R-EArithmétique

Systèmes de numération et $\Z/n\Z$ (spécificité tunisienne)

Idée directrice

Le programme de la section Math traite l'écriture d'un entier en base $b$ et la structure $(\Z/n\Z,+,\cdot)$ . L'idée récurrente : une écriture $\overline{a_k\ldots a_1a_0}^{\,b}=\sum a_i b^i$ transforme une question de divisibilité en congruence sur les chiffres, car $b\equiv$ (petit reste) modulo le diviseur visé.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« écrire $N$ en base $b$ » ; « dans $\Z/n\Z$ , résoudre… » ; critère de divisibilité par les chiffres.

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Changement de base : divisions euclidiennes successives par $b$ , restes lus de bas en haut.
Critère de divisibilité : chercher le reste de $b\ (=10)$ modulo le diviseur, puis exploiter $b\equiv\pm1$ ou une petite période.
Dans $\Z/n\Z$ : un élément $\bar a$ est inversible $\iff \pgcd(a,n)=1$ ; son inverse se trouve par Bézout.
Toujours vérifier une écriture en base en recomposant $\sum a_ib^i$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Mal convertir $\overline{a_k\ldots a_0}^{b}$ en omettant une puissance de $b$ . Travailler dans $\Z/n\Z$ sans réduire les coefficients modulo $n$ . Confondre base $b$ et modulo $n$ .

Sujet principal

Exercice 6 — critère de divisibilité et changement de base

3 questionsCorrigé masqué

Soit $N=\overline{a_k\ldots a_1 a_0}^{\,10}$ l'écriture décimale d'un entier.

Montrer que $N\equiv a_0+a_1+\cdots+a_k \pmod 9$ . En déduire le critère de divisibilité par $9$ .
Montrer que $N\equiv \sum_i(-1)^i a_i \pmod{11}$ . En déduire le critère par $11$ .
Écrire $N=2025$ en base $7$ , puis vérifier le reste de $2025$ modulo $6$ à l'aide de cette écriture.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : tout repose sur $10\equiv1\pmod 9$ . Alors $10^i\equiv1^i=1\pmod 9$ pour tout $i$ , et par compatibilité de la congruence avec la somme et le produit, $N=\sum_i a_i10^i\equiv\sum_i a_i\pmod 9$ . Par suite $9$ divise $N$ si et seulement si $9$ divise la somme de ses chiffres.

2. Idée : $10\equiv-1\pmod{11}$ . Donc $10^i\equiv(-1)^i$ et $N\equiv a_0-a_1+a_2-\cdots=\sum_i(-1)^ia_i\pmod{11}$ : $11$ divise $N$ si et seulement si $11$ divise la somme alternée de ses chiffres.

3. Idée : divisions euclidiennes successives par $7$ , restes lus de bas en haut. $2025=7\times289+2$ ; $289=7\times41+2$ ; $41=7\times5+6$ ; $5=7\times0+5$ . D'où

2025=\overline{5622}^{\,7}\qquad(\text{contrôle : }5\times343+6\times49+2\times7+2=2025)

Pour le reste modulo $6$ : $7\equiv1\pmod 6$ , donc $7^i\equiv1$ et $2025\equiv5+6+2+2=15\equiv3\pmod 6$ — le critère « somme des chiffres » de la question 1 transposé en base $7$ . Vérification : $2025=6\times337+3$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Chiffre inconnu et division interdite modulo 8

Entraînement 01 / 01

Chiffre inconnu et division interdite modulo 8

3 questionsCorrigé masquéEn cours de relecture

Un entier $N$ a pour écriture en base huit $\overline{5a3}^{\,8}$ , où $a$ est un chiffre de cette base. On sait que $N$ est divisible par $7$ . Les congruences qui suivent portent sur des entiers.

Déterminer $a$ en utilisant la congruence $8\equiv1\pmod7$ , puis donner l’écriture décimale de $N$ .
Ce même entier est-il divisible par $9$ ? Justifier sans confondre la base d’écriture et le diviseur.
Dans $\mathbb Z/8\mathbb Z$ , un élève divise $6x\equiv4\pmod8$ par $6$ et annonce une solution unique. Expliquer pourquoi cette division est interdite, puis trouver toutes les classes solutions.

Cet exercice et sa correction sont en cours de relecture. Tu peux les consulter ; l’exercice n’est pas encore proposé en séance.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. En base huit, $0\le a\le7$ et $N=5\times8^2+8a+3=323+8a$ . Comme $8\equiv1\pmod7$ , $N\equiv5+a+3\equiv a+1\pmod7$ . La divisibilité impose $a\equiv6\pmod7$ ; dans $[0,7]$ , seul $a=6$ convient. Ainsi $N=371=7\times53$ .

2. Modulo $9$ , $8\equiv-1$ , donc $N\equiv5-6+3=2\pmod9$ . L’entier n’est pas divisible par $9$ . La somme des chiffres n’est pas un critère universel : elle fonctionne modulo $7$ ici parce que la base $8$ y vaut $1$ .

3. $6$ n’a pas d’inverse modulo $8$ puisque $\pgcd(6,8)=2$ . L’équivalence correcte est $8\mid6x-4\iff4\mid3x-2$ , soit $3x\equiv2\pmod4$ . Comme $3\times3\equiv1\pmod4$ , on obtient $x\equiv2\pmod4$ . Les deux classes modulo $8$ sont donc $\overline2$ et $\overline6$ ; vérification : $12\equiv36\equiv4\pmod8$ .

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

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