MX-AMatrices et systèmes linéaires

Déterminant, inversibilité et matrice inverse via produit A×B = k I

Idée directrice

En Eco-Gestion, l'exercice de matrices ouvre souvent par le déterminant d'une matrice $3\times3$ : si $\det(A)\neq0$ , la matrice est inversible. Le corrigé calcule ensuite un produit matriciel $A\times B=k I_3$ pour en déduire la matrice inverse $A^{-1}=\dfrac{1}{k}B$ . Forme attestée sur les principales 2021–2022 et le contrôle 2021.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Calculer le déterminant de A, en déduire que A est inversible »

« Calculer A×B et déduire la matrice inverse »

« On a A×B = k I₃ »

Sujet principal

Exercice — déterminant et matrice inverse (esprit bac Eco-Gestion)

3 questionsCorrigé masqué

On considère les matrices $3\times3$

$A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}3&-2&1\\-2&4&-2\\1&-2&3\end{pmatrix}$ .

Calculer le déterminant $\det(A)$ . En déduire que la matrice $A$ est inversible.
Calculer le produit matriciel $A\times B$ . Vérifier que $A\times B=4 I_3$ où $I_3$ est la matrice identité d'ordre 3.
En déduire la matrice inverse $A^{-1}$ .

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1. Idée : développer selon la première ligne ; une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. $\det A=2(2\cdot2-1\cdot1)-1(1\cdot2-1\cdot0)+0=6-2=4\neq0$ : $A$ est inversible.

2. Idée : produit ligne par colonne, neuf coefficients. Première ligne de $A$ par les colonnes de $B$ : $2\cdot3+1\cdot(-2)+0=4$ , $2\cdot(-2)+1\cdot4+0=0$ , $2\cdot1+1\cdot(-2)+0=0$ ; de même pour les deux autres lignes. $AB=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}=4I_3$ .

3. Idée : si $AB=kI$ avec $k\neq0$ , alors $A^{-1}=\frac1kB$ . $A\big(\tfrac14B\big)=I_3$ , donc $A^{-1}=\tfrac14B=\begin{pmatrix}\tfrac34&-\tfrac12&\tfrac14\\-\tfrac12&1&-\tfrac12\\\tfrac14&-\tfrac12&\tfrac34\end{pmatrix}$ . Cohérence : $\det A^{-1}=1/\det A=\tfrac14$ .

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill MX-A.1 — Déterminant et inversibilité d'une matrice 2×2

2 questionsCorrigé masqué

Soit la matrice $M=\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}$ .

Calculer le déterminant $\det(M)$ .
La matrice $M$ est-elle inversible ? Si oui, déterminer la matrice inverse $M^{-1}$ .

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1. Idée : $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$ . $\det M=3\cdot4-1\cdot2=10$ .

2. Idée : $\det\neq0\Rightarrow$ inversible, et $M^{-1}=\frac1{\det M}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ . $M^{-1}=\dfrac1{10}\begin{pmatrix}4&-1\\-2&3\end{pmatrix}$ . Vérification : $MM^{-1}=\dfrac1{10}\begin{pmatrix}12-2&-3+3\\8-8&-2+12\end{pmatrix}=I_2$ .

Entraînement 02 / 02

Drill MX-A.2 — Condition d'inversibilité d'une matrice à paramètre

2 questionsCorrigé masqué

On considère la matrice $M_t=\begin{pmatrix}2&1&0\\t&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}$ où $t\in\mathbb{R}$ .

Montrer que $\det(M_t)=2-t$ .
Pour quelles valeurs de $t$ la matrice $M_t$ est-elle inversible ?

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1. Idée : développer selon la troisième colonne, qui contient deux zéros. $\det M_t=1\cdot\det\begin{pmatrix}2&1\\t&1\end{pmatrix}=2-t$ .

2. Idée : inversible $\iff\det\neq0$ . $M_t$ est inversible si et seulement si $t\neq2$ . Pour $t=2$ les deux premières lignes sont proportionnelles… presque : $(2,1,0)$ et $(2,1,0)$ sont égales, le déterminant s'annule.

Méthode / Automatismes

Calculer d'abord $\det(A)$ : $\det(A)\neq0$ $\Leftrightarrow$ matrice inversible.
Si $A\times B=k I_3$ avec $k\neq0$ , alors $A^{-1}=\dfrac{1}{k}B$ .
Vérifier une ligne du produit matriciel avant d'affirmer l'égalité à $k I_3$ .

Pièges classiques

Conclure à l'inversibilité sans le déterminant. Oublier le facteur $\dfrac{1}{k}$ dans la matrice inverse. Confondre $B$ avec $A^{-1}$ lorsque $A\times B=k I_3$ et $k\neq1$ .