EX-BFonctions exponentielles et puissances

Fonction $f(x)=(1+x^2)\mathrm{e}^{-x}$ : variations, primitive et aire

Idée directrice

Forme attestée en Bac SE, session principale 2017, exercice 3 : fonction en exponentielle $f(x)=(1+x^2)e^{-x}$ , limites, dérivée, tableau de variation, points d'inflexion, primitive, aire, valeur moyenne.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« $f(x)=(1+x^2)e^{-x}$ »

« $f'(x)=-(x-1)^2 e^{-x}$ »

« Primitive $F(x)=-(x^2+2x+3)e^{-x}$ »

« Aire et valeur moyenne sur $[0,3]$ »

Sujet principal

Exercice — étude d'une fonction exponentielle (esprit SE principale 2017)

5 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction exponentielle (au sens : produit polynomial–exponentielle) définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(1+x^2)e^{-x}$ , produit d'un polynôme par l'exponentielle $e^{-x}$ . On note $(C)$ sa courbe représentative.

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ . Interpréter graphiquement la seconde limite.
Montrer que $f'(x)=-(x-1)^2e^{-x}$ pour tout réel $x$ . En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation.
Montrer que $f''(x)=(x-1)(x-3)e^{-x}$ . En déduire les abscisses des points d'inflexion de $(C)$ .
Soit $F(x)=-(x^2+2x+3)e^{-x}$ . Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Calculer l'aire $S=\displaystyle\int_0^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ , puis la valeur moyenne de $f$ sur $[0,3]$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. En $-\infty$ : $1+x^2\to+\infty$ et $\e^{-x}\to+\infty$ , donc $f(x)\to+\infty$ . En $+\infty$ : $f(x)=\dfrac{1+x^2}{\e^x}$ et, par croissances comparées, $\dfrac{x^2}{\e^x}\to0$ : $f(x)\to0$ , l'axe des abscisses est asymptote horizontale en $+\infty$ .

2. Idée : dérivée d'un produit, factoriser par $\e^{-x}$ . $f'(x)=2x\e^{-x}-(1+x^2)\e^{-x}=-(x^2-2x+1)\e^{-x}=-(x-1)^2\e^{-x}\leq0$ , nulle en $1$ seulement : $f$ est strictement décroissante sur $\R$ , de $+\infty$ à $0$ ; $f(1)=\dfrac2\e$ , avec une tangente horizontale en ce point (point d'inflexion, question 3).

3. $f''(x)=-\big[2(x-1)\e^{-x}-(x-1)^2\e^{-x}\big]=-(x-1)\e^{-x}\big(2-(x-1)\big)=(x-1)(x-3)\e^{-x}$ ; $f''$ s'annule en changeant de signe en $1$ et en $3$ : deux points d'inflexion, d'abscisses $1$ et $3$ .

4. $F'(x)=-(2x+2)\e^{-x}+(x^2+2x+3)\e^{-x}=(x^2+1)\e^{-x}=f(x)$ : $F$ est une primitive de $f$ .

5. $f>0$ sur $[0,3]$ , donc $S=\displaystyle\int_0^3f=F(3)-F(0)=-18\e^{-3}+3=3-18\e^{-3}\approx2{,}10$ u.a. Valeur moyenne : $\dfrac S3=1-6\e^{-3}\approx0{,}70$ .

S=3-\frac{18}{\e^3}\ \text{u.a.},\qquad \bar f=1-\frac{6}{\e^3}

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill EX-B.1 — dérivée et variations de $f(x)=(1+x^2)e^{-x}$

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f(x)=(1+x^2)e^{-x}$ la fonction exponentielle associée, définie sur $\mathbb{R}$ .

Calculer $f'(x)$ et le factoriser.
En déduire le sens de variation de $f$ .
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ .

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1. $f$ est le produit de $1+x^2$ par la fonction exponentielle $e^{-x}$ . La dérivée du produit donne $f'(x)=2x e^{-x}-(1+x^2)e^{-x}=-(x^2-2x+1)e^{-x}=-(x-1)^2 e^{-x}$ .

2. Pour tout $x$ , $-(x-1)^2 e^{-x}\le 0$ car $e^{-x}>0$ . Donc $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ . Le tableau de variation se résume à une décroissance de $+\infty$ vers $0$ .

3. Les croissances comparées polynomiales / exponentielles donnent $\lim_{x\to+\infty}x^2 e^{-x}=0$ , d'où $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ . La droite $y=0$ est asymptote horizontale en $+\infty$ .

Entraînement 02 / 02

Drill EX-B.2 — primitive et aire sous $f$

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f(x)=(1+x^2)e^{-x}$ (fonction exponentielle) et $F(x)=-(x^2+2x+3)e^{-x}$ .

Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ .
Calculer $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ .
En déduire la valeur moyenne de $f$ sur $[0,3]$ .

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1. On dérive $F(x)=-(x^2+2x+3)e^{-x}$ : $F'(x)=-\bigl((2x+2)e^{-x}-e^{-x}(x^2+2x+3)\bigr)=e^{-x}(x^2+1)=f(x)$ . Donc $F$ est une primitive de la fonction exponentielle (produit) $f$ .

2. L'intégrale $\int_0^3 f(x)\,dx=[F(x)]_0^3=F(3)-F(0)$ . Or $F(3)=-18e^{-3}$ et $F(0)=-3$ , d'où $\int_0^3 f=3-18e^{-3}$ .

3. La valeur moyenne de $f$ sur $[0,3]$ est $\frac{1}{3}\int_0^3 f=1-6e^{-3}$ . C'est la hauteur du rectangle de même aire que la région sous la courbe de $f$ sur $[0,3]$ .

Méthode / Automatismes

Factoriser $f'$ pour lire immédiatement le signe (ici $-(x-1)^2 e^{-x}\le 0$ ).
Les croissances comparées donnent $\lim_{x\to+\infty}x^n e^{-x}=0$ .
Vérifier une primitive par dérivation avant de l'utiliser pour l'aire.

Pièges classiques

Affirmer que $f$ croît sur $]-\infty,1]$ . Oublier le signe moins dans $F$ . Confondre valeur moyenne et aire.

Fonction f(x)=(1+x2)e−xf(x)=(1+x^2)\mathrm{e}^{-x}f(x)=(1+x2)e−x : variations, primitive et aire

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Fonction $f(x)=(1+x^2)\mathrm{e}^{-x}$ : variations, primitive et aire