MX-CMatrices et systèmes linéaires

Produit matriciel quantités × prix et lecture économique

Idée directrice

Un autre usage Eco-Gestion du produit matriciel : une matrice $Q$ de quantités (usines × matières) multipliée par une matrice-colonne $P$ de prix unitaires donne le vecteur des coûts par usine. Le contrôle 2021 enchaîne souvent ce calcul avec un système d'augmentations de prix.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Calculer le produit Q×P »

« Coût mensuel total »

« Matrice des quantités / matrice des prix »

Sujet principal

Exercice — coûts mensuels par produit matriciel

3 questionsCorrigé masqué

On travaille avec le produit matriciel d'une matrice de quantités par une matrice-colonne de prix (lecture économique classique des matrices Eco-Gestion).

Trois ateliers $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ consomment trois matières $M_1$ , $M_2$ , $M_3$ . La matrice des quantités mensuelles (en centaines d'unités) est

$Q=\begin{pmatrix}20&10&5\\15&25&10\\30&5&20\end{pmatrix}$ , et la matrice-colonne des prix unitaires (en milles dinars) est $P=\begin{pmatrix}4\\2{,}5\\3\end{pmatrix}$ .

Calculer le produit matriciel $Q\times P$ . Interpréter chaque coefficient du résultat.
Le coût total mensuel des trois ateliers est la somme des coefficients de $Q\times P$ . Le calculer.
On suppose que les prix deviennent $P'=\begin{pmatrix}4{,}2\\2{,}5\\3\end{pmatrix}$ . Calculer le nouveau produit matriciel $Q\times P'$ et la variation du coût de l'atelier $A_1$ seulement.

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1. Idée : chaque ligne de $Q$ (un atelier) multipliée par la colonne des prix donne le coût de cet atelier. $QP=\begin{pmatrix}80+25+15\\60+62{,}5+30\\120+12{,}5+60\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}120\\152{,}5\\192{,}5\end{pmatrix}$ : coûts mensuels de $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ en milliers de dinars (centaines d'unités × milliers de dinars par unité).

2. Idée : sommer la colonne obtenue. $120+152{,}5+192{,}5=465$ milliers de dinars.

3. Idée : seul le premier prix change, donc seule la première colonne de $Q$ intervient dans la variation. Coût de $A_1$ : $20\cdot4{,}2+25+15=124$ , soit $+4$ milliers de dinars $=20\times(4{,}2-4)$ . Pour les autres ateliers : $+15\times0{,}2=3$ et $+30\times0{,}2=6$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill MX-C.1 — Produit matriciel 2×2 et lecture

2 questionsCorrigé masqué

Soit $R=\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}$ et $S=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}$ .

Calculer le produit matriciel $R\times S$ .
La matrice $R$ est-elle inversible ? Justifier par le déterminant.

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1. Idée : ligne par colonne. $RS=\begin{pmatrix}15+1\\10+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16\\14\end{pmatrix}$ .

2. Idée : $\det R=ad-bc$ . $\det R=12-2=10\neq0$ : $R$ est inversible, $R^{-1}=\frac1{10}\begin{pmatrix}4&-1\\-2&3\end{pmatrix}$ .

Entraînement 02 / 02

Drill MX-C.2 — Passage d'un système 2×2 à l'écriture matricielle

2 questionsCorrigé masqué

On considère le système $(S):\begin{cases}3x+y=11\\x+2y=8\end{cases}$ .

Donner la matrice du système et l'écriture matricielle de $(S)$ .
Calculer le déterminant de cette matrice et résoudre le système.

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1. $A=\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix}$ , $A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11\\8\end{pmatrix}$ .

2. Idée : $\det\neq0$ garantit une solution unique, que l'on obtient par $A^{-1}$ ou par substitution. $\det A=6-1=5$ . $A^{-1}=\frac15\begin{pmatrix}2&-1\\-1&3\end{pmatrix}$ , donc $x=\frac15(22-8)=\frac{14}5$ , $y=\frac15(-11+24)=\frac{13}5$ . Contrôle : $3\cdot\frac{14}5+\frac{13}5=\frac{55}5=11$ .

Méthode / Automatismes

Identifier lignes = entités (ateliers) et colonnes = facteurs (matières).
Le produit matriciel $Q\times P$ n'est défini que si le nombre de colonnes de $Q$ égale le nombre de lignes de $P$ .
Interpréter chaque coefficient avant d'enchaîner un second calcul.

Pièges classiques

Multiplier $P\times Q$ dans le mauvais ordre. Sommer les prix au lieu de faire le produit matriciel. Oublier les unités (milles dinars, centaines d'unités).