EX-EFonctions exponentielles et puissances

Le problème avec exponentielle : étude de $x\,\e^{-x}$ , tangente, encadrement, suite d'intégrales par parties

Idée directrice

Quand l'exercice 4 porte une exponentielle, la partie A joue sur les croissances comparées ( $x\e^{-x}\to0$ ), la dérivée d'un produit et une tangente dont on étudie la position ; la partie B définit une suite d'intégrales $I_n=\int_0^1 x^n\e^{-x}\,\dd x$ et exige l'intégration par parties pour la relation de récurrence, puis un encadrement pour la limite. La fonction exponentielle se dérive et s'intègre « toute seule » : c'est pourquoi le bac l'aime.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ et interpréter graphiquement » ; « montrer que $f'(x)=(\dots)\e^{-x}$ » ; « étudier la position relative de $\mathcal C$ et $T$ » ; « à l'aide d'une intégration par parties, montrer que … » ; « en déduire $\lim I_n$ ».

Sujet principal

Exercice 4 — problème (7 points), dans l’esprit des sessions 2019 et 2021

5 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\,\e^{-x}$ et $\mathcal C$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ .

Partie A

Calculer $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)$ ; interpréter graphiquement la seconde.
1. Montrer que pour tout réel $x$ , $f'(x)=(1-x)\e^{-x}$ .
2. Dresser le tableau de variation de $f$ .
1. Montrer qu'une équation de la tangente $T$ à $\mathcal C$ au point $O$ est $y=x$ .
2. Étudier le signe de $f(x)-x$ et en déduire la position relative de $\mathcal C$ et $T$ .
Montrer que pour tout $x\in[0,1]$ , $0\leq f(x)\leq\dfrac1{\e}$ .

Partie B

Pour tout entier $n\geq 1$ , on pose $I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n\,\e^{-x}\,\dd x$ .
1. Calculer $I_1$ à l'aide d'une intégration par parties.
2. Montrer que pour tout $n\geq 1$ , $I_{n+1}=(n+1)\,I_n-\dfrac1{\e}$ .
3. Montrer que pour tout $n\geq 1$ , $0\leq I_n\leq\dfrac1{n+1}$ , et en déduire $\lim\limits_{n\to+\infty} I_n$ .
4. En déduire $\lim\limits_{n\to+\infty} n\,I_n$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

A.1 En $-\infty$ : $x\to-\infty$ et $\e^{-x}\to+\infty$ , donc $f(x)\to-\infty$ . En $+\infty$ : $f(x)=\dfrac{x}{\e^{x}}$ et par croissances comparées $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\e^x}=0$ ; l'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal C$ en $+\infty$ .

A.2.a Idée : dérivée d'un produit. $f'(x)=1\cdot\e^{-x}+x\cdot(-\e^{-x})=(1-x)\e^{-x}$ .

A.2.b $\e^{-x}>0$ , donc $f'(x)$ a le signe de $1-x$ : $f$ est croissante sur $]-\infty,1]$ , décroissante sur $[1,+\infty[$ , avec un maximum $f(1)=\dfrac1{\e}$ ; limites $-\infty$ en $-\infty$ et $0$ en $+\infty$ .

A.3.a $f(0)=0$ et $f'(0)=1$ : $T\ :\ y=f'(0)(x-0)+f(0)=x$ .

A.3.b Idée : factoriser. $f(x)-x=x(\e^{-x}-1)$ . Pour $x>0$ : $\e^{-x}<1$ donc $f(x)-x<0$ ; pour $x<0$ : $\e^{-x}>1$ et $x<0$ donc $f(x)-x<0$ aussi. Ainsi $f(x)\leq x$ pour tout $x$ , égalité en $0$ seulement : $\mathcal C$ est au-dessous de $T$ et la touche en $O$ .

A.4 Sur $[0,1]$ , $f$ est croissante (tableau) : $f(0)=0\leq f(x)\leq f(1)=\dfrac1{\e}$ .

B.1.a Idée : IPP avec $u=x$ , $v'=\e^{-x}$ . $I_1=\big[-x\e^{-x}\big]_0^1+\displaystyle\int_0^1\e^{-x}\,\dd x=-\dfrac1{\e}+\big[-\e^{-x}\big]_0^1=-\dfrac1{\e}+1-\dfrac1{\e}=1-\dfrac2{\e}$ .

B.1.b Idée : IPP avec $u=x^{n+1}$ , $v'=\e^{-x}$ . $I_{n+1}=\big[-x^{n+1}\e^{-x}\big]_0^1+(n+1)\displaystyle\int_0^1x^n\e^{-x}\,\dd x=-\dfrac1{\e}+(n+1)I_n$ :

I_{n+1}=(n+1)\,I_n-\frac1{\e}

B.1.c Idée : encadrer l'intégrande. Pour $x\in[0,1]$ , $0<\e^{-x}\leq1$ , donc $0\leq x^n\e^{-x}\leq x^n$ ; en intégrant, $0\leq I_n\leq\displaystyle\int_0^1x^n\,\dd x=\dfrac1{n+1}$ . Par les gendarmes, $\lim I_n=0$ .

B.1.d Idée : lire $nI_n$ dans la relation de récurrence. De $I_{n+1}=(n+1)I_n-\dfrac1{\e}$ : $(n+1)I_n=I_{n+1}+\dfrac1{\e}\to\dfrac1{\e}$ . Comme $nI_n=(n+1)I_n-I_n$ et $I_n\to0$ :

\lim_{n\to+\infty} n\,I_n=\boxed{\frac1{\e}}

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill EX-E.1 — vérifier une primitive par dérivation

3 questionsCorrigé masqué

Soit $F$ la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par $F(x)=\displaystyle\int_0^x\e^{-\sqrt t}\,\dd t$ et $H(x)=-2(1+\sqrt x)\,\e^{-\sqrt x}$ .

Justifier que $F$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et donner $F'(x)$ .
Montrer que pour tout $x>0$ , $H'(x)=\e^{-\sqrt x}$ . En déduire que $F(x)=H(x)-H(0)$ , puis expliciter $F(x)$ .
Déterminer $\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $t\mapsto\e^{-\sqrt t}$ est continue sur $[0,+\infty[$ , donc $F$ est dérivable et $F'(x)=\e^{-\sqrt x}$ .

2. Idée : dériver un produit avec $(\sqrt x)'=\dfrac1{2\sqrt x}$ . $H'(x)=-2\Big[\dfrac{1}{2\sqrt x}\e^{-\sqrt x}+(1+\sqrt x)\Big(-\dfrac{1}{2\sqrt x}\Big)\e^{-\sqrt x}\Big]=-2\e^{-\sqrt x}\cdot\dfrac{1-1-\sqrt x}{2\sqrt x}=\e^{-\sqrt x}$ . $F$ et $H$ ont la même dérivée sur $]0,+\infty[$ et sont continues en $0$ : $F-H$ est constante, égale à $F(0)-H(0)=-H(0)=2$ . Donc $F(x)=2-2(1+\sqrt x)\e^{-\sqrt x}$ .

3. Avec $u=\sqrt x\to+\infty$ : $(1+u)\e^{-u}\to0$ par croissances comparées, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=2$ .

Entraînement 02 / 02

Drill EX-E.2 — équation avec exponentielle et TVI

3 questionsCorrigé masqué

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=\e^{x}-x-2$ .

Dresser le tableau de variation de $g$ (limites comprises).
Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet exactement deux solutions $\alpha<0<\beta$ , et que $1<\beta<2$ .
En déduire le signe de $\e^x-x-2$ suivant les valeurs de $x$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $g'(x)=\e^x-1$ , nul en $0$ , négatif avant, positif après : $g$ décroît sur $]-\infty,0]$ puis croît, minimum $g(0)=-1$ . $\lim_{-\infty}g=+\infty$ ( $\e^x\to0$ , $-x\to+\infty$ ) ; $\lim_{+\infty}g=+\infty$ (croissances comparées : $\e^x-x\to+\infty$ ).

2. Sur $]-\infty,0]$ , $g$ continue strictement décroissante de $+\infty$ à $-1<0$ : une unique solution $\alpha<0$ . Sur $[0,+\infty[$ , continue strictement croissante de $-1$ à $+\infty$ : une unique solution $\beta>0$ . $g(1)=\e-3<0$ et $g(2)=\e^2-4>0$ , donc $1<\beta<2$ .

3. $g(x)>0$ sur $]-\infty,\alpha[\,\cup\,]\beta,+\infty[$ , $g(x)<0$ sur $]\alpha,\beta[$ , nul en $\alpha$ et $\beta$ .

Méthode / Automatismes

Limites avec exponentielle : écrire la forme $\dfrac{x^k}{\e^x}$ ou $x^k\e^{-x}$ et invoquer les croissances comparées ; en $-\infty$ , $\e^{-x}\to+\infty$ .
Dérivée de $u\e^{v}$ : $(u'+uv')\e^{v}$ , puis factoriser par l'exponentielle (strictement positive) pour lire le signe.
Position relative de $\mathcal C$ et d'une tangente : étudier le signe de $f(x)-(ax+b)$ en factorisant.
Suite $\int_0^1x^n\e^{-x}$ : IPP en dérivant $x^{n+1}$ , jamais l'exponentielle ; l'encadrement vient de $0<\e^{-x}\leq1$ sur $[0,1]$ .
Limite de $nI_n$ : isoler $(n+1)I_n$ dans la récurrence — pas de calcul direct.

Pièges classiques

Écrire $\lim\limits_{x\to+\infty}x\e^{-x}=+\infty\times0$ et s'arrêter (forme indéterminée levée par les croissances comparées) ; oublier le signe « $-$ » en dérivant $\e^{-x}$ ; dans l'IPP, dériver $\e^{-x}$ au lieu de $x^{n+1}$ (la relation obtenue ne se referme pas) ; conclure $nI_n\to0$ « puisque $I_n\to0$ ».

Le problème avec exponentielle : étude de x e−xx\,\e^{-x}xe−x, tangente, encadrement, suite d'intégrales par parties

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Le problème avec exponentielle : étude de $x\,\e^{-x}$ , tangente, encadrement, suite d'intégrales par parties