EX-DFonctions exponentielles et puissances

Équations et inéquations avec $\mathrm{e}^{x}$ ; comparaison $e^{x}$ et $x+1$

Idée directrice

Scénario d'entraînement ancré sur le corrigé SE contrôle 2018 (vocabulaire exponentiel, $\ln 2$ , comparaison $e^{x}$ et droite) : résoudre des équations/inéquations en $e^{x}$ , et redémontrer $e^{x}\ge x+1$ utilisé dans l'épreuve.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« $e^{2x}-3e^{x}+2=0$ »

« $e^{x}<2\Leftrightarrow x<\ln 2$ »

« $e^{x}\ge x+1$ »

Sujet principal

Exercice — équations exponentielles et inégalité $e^{x}\ge x+1$

5 questionsCorrigé masqué

On travaille avec la fonction exponentielle $x\mapsto e^{x}$ et la constante $\ln 2$ . Les équations portent sur $e^{x}$ et $e^{2x}$ .

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x}-3e^{x}+2=0$ (on pourra poser $X=e^{x}$ ).
Résoudre l'inéquation $e^{x}<2$ . Exprimer la solution à l'aide de $\ln 2$ .
Soit $h(x)=e^{x}-(x+1)$ . Étudier les variations de $h$ et en déduire que $h(x)\ge 0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ .
En déduire que pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $e^{x}\ge x+1$ , avec égalité si et seulement si $x=0$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(x+1)(2-e^{x})=0$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : poser $X=\e^x>0$ . $X^2-3X+2=(X-1)(X-2)=0$ : $\e^x=1$ ou $\e^x=2$ , soit $\mathcal S=\{0\,;\,\ln2\}$ .

2. $\e^x<2\iff x<\ln2$ (croissance stricte de $\exp$ , et $2=\e^{\ln2}$ ) : $\mathcal S=]-\infty,\ln2[$ .

3. $h'(x)=\e^x-1$ , négatif sur $]-\infty,0[$ , positif sur $]0,+\infty[$ : $h$ décroît puis croît, minimum $h(0)=1-1=0$ . Donc $h(x)\geq0$ pour tout réel $x$ .

4. $h\geq0$ signifie $\e^x\geq x+1$ ; l'égalité $h(x)=0$ n'a lieu qu'au minimum, en $x=0$ . Graphiquement, la courbe de $\exp$ est au-dessus de sa tangente en $0$ , $y=x+1$ .

5. Idée : produit nul. $(x+1)(2-\e^x)=0\iff x=-1$ ou $\e^x=2\iff x=\ln2$ :

\mathcal S=\{-1\,;\,\ln2\}

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill EX-D.1 — équation $e^{2x}-3e^{x}+2=0$

3 questionsCorrigé masqué

On résout dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x}-3e^{x}+2=0$ portant sur la fonction exponentielle.

Poser $X=e^{x}$ et préciser $X>0$ .
Résoudre l'équation en $X$ .
En déduire les solutions en $x$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On pose $X=e^{x}$ . Comme la fonction exponentielle est à valeurs strictement positives, $X>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ .

2. L'équation devient $X^2-3X+2=0$ , soit $(X-1)(X-2)=0$ . Les solutions positives sont $X=1$ et $X=2$ .

3. $e^{x}=1\Rightarrow x=0$ et $e^{x}=2\Rightarrow x=\ln 2$ (noté aussi $\ln2$ ). L'ensemble des solutions est $\{0,\ln2\}$ .

Entraînement 02 / 02

Drill EX-D.2 — inégalité $e^{x}\ge x+1$

3 questionsCorrigé masqué

Soit $h(x)=e^{x}-(x+1)$ sur $\mathbb{R}$ (comparaison de l'exponentielle $e^{x}$ à la droite $x+1$ ).

Calculer $h'(x)$ et étudier son signe.
En déduire le minimum de $h$ .
Conclure que $e^{x}\ge x+1$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $h(x)=e^{x}-(x+1)$ compare l'exponentielle $e^{x}$ à la droite affine $x+1$ . On a $h'(x)=e^{x}-1$ , donc $h'(x)<0$ pour $x<0$ , $h'(0)=0$ et $h'(x)>0$ pour $x>0$ .

2. $h$ admet un minimum global en $x=0$ , avec $h(0)=0$ . Le tableau de variation de $h$ montre que $h$ décroît vers $0$ sur $]-\infty,0]$ puis croît sur $[0,+\infty[$ .

3. Ainsi $h(x)\ge 0$ pour tout $x$ , c'est-à-dire $e^{x}\ge x+1$ , avec égalité si et seulement si $x=0$ . Cette inégalité est classique pour la fonction exponentielle.

Méthode / Automatismes

Le changement $X=e^{x}$ transforme une équation en polynôme en $X>0$ .
L'exponentielle est strictement croissante : elle préserve les inégalités.
L'inégalité $e^{x}\ge x+1$ se lit sur le minimum de $e^{x}-(x+1)$ .

Pièges classiques

Accepter $X\le 0$ après le changement de variable. Écrire $\ln(e^{x}<2)$ au lieu de $x<\ln 2$ .

Équations et inéquations avec ex\mathrm{e}^{x}ex ; comparaison exe^{x}ex et x+1x+1x+1

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Équations et inéquations avec $\mathrm{e}^{x}$ ; comparaison $e^{x}$ et $x+1$