Masar
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Bac Tunisie
Mathématiques/EX-C
Entraîner la reconnaissance
EX-CFonctions exponentielles et puissances

Fonction f(x)=(x+1)2−xexf(x)=(x+1)^2-x\mathrm{e}^{x} : variations et aire

Idée directrice

Forme attestée en Bac SE, session de contrôle 2018, exercice 3 : fonction en exponentielle f(x)=(x+1)2−xexf(x)=(x+1)^2-x e^{x}, branches infinies, dérivée factorisée (x+1)(2−ex)(x+1)(2-e^{x}), tableau de variation, comparaison avec g(x)=exg(x)=e^{x}, aire entre les courbes.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« f(x)=(x+1)2−xexf(x)=(x+1)^2-x e^{x} »

« f′(x)=(x+1)(2−ex)f'(x)=(x+1)(2-e^{x}) »

« x=ln⁡2x=\ln 2 »

« Aire entre gg et ff »

Sujet principal

Exercice — fonction exponentielle et aire (esprit SE contrôle 2018)

5 questionsCorrigé masqué

Soit ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(x+1)2−xexf(x)=(x+1)^2-x e^{x} (fonction faisant intervenir l'exponentielle exe^{x}). On note (Cf)(C_f) sa courbe. On pose aussi g(x)=exg(x)=e^{x}. On utilisera ln⁡2\ln 2 dans l'étude de f′f'.

  1. Calculer lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x) et lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x). Préciser la nature des branches infinies.
  2. Montrer que f′(x)=(x+1)(2−ex)f'(x)=(x+1)(2-e^{x}) pour tout x∈Rx\in\mathbb{R}.
  3. Étudier le signe de f′f' et dresser le tableau de variation de ff (on rappelle que 2−ex>0⇔x<ln⁡22-e^{x}>0\Leftrightarrow x<\ln 2).
  4. Montrer que pour tout x∈Rx\in\mathbb{R}, ex−(x+1)≥0e^{x}-(x+1)\ge 0, avec égalité en x=0x=0 seulement.
  5. Calculer l'aire A=∫−10(g(x)−f(x)) dxA=\displaystyle\int_{-1}^{0}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,\mathrm{d}x.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : en −∞-\infty, xex→0x\e^x\to0 (croissances comparées) ; en +∞+\infty, xexx\e^x l'emporte sur le polynôme. lim⁡−∞f=+∞\lim\limits_{-\infty}f=+\infty avec f(x)x→−∞\dfrac{f(x)}{x}\to-\infty : branche parabolique de direction (Oy)(Oy). lim⁡+∞f=−∞\lim\limits_{+\infty}f=-\infty, également en branche parabolique de direction (Oy)(Oy) (f(x)x→−∞\dfrac{f(x)}{x}\to-\infty).

2. f′(x)=2(x+1)−(ex+xex)=2(x+1)−(x+1)ex=(x+1)(2−ex)f'(x)=2(x+1)-(\e^x+x\e^x)=2(x+1)-(x+1)\e^x=(x+1)(2-\e^x).

3. f′f' s'annule en −1-1 et en ln⁡2\ln2 ; 2−ex>0  ⟺  x<ln⁡22-\e^x>0\iff x<\ln2. Sur ]−∞,−1[]-\infty,-1[ : (−)(+)<0(-)(+)<0 ; sur ]−1,ln⁡2[]-1,\ln2[ : (+)(+)>0(+)(+)>0 ; sur ]ln⁡2,+∞[]\ln2,+\infty[ : (+)(−)<0(+)(-)<0. ff décroît, croît, décroît : minimum local f(−1)=1ef(-1)=\dfrac1\e, maximum local f(ln⁡2)=(ln⁡2+1)2−2ln⁡2=ln⁡22+1≈1,48f(\ln2)=(\ln2+1)^2-2\ln2=\ln^22+1\approx1{,}48.

4. h(x)=ex−(x+1)h(x)=\e^x-(x+1), h′(x)=ex−1h'(x)=\e^x-1 : hh décroît sur ]−∞,0]]-\infty,0], croît sur [0,+∞[[0,+\infty[, minimum h(0)=0h(0)=0. Donc h≥0h\geq0 sur R\R, nulle en 00 seulement.

5. Idée : factoriser g−fg-f pour lire son signe, puis primitive de (x+1)ex(x+1)\e^x. g(x)−f(x)=ex−(x+1)2+xex=(x+1)(ex−(x+1))≥0g(x)-f(x)=\e^x-(x+1)^2+x\e^x=(x+1)\big(\e^x-(x+1)\big)\geq0 sur [−1,0][-1,0] (produit de deux facteurs positifs), donc AA est bien une aire. Comme (xex)′=(x+1)ex(x\e^x)'=(x+1)\e^x :

A=∫−10((x+1)ex−(x+1)2)dx=[xex−(x+1)33]−10=(0−13)−(−1e−0)=1e−13≈0,035 u.a.A=\int_{-1}^{0}\Big((x+1)\e^x-(x+1)^2\Big)\dd x=\Big[x\e^x-\frac{(x+1)^3}{3}\Big]_{-1}^{0}=\Big(0-\frac13\Big)-\Big(-\frac1\e-0\Big)=\boxed{\frac1\e-\frac13\approx0{,}035\ \text{u.a.}}

Le résultat est petit mais positif : sur [−1,0][-1,0] les deux courbes sont très proches (ex\e^x et (x+1)2(x+1)^2 valent toutes deux 11 en 00).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill EX-C.1 — dérivée (x+1)(2−ex)(x+1)(2-e^{x})

3 questionsCorrigé masqué

Soit f(x)=(x+1)2−xexf(x)=(x+1)^2-x e^{x} sur R\mathbb{R} (présence de l'exponentielle exe^{x} et de ln⁡2\ln 2).

  1. Montrer que f′(x)=(x+1)(2−ex)f'(x)=(x+1)(2-e^{x}).
  2. Résoudre f′(x)=0f'(x)=0.
  3. Étudier le signe de f′f' sur R\mathbb{R}.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. f(x)=(x+1)2−xexf(x)=(x+1)^2-x e^{x} fait intervenir l'exponentielle exe^{x}. En dérivant : f′(x)=2(x+1)−(ex+xex)=2(x+1)−ex(x+1)=(x+1)(2−ex)f'(x)=2(x+1)-(e^{x}+x e^{x})=2(x+1)-e^{x}(x+1)=(x+1)(2-e^{x}).

2. f′(x)=0⇔x=−1f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1 ou ex=2⇔x=ln⁡2e^{x}=2\Leftrightarrow x=\ln 2 (on note aussi ln⁡2\ln2).

3. 2−ex>0⇔ex<2⇔x<ln⁡22-e^{x}>0\Leftrightarrow e^{x}<2\Leftrightarrow x<\ln2. Le signe de f′f' se lit sur le produit (x+1)(2−ex)(x+1)(2-e^{x}) : f′f' change de signe en −1-1 et en ln⁡2\ln2, d'où un minimum local en −1-1 et un maximum local en ln⁡2\ln2.

Méthode / Automatismes
  • Factoriser f′f' sous la forme (x+1)(2−ex)(x+1)(2-e^{x}).
  • Le signe de 2−ex2-e^{x} se lit via x≶ln⁡2x\lessgtr\ln 2.
  • L'aire entre gg et ff est ∫∣g−f∣\int|g-f|.
Pièges classiques

Oublier la racine x=−1x=-1 de f′f'. Confondre ln⁡2\ln 2 avec 22. Calculer l'aire sans tenir compte du signe de g−fg-f.