MX-BMatrices et systèmes linéaires

Écriture matricielle d'un système économique et résolution par A^{-1}

Idée directrice

Le second temps typique de l'épreuve Eco-Gestion relie une situation (coûts, quantités, paniers) à un système linéaire $3\times3$ , puis à son écriture matricielle $A X = C$ . La résolution passe par la matrice inverse déjà obtenue : $X=A^{-1}C$ . Attesté 2019 contrôle, 2021 et 2022 principales.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Donner l'écriture matricielle du système (S) »

« La matrice du système »

« Résoudre alors dans R³ le système »

Sujet principal

Exercice — système de production et écriture matricielle

3 questionsCorrigé masqué

Une coopérative agricole prépare trois mélanges d'engrais $G_1$ , $G_2$ , $G_3$ . On note $x$ , $y$ , $z$ les nombres de sacs respectifs. Les contraintes s'écrivent :

$\begin{cases} 2x+y=10\\ x+2y+z=14\\ y+2z=10 \end{cases}$

Donner la matrice du système $A$ , la matrice des inconnues $X$ et la matrice des constantes $C$ . Écrire l'écriture matricielle $A X=C$ .
On donne $A^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{4}&-\tfrac{1}{2}&\tfrac{1}{4}\\-\tfrac{1}{2}&1&-\tfrac{1}{2}\\\tfrac{1}{4}&-\tfrac{1}{2}&\tfrac{3}{4}\end{pmatrix}$ . Résoudre le système dans $\mathbb{R}^3$ en calculant $X=A^{-1}C$ .
Interpréter le résultat en termes de nombres de sacs $G_1$ , $G_2$ , $G_3$ .

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1. Idée : ranger les coefficients des inconnues ligne par ligne, un zéro pour une inconnue absente. $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ , $C=\begin{pmatrix}10\\14\\10\end{pmatrix}$ ; le système s'écrit $AX=C$ .

2. Idée : multiplier à gauche par $A^{-1}$ : $AX=C\iff X=A^{-1}C$ . $X=\begin{pmatrix}\tfrac34\cdot10-\tfrac12\cdot14+\tfrac14\cdot10\\-\tfrac12\cdot10+14-\tfrac12\cdot10\\\tfrac14\cdot10-\tfrac12\cdot14+\tfrac34\cdot10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\3\end{pmatrix}$ . Vérification dans la première équation : $2\cdot3+4=10$ . $S=\{(3;4;3)\}$ .

3. Idée : revenir au sens des inconnues. $3$ sacs de $G_1$ , $4$ de $G_2$ , $3$ de $G_3$ ; la matrice inverse a résolu les trois contraintes d'un seul produit.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill MX-B.1 — Traduire une situation en système 2×2

3 questionsCorrigé masqué

Un atelier fabrique des cartons $P$ et $Q$ . Soit $x$ le nombre de cartons $P$ et $y$ le nombre de cartons $Q$ .

• Au total, $50$ cartons sont produits : $x+y=50$ .

• Le coût unitaire de $P$ est $8$ DT, celui de $Q$ est $12$ DT, pour un coût total de $520$ DT : $8x+12y=520$ .

Écrire le système $(S)$ associé et sa matrice du système $A$ .
Donner l'écriture matricielle $A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=C$ en précisant $C$ .
Résoudre le système (par substitution ou matrice inverse $2\times2$ ).

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1. Idée : une ligne par contrainte. $(S):\begin{cases}x+y=50\\8x+12y=520\end{cases}$ , $A=\begin{pmatrix}1&1\\8&12\end{pmatrix}$ .

2. $C=\begin{pmatrix}50\\520\end{pmatrix}$ et $A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=C$ .

3. Idée : substitution (ou $A^{-1}=\frac14\begin{pmatrix}12&-1\\-8&1\end{pmatrix}$ ). $y=50-x$ puis $8x+600-12x=520\iff x=20$ , $y=30$ . Par la matrice inverse : $x=\tfrac14(12\cdot50-520)=20$ , $y=\tfrac14(-8\cdot50+520)=30$ . Vingt cartons $P$ , trente cartons $Q$ .

Entraînement 02 / 02

Drill MX-B.2 — Vérifier une solution d'un système 3×3

2 questionsCorrigé masqué

On considère le système $\begin{cases}2x+y=8\\x+2y+z=11\\y+2z=7\end{cases}$ et le triplet proposé $(x,y,z)=(3,2, \tfrac{5}{2})$ .

Écrire la matrice du système $A$ et la matrice $C$ des seconds membres.
Calculer le produit matriciel $A\begin{pmatrix}3\\2\\\tfrac{5}{2}\end{pmatrix}$ et conclure.

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1. $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}$ , $C=\begin{pmatrix}8\\11\\7\end{pmatrix}$ .

2. Idée : un triplet est solution si et seulement si $AX=C$ coefficient par coefficient. $A\begin{pmatrix}3\\2\\\tfrac52\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\\tfrac{19}2\\7\end{pmatrix}$ : la deuxième ligne donne $9{,}5\neq11$ . Le triplet n'est pas solution. (La vraie solution est $(3;2;\tfrac52)$ pour $C=(8;9{,}5;7)$ , ou $X=A^{-1}C$ pour le second membre donné.)

Méthode / Automatismes

Traduire chaque contrainte en une ligne de la matrice du système.
Écrire $A X=C$ avant de calculer $X=A^{-1}C$ .
Vérifier une ligne du système en réinjectant $(x,y,z)$ obtenu.

Pièges classiques

Inverser l'ordre $X=C A^{-1}$ . Oublier l'écriture matricielle et résoudre « à la main » sans s'appuyer sur $A^{-1}$ fournie. Interpréter des solutions non entières sans vérifier le modèle.