Masar
Masar
Bac Tunisie
Mathématiques/R-E
Entraîner la reconnaissance
R-EArithmétique

Systèmes de numération et Z/nZ\Z/n\Z (spécificité tunisienne)

Idée directrice

Le programme de la section Math traite l'écriture d'un entier en base bb et la structure (Z/nZ,+,⋅)(\Z/n\Z,+,\cdot). L'idée récurrente : une écriture ak…a1a0‾ b=∑aibi\overline{a_k\ldots a_1a_0}^{\,b}=\sum a_i b^i transforme une question de divisibilité en congruence sur les chiffres, car b≡b\equiv (petit reste) modulo le diviseur visé.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« écrire NN en base bb » ; « dans Z/nZ\Z/n\Z, résoudre… » ; critère de divisibilité par les chiffres.

Sujet principal

Exercice 6 — critère de divisibilité et changement de base

3 questionsCorrigé masqué

Soit N=ak…a1a0‾ 10N=\overline{a_k\ldots a_1 a_0}^{\,10} l'écriture décimale d'un entier.

  1. Montrer que N≡a0+a1+⋯+ak(mod9)N\equiv a_0+a_1+\cdots+a_k \pmod 9. En déduire le critère de divisibilité par 99.
  2. Montrer que N≡∑i(−1)iai(mod11)N\equiv \sum_i(-1)^i a_i \pmod{11}. En déduire le critère par 1111.
  3. Écrire N=2025N=2025 en base 77, puis vérifier le reste de 20252025 modulo 66 à l'aide de cette écriture.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : tout repose sur 10≡1(mod9)10\equiv1\pmod 9. Alors 10i≡1i=1(mod9)10^i\equiv1^i=1\pmod 9 pour tout ii, et par compatibilité de la congruence avec la somme et le produit, N=∑iai10i≡∑iai(mod9)N=\sum_i a_i10^i\equiv\sum_i a_i\pmod 9. Par suite 99 divise NN si et seulement si 99 divise la somme de ses chiffres.

2. Idée : 10≡−1(mod11)10\equiv-1\pmod{11}. Donc 10i≡(−1)i10^i\equiv(-1)^i et N≡a0−a1+a2−⋯=∑i(−1)iai(mod11)N\equiv a_0-a_1+a_2-\cdots=\sum_i(-1)^ia_i\pmod{11} : 1111 divise NN si et seulement si 1111 divise la somme alternée de ses chiffres.

3. Idée : divisions euclidiennes successives par 77, restes lus de bas en haut. 2025=7×289+22025=7\times289+2 ; 289=7×41+2289=7\times41+2 ; 41=7×5+641=7\times5+6 ; 5=7×0+55=7\times0+5. D'où

2025=5622‾ 7(controˆle : 5×343+6×49+2×7+2=2025)2025=\overline{5622}^{\,7}\qquad(\text{contrôle : }5\times343+6\times49+2\times7+2=2025)

Pour le reste modulo 66 : 7≡1(mod6)7\equiv1\pmod 6, donc 7i≡17^i\equiv1 et 2025≡5+6+2+2=15≡3(mod6)2025\equiv5+6+2+2=15\equiv3\pmod 6 — le critère « somme des chiffres » de la question 1 transposé en base 77. Vérification : 2025=6×337+32025=6\times337+3.

Méthode / Automatismes
  • Changement de base : divisions euclidiennes successives par bb, restes lus de bas en haut.
  • Critère de divisibilité : chercher le reste de b (=10)b\ (=10) modulo le diviseur, puis exploiter b≡±1b\equiv\pm1 ou une petite période.
  • Dans Z/nZ\Z/n\Z : un élément aˉ\bar a est inversible   ⟺  pgcd⁡(a,n)=1\iff \pgcd(a,n)=1 ; son inverse se trouve par Bézout.
  • Toujours vérifier une écriture en base en recomposant ∑aibi\sum a_ib^i.
Pièges classiques

Mal convertir ak…a0‾b\overline{a_k\ldots a_0}^{b} en omettant une puissance de bb. Travailler dans Z/nZ\Z/n\Z sans réduire les coefficients modulo nn. Confondre base bb et modulo nn.