l'équation s'écrit $(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=16$. Comme $16>0$, $\mathcal{S}$ est la sphère de centre $\boxed{I(2;-1;3)}$ et de rayon $\boxed{R=4}$.

2. Idée : comparer la distance du centre au plan et le rayon. $d(I,\mathcal{P})=\dfrac{|2\times2-(-1)+2\times3-5|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{6}{3}=2$. Comme $2<4$, le plan coupe la sphère suivant un cercle de rayon $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{16-4}=\boxed{2\sqrt3}$.

3. Idée : le centre du cercle est à l'intersection de $\mathcal{P}$ et de la droite normale issue de $I$. $\Delta$ passe par $I$ et est dirigée par $\vec{n}$ : $x=2+2t$, $y=-1-t$, $z=3+2t$, $t\in\mathbb{R}$. En remplaçant dans l'équation de $\mathcal{P}$ : $2(2+2t)-(-1-t)+2(3+2t)-5=6+9t=0$, d'où $t=-\dfrac23$ et $\boxed{H\left(\dfrac23;-\dfrac13;\dfrac53\right)}$. Contrôle : $IH=\dfrac23\,\|\vec{n}\|=2=d(I,\mathcal{P})$.

4. Idée : un plan parallèle à $\mathcal{P}$ garde le vecteur normal $\vec{n}$ ; il est tangent quand sa distance à $I$ vaut $R$. Ces plans s'écrivent $2x-y+2z+c=0$ et $\dfrac{|11+c|}{3}=4$ donne $c=1$ ou $c=-23$ : $\boxed{\mathcal{Q}_1:2x-y+2z+1=0}$ et $\boxed{\mathcal{Q}_2:2x-y+2z-23=0}$. Le point de contact est sur $\Delta$ à la distance $4$ de $I$, soit $t=\pm\dfrac43$ : $\left(-\dfrac23;\dfrac13;\dfrac13\right)\in\mathcal{Q}_1$ et $\left(\dfrac{14}3;-\dfrac73;\dfrac{17}3\right)\in\mathcal{Q}_2$.

Piège : prendre $I$ pour centre du cercle de section, ou $R-d=2$ pour son rayon.

1.a $\overrightarrow{AB}(-5,5,0)$ et $\overrightarrow{AC}(-5,0,10)$. Composantes : $5\times10-0\times0=50$, $0\times(-5)-(-5)\times10=50$ et $(-5)\times0-5\times(-5)=25$ : $\boxed{\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(50,50,25)}$.

1.b Ce vecteur, non nul, vaut $25\,\vec n$ avec $\vec n(2,2,1)$, normal à $P$ : $P$ a une équation $2x+2y+z+d=0$ et $A\in P$ donne $10+d=0$. D'où $P:\ 2x+2y+z-10=0$ (et l'on vérifie $B$ : $10-10=0$, $C$ : $10-10=0$).

2. $(x-1)^2-1+y^2+(z+1)^2-1-7=0$, soit $(x-1)^2+y^2+(z+1)^2=9$ : $S$ est la sphère de centre $\boxed{\Omega(1,0,-1)}$ et de rayon $\boxed{R=3}$.

3.a $d(\Omega,P)=\dfrac{|2+0-1-10|}{3}=\dfrac93=3=R$ : la distance du centre au plan est égale au rayon, $S$ et $P$ sont tangents.

3.b $\Delta$ passe par $\Omega$ et est dirigée par $\vec n$ : $x=1+2t$, $y=2t$, $z=-1+t$ ($t\in\R$).

3.c Idée : le point de contact est le projeté orthogonal du centre sur le plan, c'est-à-dire $\Delta\cap P$. $2(1+2t)+2(2t)+(-1+t)-10=0$ donne $9t-9=0$, donc $t=1$ et $\boxed{H(3,2,0)}$. Contrôle : $H\in P$ ($6+4+0-10=0$) et $\overrightarrow{\Omega H}(2,2,1)$, donc $\Omega H=3=R$ : $H\in S$.

1.a $\overrightarrow{AB}(-2,-1,1)$ et $\overrightarrow{AC}(1,-1,-2)$. Composantes : $(-1)(-2)-1\times(-1)=3$, $1\times1-(-2)(-2)=-3$ et $(-2)(-1)-(-1)\times1=3$ : $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(3,-3,3)=3\left(\vec i-\vec j+\vec k\right)$, non nul, donc $A$, $B$, $C$ déterminent un plan $P$.

1.b $\vec n(1,-1,1)$ est normal à $P$ : $x-y+z+d=0$ et $A\in P$ donne $3-3+2+d=0$, soit $d=-2$.

2.a $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-3$, $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(2,1,-1)\cdot(3,0,-3)=9$ et $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-1,1,2)\cdot(-3,0,3)=9$ : aucun n'est nul, le triangle n'est pas rectangle. Le centre du cercle circonscrit n'est donc pas le milieu d'un côté : il faut un autre argument.

2.b $\overrightarrow{GA}(1,2,1)$, $\overrightarrow{GB}(-1,1,2)$ et $\overrightarrow{GC}(2,1,-1)$ ont tous pour norme $\sqrt6$. De plus $G\in P$ ($2-1+1-2=0$). Le point $G$ du plan $P$ est équidistant de $A$, $B$ et $C$ : c'est le centre du cercle circonscrit $\mathcal C$, de rayon $\sqrt6$.

3.a $\Delta$ passe par $G$ et est dirigée par $\vec n$ : $x=2+t$, $y=1-t$, $z=1+t$ ($t\in\R$).

3.b Idée : Pythagore dans le triangle $MGA$, rectangle en $G$. Pour $M\in\Delta$, $(MG)\perp P$, donc $(MG)\perp(GA)$ et $MA^2=MG^2+GA^2=MG^2+6$ ; de même $MB^2=MG^2+6$ et $MC^2=MG^2+6$. Donc $MA=MB=MC$ (en coordonnées : $MA^2=3t^2+6$).

4.a Pour $M(2+t,1-t,1+t)$ : $\overrightarrow{MD}(6-t,\,-1+t,\,3-t)$ et $MD^2=3t^2-20t+46$. Alors

ce qui équivaut à $20t=40$ : une unique solution $t=2$, donc $\boxed{I(4,-1,3)}$.

4.b $I\in\Delta$ donne $IA=IB=IC$, et $IA=ID$ par construction ; avec $IA^2=3\times4+6=18$, les quatre points sont sur la sphère $S$ de centre $I(4,-1,3)$ et de rayon $\boxed{3\sqrt2}$. Équation : $(x-4)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=18$, soit $\boxed{x^2+y^2+z^2-8x+2y-6z+8=0}$ (contrôle : $\overrightarrow{ID}(4,1,1)$, $ID^2=18$).

1. $(x-2)^2-4+(y+1)^2-1+z^2-4=0$, soit $(x-2)^2+(y+1)^2+z^2=9$ : sphère de centre $\Omega(2,-1,0)$ et de rayon $3$.

2. $S'$ : $x^2+y^2+(z-2)^2=6$, c'est-à-dire $x^2+y^2+z^2-4z+4-6=0$, soit $x^2+y^2+z^2-4z-2=0$.

3. Idée : le système des deux équations équivaut au système formé de l'une d'elles et de leur différence, où $x^2+y^2+z^2$ disparaît. La différence « équation de $S$ » moins « équation de $S'$ » vaut $-4x+2y+4z-2$, donc

(la seconde équation est la différence divisée par $-2$).

4.a $\overrightarrow{\Omega\Omega'}(-2,1,2)=-(2,-1,-2)$ est colinéaire au vecteur normal de $Q$ : $(\Omega\Omega')\perp Q$. Le point $\Omega+\dfrac23\overrightarrow{\Omega\Omega'}=\left(\dfrac23,-\dfrac13,\dfrac43\right)=K$ est sur $(\Omega\Omega')$, et $K\in Q$ car $\dfrac43+\dfrac13-\dfrac83+1=0$ : la droite est perpendiculaire à $Q$ en $K$.

4.b $d(\Omega',Q)=\dfrac{|0-0-4+1|}{3}=1<\sqrt6$ : $Q$ coupe $S'$ suivant un cercle. Son centre est le projeté orthogonal de $\Omega'$ sur $Q$, c'est-à-dire $K$ (question 4.a), et son rayon est $\sqrt{6-1}=\boxed{\sqrt5}$.

4.c D'après la question 3, $S\cap S'=S'\cap Q=\Gamma$ : $S\cap S'$ est le cercle de centre $K\left(\frac23,-\frac13,\frac43\right)$ et de rayon $\sqrt5$, contenu dans le plan $Q$. Contrôle depuis $S$ : $d(\Omega,Q)=\dfrac{|4+1+0+1|}3=2$ et $\sqrt{9-4}=\sqrt5$.