R-DArithmétique

Petit théorème de Fermat

Idée directrice

Quand un nombre premier $p$ et de grandes puissances apparaissent ensemble, penser Fermat : $a^{p-1}\equiv1\,[p]$ si $p\nmid a$ . Il court-circuite la recherche de période et donne directement des restes ou des divisibilités valables « pour tout $n$  ».

Ce qui aide à reconnaître la démarche

Un nombre premier $p$ en vedette + grandes puissances ; « en utilisant le théorème de Fermat… ».

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Vérifier l'hypothèse : $p$ premier et $p\nmid a$ (sinon utiliser la forme $a^p\equiv a$ ).
Divisibilité par un produit $m=p_1p_2\cdots$ de premiers distincts : montrer la divisibilité par chaque $p_i$ , puis conclure car ils sont premiers entre eux ( $p_1\cdots p_k\mid N$ ).
Réduire un grand exposant $n$ modulo $p-1$ : $a^n=a^{(p-1)q+r}\equiv a^r\,[p]$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Appliquer $a^{p-1}\equiv1$ quand $p\mid a$ (faux : on a alors $a\equiv0$ ). Utiliser Fermat avec un module non premier : il faut alors passer à la période ou au théorème d'Euler (hors programme, donc on reste sur la période).

Sujet principal

Exercice 5 — divisibilité universelle par Fermat

3 questionsCorrigé masqué

Énoncer le petit théorème de Fermat.
Montrer que pour tout entier $a$ , $\ 7\mid a^7-a$ .
Montrer que pour tout entier naturel $n$ , $\ 42\mid n^7-n$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Petit théorème de Fermat : si $p$ est premier et si $p$ ne divise pas $a$ , alors $a^{p-1}\equiv1\pmod p$ . Corollaire, valable pour tout entier $a$ : $a^{p}\equiv a\pmod p$ (si $p\mid a$ les deux membres sont nuls modulo $p$ ).

2. Idée : le corollaire, avec $p=7$ . Pour tout entier $a$ , $a^7\equiv a\pmod 7$ , c'est-à-dire $7$ divise $a^7-a$ .

3. Idée : $42=2\times3\times7$ ; prouver la divisibilité par chaque facteur premier, puis recoller.

Par $2$ : $n^7$ a la parité de $n$ , donc $n^7-n$ est pair.
Par $3$ : Fermat donne $n^3\equiv n\pmod 3$ , d'où $n^7=n^3\cdot n^3\cdot n\equiv n\cdot n\cdot n=n^3\equiv n\pmod 3$ .
Par $7$ : c'est la question 2.

Idée : recoller par le lemme de Gauss. $2$ divise $n^7-n$ et $3$ divise $n^7-n$ avec $\pgcd(2,3)=1$ , donc $6$ divise $n^7-n$ ; puis $6$ et $7$ sont premiers entre eux et divisent tous deux $n^7-n$ , donc $42$ le divise :

\forall n\in\N,\quad 42\mid n^7-n

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

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Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill R-D.1 — petit théorème de Fermat

Entraînement 01 / 03

Drill R-D.1 — petit théorème de Fermat

2 questionsCorrigé masqué

Soit $p=11$ un nombre premier. On utilise le petit théorème de Fermat.

Rappeler $2^{10}\bmod 11$ .
En déduire le reste de la division euclidienne de $2^{100}$ par $11$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Fermat : $2^{10}\equiv 1\pmod{11}$ car $11\nmid 2$ .

2. $100=10\cdot 10$ , d'où $2^{100}=(2^{10})^{10}\equiv 1^{10}=1\pmod{11}$ . Conclusion : le reste est $1$ .

2 Drill R-C.x —

a^5\equiv a\pmod{10}

: le chiffre des unités de

a^5

(2016)

Entraînement 02 / 03

Drill R-C.x — $a^5\equiv a\pmod{10}$ : le chiffre des unités de $a^5$ (2016)

3 questionsCorrigé masqué

Soit $a$ un entier naturel.

En utilisant les restes possibles de la division euclidienne de $a$ par $5$ , montrer que $a^5\equiv a\pmod5$ .
Montrer que $a^5\equiv a\pmod2$ .
En déduire que $a^5\equiv a\pmod{10}$ et interpréter : que peut-on dire du chiffre des unités de $a^5$ ? Vérifier avec $a=7$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : tableau des restes, la congruence étant compatible avec les puissances.

$a\bmod5$	0	1	2	3	4
$a^5\bmod5$	0	1	$32\equiv2$	$243\equiv3$	$1024\equiv4$

Dans chaque cas $a^5\equiv a\pmod5$ . (C'est le petit théorème de Fermat pour $p=5$ ; le tableau en est la preuve exigible.)

2. Idée : deux restes seulement. Si $a$ est pair, $a^5$ est pair ; si $a$ est impair, $a^5$ est impair : dans les deux cas $a^5\equiv a\pmod2$ .

3. Idée : $2$ et $5$ sont premiers entre eux, donc $2\mid n$ et $5\mid n$ entraînent $10\mid n$ . $a^5-a$ est divisible par $5$ et par $2$ , donc par $10$ : $\boxed{a^5\equiv a\pmod{10}}$ . Le chiffre des unités de $a^5$ est celui de $a$ . Vérification : $7^5=16\,807$ , qui se termine bien par $7$ .

3 Drill R-D.3 —

p

premier quelconque avec

p\equiv2\pmod5

x^5\equiv1\pmod p

n'a que la solution

x\equiv1

Entraînement 03 / 03

Drill R-D.3 — $p$ premier quelconque avec $p\equiv2\pmod5$ : $x^5\equiv1\pmod p$ n'a que la solution $x\equiv1$

4 questionsCorrigé masqué

Soit $p$ un nombre premier tel que $p>2$ et $p\equiv2\pmod5$ . On considère dans $\Z$ l'équation $(E_p)\ :\ x^5\equiv1\pmod p$ .

Montrer que si $x\equiv1\pmod p$ , alors $x$ est une solution de $(E_p)$ .
Soit $x$ une solution de $(E_p)$ .
1. Montrer que $p$ ne divise pas $x$ , puis que $x^{p-1}\equiv1\pmod p$ .
2. Justifier qu'il existe un entier naturel non nul $m$ tel que $p-1=5m+1$ .
3. En déduire que $x\equiv1\pmod p$ .
Résoudre dans $\Z$ l'équation $(E_p)$ .
Applications.
1. Vérifier que $47$ est un nombre premier, puis résoudre dans $\Z$ l'équation $x^5\equiv1\pmod{47}$ .
2. Calculer $3^5$ et en déduire que $3$ est une solution de l'équation $x^5\equiv1\pmod{11}$ . Pourquoi ce résultat ne contredit-il pas la question 3 ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. La congruence est compatible avec les puissances : si $x\equiv1\pmod p$ , alors $x^5\equiv1^5=1\pmod p$ , donc $x$ est une solution de $(E_p)$ .

2.a Idée : avant d'appliquer le théorème de Fermat, vérifier que $p$ ne divise pas $x$ . Si $p$ divisait $x$ , il diviserait $x^5$ ; comme $x^5\equiv1\pmod p$ , il diviserait aussi $1$ , ce qui est impossible. Donc $p\nmid x$ et, $p$ étant premier, le petit théorème de Fermat donne $x^{p-1}\equiv1\pmod p$ .

2.b Comme $p\equiv2\pmod5$ , il existe un entier naturel $m$ tel que $p=5m+2$ , donc $p-1=5m+1$ . De plus $p>2$ impose $m\neq0$ , donc $m\geq1$ .

2.c Idée : écrire $x^{p-1}$ à l'aide de $x^5$ , dont on connaît le reste modulo $p$ . D'après 2.b :

x^{p-1}=x^{5m+1}=\left(x^5\right)^m\times x

Or $x^5\equiv1\pmod p$ , donc $x^{p-1}\equiv1^m\times x=x\pmod p$ . En comparant avec 2.a, on obtient $\boxed{x\equiv1\pmod p}$ .

3. D'après 1 et 2.c, $x$ est une solution de $(E_p)$ si et seulement si $x\equiv1\pmod p$ :

S_{\Z}=\left\{1+kp\ ;\ k\in\Z\right\}

4.a $47$ n'est divisible ni par $2$ , ni par $3$ , ni par $5$ , et $7^2=49>47$ : $47$ est premier. De plus $47=5\times9+2$ , donc $47\equiv2\pmod5$ et $47>2$ . La question 3 s'applique : les solutions de $x^5\equiv1\pmod{47}$ sont les entiers $\boxed{x=1+47k,\ k\in\Z}$ .

4.b $3^5=243=22\times11+1$ , donc $3^5\equiv1\pmod{11}$ : $3$ est une solution, alors que $3\not\equiv1\pmod{11}$ . Idée : relire l'hypothèse avant de conclure à une contradiction. Ici $11\equiv1\pmod5$ : l'hypothèse $p\equiv2\pmod5$ n'est pas vérifiée, et c'est l'écriture $p-1=5m+1$ de 2.b qui tombe. En effet $11-1=10=5\times2$ , et $x^{10}=\left(x^5\right)^2\equiv1\pmod{11}$ n'apporte plus aucune information sur $x$ : la question 3 ne s'applique pas à $11$ .

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Drill R-C.x — $a^5\equiv a\pmod{10}$ : le chiffre des unités de $a^5$ (2016)

Drill R-D.3 — $p$ premier quelconque avec $p\equiv2\pmod5$ : $x^5\equiv1\pmod p$ n'a que la solution $x\equiv1$

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