MX-DMatrices et systèmes linéaires

Matrice A avec A² = 3A — inverse de B = I + A

Idée directrice

Pour une matrice $A$ vérifiant $A^2=3A$ , on construit $B=I+A$ et on montre que $B$ est inversible en exhibant un produit égal à un multiple de $I$ (souvent via $4I-A$ ).

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« A² = 3A »

« B est inversible »

« (4I − A)(I + A) = 4I »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

Soit $A$ la matrice $3\times 3$ dont toutes les entrées valent $1$ (esprit bac info 2018 principale). On pose $B=I+A$ .

Vérifier que $A^2=3A$ .
Calculer $(4I-A)B$ en utilisant $A^2=3A$ . En déduire que $B$ est inversible et donner $B^{-1}$ .
On écrit un système linéaire $BX=Y$ . Comment résoudre $X$ à l'aide de $B^{-1}$ ?

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1. Idée : chaque coefficient de $A^2$ est la somme des produits d'une ligne de $1$ par une colonne de $1$ . Tout coefficient de $A^2$ vaut $1+1+1=3$ : $A^2=3A$ .

2. Idée : développer comme un produit ordinaire ( $I$ commute avec tout), puis remplacer $A^2$ . $(4I-A)(I+A)=4I+4A-A-A^2=4I+3A-3A=4I$ . Donc $B\cdot\tfrac14(4I-A)=I$ : $B$ est inversible et $B^{-1}=\tfrac14(4I-A)=I-\tfrac14A$ , matrice dont la diagonale vaut $\tfrac34$ et les autres coefficients $-\tfrac14$ .

3. Idée : multiplier à gauche par $B^{-1}$ . $BX=Y\iff X=B^{-1}Y=Y-\tfrac14AY$ : chaque coordonnée de $X$ vaut la coordonnée de $Y$ moins le quart de la somme des coordonnées de $Y$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill MX-D.1 — Produit (4I−A)(I+A)

1 questionCorrigé masqué

En admettant la relation $A^2=3A$ pour une matrice carrée $A$ , développer le produit $(4I-A)(I+A)$ et conclure en une phrase sur l'inversibilité de la matrice $B=I+A$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Idée : développer puis utiliser $A^2=3A$ . $(4I-A)(I+A)=4I+4A-A-A^2=4I+3A-3A=4I$ . Ainsi $(I+A)\cdot\tfrac14(4I-A)=I$ (les deux facteurs commutent, ce sont des polynômes en $A$ ) : $B=I+A$ est inversible et $B^{-1}=\tfrac14(4I-A)$ . Trouver une matrice $C$ telle que $BC=kI$ avec $k\neq0$ suffit toujours à conclure.

Méthode / Automatismes

Relation polynomiale sur $A$ ⇒ candidats d'inverse de $I+A$ de la forme $aI+bA$ .
Vérifier les deux produits $MB=BM=I$ (ou multiple clair).

Pièges classiques

Oublier $A^2=3A$ dans le développement ; conclure inversible sans exhiber l'inverse.