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Fahmio
Fahmio
Bac Tunisie
Mathématiques/EX-E
EX-EFonctions exponentielles et puissances

Le problème avec exponentielle : étude de x e−xx\,\e^{-x}, tangente, encadrement, suite d'intégrales par parties

Idée directrice

Quand l'exercice 4 porte une exponentielle, la partie A joue sur les croissances comparées (xe−x→0x\e^{-x}\to0), la dérivée d'un produit et une tangente dont on étudie la position ; la partie B définit une suite d'intégrales In=∫01xne−x dxI_n=\int_0^1 x^n\e^{-x}\,\dd x et exige l'intégration par parties pour la relation de récurrence, puis un encadrement pour la limite. La fonction exponentielle se dérive et s'intègre « toute seule » : c'est pourquoi le bac l'aime.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Calculer lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) et interpréter graphiquement » ; « montrer que f′(x)=(… )e−xf'(x)=(\dots)\e^{-x} » ; « étudier la position relative de C\mathcal C et TT » ; « à l'aide d'une intégration par parties, montrer que … » ; « en déduire lim⁡In\lim I_n ».

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode
  • Limites avec exponentielle : écrire la forme xkex\dfrac{x^k}{\e^x} ou xke−xx^k\e^{-x} et invoquer les croissances comparées ; en −∞-\infty, e−x→+∞\e^{-x}\to+\infty.
  • Dérivée de uevu\e^{v} : (u′+uv′)ev(u'+uv')\e^{v}, puis factoriser par l'exponentielle (strictement positive) pour lire le signe.
  • Position relative de C\mathcal C et d'une tangente : étudier le signe de f(x)−(ax+b)f(x)-(ax+b) en factorisant.
  • Suite ∫01xne−x\int_0^1x^n\e^{-x} : IPP en dérivant xn+1x^{n+1}, jamais l'exponentielle ; l'encadrement vient de 0<e−x≤10<\e^{-x}\leq1 sur [0,1][0,1].
  • Limite de nInnI_n : isoler (n+1)In(n+1)I_n dans la récurrence — pas de calcul direct.
Les pièges à vérifier dans ta démarche

Écrire lim⁡x→+∞xe−x=+∞×0\lim\limits_{x\to+\infty}x\e^{-x}=+\infty\times0 et s'arrêter (forme indéterminée levée par les croissances comparées) ; oublier le signe « −- » en dérivant e−x\e^{-x} ; dans l'IPP, dériver e−x\e^{-x} au lieu de xn+1x^{n+1} (la relation obtenue ne se referme pas) ; conclure nIn→0nI_n\to0 « puisque In→0I_n\to0 ».

Sujet principal

Exercice 4 — problème (7 points), dans l’esprit des sessions 2019 et 2021

5 questionsCorrigé masqué

Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x e−xf(x)=x\,\e^{-x} et C\mathcal C sa courbe dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O,\vec i,\vec j).

Partie A

  1. Calculer lim⁡x→−∞f(x)\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) et lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) ; interpréter graphiquement la seconde.
    1. Montrer que pour tout réel xx, f′(x)=(1−x)e−xf'(x)=(1-x)\e^{-x}.
    2. Dresser le tableau de variation de ff.
    1. Montrer qu'une équation de la tangente TT à C\mathcal C au point OO est y=xy=x.
    2. Étudier le signe de f(x)−xf(x)-x et en déduire la position relative de C\mathcal C et TT.
  4. Montrer que pour tout x∈[0,1]x\in[0,1], 0≤f(x)≤1e0\leq f(x)\leq\dfrac1{\e}.

Partie B

  1. Pour tout entier n≥1n\geq 1, on pose In=∫01xn e−x dxI_n=\displaystyle\int_0^1 x^n\,\e^{-x}\,\dd x.
    1. Calculer I1I_1 à l'aide d'une intégration par parties.
    2. Montrer que pour tout n≥1n\geq 1, In+1=(n+1) In−1eI_{n+1}=(n+1)\,I_n-\dfrac1{\e}.
    3. Montrer que pour tout n≥1n\geq 1, 0≤In≤1n+10\leq I_n\leq\dfrac1{n+1}, et en déduire lim⁡n→+∞In\lim\limits_{n\to+\infty} I_n.
    4. En déduire lim⁡n→+∞n In\lim\limits_{n\to+\infty} n\,I_n.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

A.1 En −∞-\infty : x→−∞x\to-\infty et e−x→+∞\e^{-x}\to+\infty, donc f(x)→−∞f(x)\to-\infty. En +∞+\infty : f(x)=xexf(x)=\dfrac{x}{\e^{x}} et par croissances comparées lim⁡x→+∞xex=0\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\e^x}=0 ; l'axe des abscisses est asymptote horizontale à C\mathcal C en +∞+\infty.

A.2.a Idée : dérivée d'un produit. f′(x)=1⋅e−x+x⋅(−e−x)=(1−x)e−xf'(x)=1\cdot\e^{-x}+x\cdot(-\e^{-x})=(1-x)\e^{-x}.

A.2.b e−x>0\e^{-x}>0, donc f′(x)f'(x) a le signe de 1−x1-x : ff est croissante sur ]−∞,1]]-\infty,1], décroissante sur [1,+∞[[1,+\infty[, avec un maximum f(1)=1ef(1)=\dfrac1{\e} ; limites −∞-\infty en −∞-\infty et 00 en +∞+\infty.

A.3.a f(0)=0f(0)=0 et f′(0)=1f'(0)=1 : T : y=f′(0)(x−0)+f(0)=xT\ :\ y=f'(0)(x-0)+f(0)=x.

A.3.b Idée : factoriser. f(x)−x=x(e−x−1)f(x)-x=x(\e^{-x}-1). Pour x>0x>0 : e−x<1\e^{-x}<1 donc f(x)−x<0f(x)-x<0 ; pour x<0x<0 : e−x>1\e^{-x}>1 et x<0x<0 donc f(x)−x<0f(x)-x<0 aussi. Ainsi f(x)≤xf(x)\leq x pour tout xx, égalité en 00 seulement : C\mathcal C est au-dessous de TT et la touche en OO.

A.4 Sur [0,1][0,1], ff est croissante (tableau) : f(0)=0≤f(x)≤f(1)=1ef(0)=0\leq f(x)\leq f(1)=\dfrac1{\e}.

B.1.a Idée : IPP avec u=xu=x, v′=e−xv'=\e^{-x}. I1=[−xe−x]01+∫01e−x dx=−1e+[−e−x]01=−1e+1−1e=1−2eI_1=\big[-x\e^{-x}\big]_0^1+\displaystyle\int_0^1\e^{-x}\,\dd x=-\dfrac1{\e}+\big[-\e^{-x}\big]_0^1=-\dfrac1{\e}+1-\dfrac1{\e}=1-\dfrac2{\e}.

B.1.b Idée : IPP avec u=xn+1u=x^{n+1}, v′=e−xv'=\e^{-x}. In+1=[−xn+1e−x]01+(n+1)∫01xne−x dx=−1e+(n+1)InI_{n+1}=\big[-x^{n+1}\e^{-x}\big]_0^1+(n+1)\displaystyle\int_0^1x^n\e^{-x}\,\dd x=-\dfrac1{\e}+(n+1)I_n :

In+1=(n+1) In−1eI_{n+1}=(n+1)\,I_n-\frac1{\e}

B.1.c Idée : encadrer l'intégrande. Pour x∈[0,1]x\in[0,1], 0<e−x≤10<\e^{-x}\leq1, donc 0≤xne−x≤xn0\leq x^n\e^{-x}\leq x^n ; en intégrant, 0≤In≤∫01xn dx=1n+10\leq I_n\leq\displaystyle\int_0^1x^n\,\dd x=\dfrac1{n+1}. Par les gendarmes, lim⁡In=0\lim I_n=0.

B.1.d Idée : lire nInnI_n dans la relation de récurrence. De In+1=(n+1)In−1eI_{n+1}=(n+1)I_n-\dfrac1{\e} : (n+1)In=In+1+1e→1e(n+1)I_n=I_{n+1}+\dfrac1{\e}\to\dfrac1{\e}. Comme nIn=(n+1)In−InnI_n=(n+1)I_n-I_n et In→0I_n\to0 :

lim⁡n→+∞n In=1e\lim_{n\to+\infty} n\,I_n=\boxed{\frac1{\e}}

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill EX-E.1 — vérifier une primitive par dérivation
Entraînement 01 / 02

Drill EX-E.1 — vérifier une primitive par dérivation

3 questionsCorrigé masqué

Soit FF la fonction définie sur [0,+∞[[0,+\infty[ par F(x)=∫0xe−t dtF(x)=\displaystyle\int_0^x\e^{-\sqrt t}\,\dd t et H(x)=−2(1+x) e−xH(x)=-2(1+\sqrt x)\,\e^{-\sqrt x}.

  1. Justifier que FF est dérivable sur [0,+∞[[0,+\infty[ et donner F′(x)F'(x).
  2. Montrer que pour tout x>0x>0, H′(x)=e−xH'(x)=\e^{-\sqrt x}. En déduire que F(x)=H(x)−H(0)F(x)=H(x)-H(0), puis expliciter F(x)F(x).
  3. Déterminer lim⁡x→+∞F(x)\lim\limits_{x\to+\infty}F(x).
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. t↦e−tt\mapsto\e^{-\sqrt t} est continue sur [0,+∞[[0,+\infty[, donc FF est dérivable et F′(x)=e−xF'(x)=\e^{-\sqrt x}.

2. Idée : dériver un produit avec (x)′=12x(\sqrt x)'=\dfrac1{2\sqrt x}. H′(x)=−2[12xe−x+(1+x)(−12x)e−x]=−2e−x⋅1−1−x2x=e−xH'(x)=-2\Big[\dfrac{1}{2\sqrt x}\e^{-\sqrt x}+(1+\sqrt x)\Big(-\dfrac{1}{2\sqrt x}\Big)\e^{-\sqrt x}\Big]=-2\e^{-\sqrt x}\cdot\dfrac{1-1-\sqrt x}{2\sqrt x}=\e^{-\sqrt x}. FF et HH ont la même dérivée sur ]0,+∞[]0,+\infty[ et sont continues en 00 : F−HF-H est constante, égale à F(0)−H(0)=−H(0)=2F(0)-H(0)=-H(0)=2. Donc F(x)=2−2(1+x)e−xF(x)=2-2(1+\sqrt x)\e^{-\sqrt x}.

3. Avec u=x→+∞u=\sqrt x\to+\infty : (1+u)e−u→0(1+u)\e^{-u}\to0 par croissances comparées, donc lim⁡x→+∞F(x)=2\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=2.

2 Drill EX-E.2 — équation avec exponentielle et TVI
Entraînement 02 / 02

Drill EX-E.2 — équation avec exponentielle et TVI

3 questionsCorrigé masqué

Soit gg la fonction définie sur R\R par g(x)=ex−x−2g(x)=\e^{x}-x-2.

  1. Dresser le tableau de variation de gg (limites comprises).
  2. Montrer que l'équation g(x)=0g(x)=0 admet exactement deux solutions α<0<β\alpha<0<\beta, et que 1<β<21<\beta<2.
  3. En déduire le signe de ex−x−2\e^x-x-2 suivant les valeurs de xx.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. g′(x)=ex−1g'(x)=\e^x-1, nul en 00, négatif avant, positif après : gg décroît sur ]−∞,0]]-\infty,0] puis croît, minimum g(0)=−1g(0)=-1. lim⁡−∞g=+∞\lim_{-\infty}g=+\infty (ex→0\e^x\to0, −x→+∞-x\to+\infty) ; lim⁡+∞g=+∞\lim_{+\infty}g=+\infty (croissances comparées : ex−x→+∞\e^x-x\to+\infty).

2. Sur ]−∞,0]]-\infty,0], gg continue strictement décroissante de +∞+\infty à −1<0-1<0 : une unique solution α<0\alpha<0. Sur [0,+∞[[0,+\infty[, continue strictement croissante de −1-1 à +∞+\infty : une unique solution β>0\beta>0. g(1)=e−3<0g(1)=\e-3<0 et g(2)=e2−4>0g(2)=\e^2-4>0, donc 1<β<21<\beta<2.

3. g(x)>0g(x)>0 sur ]−∞,α[ ∪ ]β,+∞[]-\infty,\alpha[\,\cup\,]\beta,+\infty[, g(x)<0g(x)<0 sur ]α,β[]\alpha,\beta[, nul en α\alpha et β\beta.

Relier ce raisonnement au bac

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