EX-AFonctions exponentielles et puissances

Fonction exponentielle : propriétés, équations et inéquations

Idée directrice

La fonction $\exp$ est la seule fonction dérivable sur $\R$ vérifiant $f'=f$ et $f(0)=1$ . De là découlent toutes ses propriétés : stricte croissance, $e^{a+b}=e^a e^b$ , $e^a=e^b\Leftrightarrow a=b$ , $e^a>0$ partout. Les équations et inéquations se ramènent à cet isomorphisme : $e^{u(x)}=e^{v(x)}\Leftrightarrow u(x)=v(x)$ et $e^{u(x)}>e^{v(x)}\Leftrightarrow u(x)>v(x)$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Résoudre $e^{2x}-3e^x+2=0$ » ; « résoudre dans $\R$ l'inéquation $e^{\ldots}\leq e^{\ldots}$ » ; « montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution »

Sujet principal

Exercice 1 — équations et inéquations exponentielles

4 questionsCorrigé masqué

Résoudre dans $\R$ les équations et inéquations suivantes.

$e^{2x}-3e^x+2=0$ .
1. Poser $X=e^x$ ( $X>0$ ) et résoudre l'équation en $X$ .
2. En déduire les solutions en $x$ .
$e^{3x}\leq e^{x+4}$ .
$e^{x^2-3x+2}=1$ .
Montrer que l'équation $e^x + x = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\R$ , et donner un encadrement de $\alpha$ à $0{,}1$ près.
1. Étudier les variations de $h(x)=e^x+x$ .
2. Conclure sur l'existence et l'unicité, puis encadrer $\alpha$ par un calcul numérique.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : poser $X=\e^x>0$ . $X^2-3X+2=(X-1)(X-2)=0$ : $X=1$ ou $X=2$ , soit $x=0$ ou $x=\ln2$ . Les deux valeurs de $X$ sont positives, donc recevables : $\mathcal S_1=\{0\,;\,\ln2\}$ .

2. Idée : $\exp$ est strictement croissante, elle conserve l'ordre. $\e^{3x}\leq\e^{x+4}\iff3x\leq x+4\iff x\leq2$ : $\mathcal S_2=]-\infty,2]$ .

3. $\e^{x^2-3x+2}=1=\e^0\iff x^2-3x+2=0\iff(x-1)(x-2)=0$ : $\mathcal S_3=\{1\,;\,2\}$ .

4. Idée : TVI pour une fonction strictement monotone. $h(x)=\e^x+x$ , $h'(x)=\e^x+1>0$ : $h$ est continue, strictement croissante, $\lim\limits_{-\infty}h=-\infty$ et $\lim\limits_{+\infty}h=+\infty$ ; elle s'annule une fois exactement. $h(-1)=\e^{-1}-1<0$ et $h(0)=1>0$ , puis $h(-0{,}6)\approx0{,}549-0{,}6<0$ et $h(-0{,}5)\approx0{,}607-0{,}5>0$ :

-0{,}6<\alpha<-0{,}5

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill EX-A.1 — équation exponentielle

2 questionsCorrigé masqué

On résout une équation portant sur la fonction exponentielle $x\mapsto e^{x}$ .

Poser $X=e^{x}$ et préciser $X>0$ .
Résoudre $X^2-3X+2=0$ dans $\R$ , puis revenir à $x$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $X=e^{x}>0$ pour tout $x\in\R$ .

2. $X^2-3X+2=(X-1)(X-2)=0$ , d'où $X=1$ ou $X=2$ . Donc $e^{x}=1\iff x=0$ , et $e^{x}=2\iff x=\ln 2$ . Conclusion : $S=\{0,\ln 2\}$ .

Entraînement 02 / 02

Drill EX-A.2 — inéquation

2 questionsCorrigé masqué

Résoudre dans $\R$ l'inéquation $e^{x}>\dfrac{1}{e^{2x-3}}$ .

Réécrire le second membre sous la forme $e^{\ldots}$ .
Utiliser la croissance de $x\mapsto e^{x}$ pour conclure.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\dfrac{1}{e^{2x-3}}=e^{-(2x-3)}=e^{-2x+3}$ .

2. $e^{x}>e^{-2x+3}\iff x>-2x+3\iff 3x>3\iff x>1$ (croissance stricte de $\exp$ ). Conclusion : $S=]1,+\infty[$ .

Méthode / Automatismes

Équation du type $e^{2x}-ae^x+b=0$ : poser impérativement $X=e^x>0$ ; résoudre en $X$ , puis revenir en $x=\ln X$ .
$e^{u(x)}=e^{v(x)}\Leftrightarrow u(x)=v(x)$ ; $e^{u(x)}>e^{v(x)}\Leftrightarrow u(x)>v(x)$ . Jamais de logarithme intermédiaire nécessaire.
Pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution : TVI (existence) + stricte monotonie (unicité).
Encadrement à $10^{-k}$ près : calculer $h$ en deux points distants de $10^{-k}$ encadrant la racine.

Pièges classiques

Oublier que $X=e^x>0$ : des solutions négatives de l'équation en $X$ doivent être rejetées. Écrire $\ln(e^{2x})=2x$ sans précautions (ici légitime car $e^{2x}>0$ ) mais tenter $\ln$ d'une expression qui peut être négative est une erreur grave.

Variantes rencontrées : $e^{2x}-e^x-2>0$ (inéquation trinôme), $e^x=kx$ discuté selon $k>0$ , ou systèmes $\{e^{x+y}=a,\, e^{x-y}=b\}$ résolus en faisant produit/quotient.