R-DArithmétique

Petit théorème de Fermat

Idée directrice

Quand un nombre premier $p$ et de grandes puissances apparaissent ensemble, penser Fermat : $a^{p-1}\equiv1\,[p]$ si $p\nmid a$ . Il court-circuite la recherche de période et donne directement des restes ou des divisibilités valables « pour tout $n$  ».

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

Un nombre premier $p$ en vedette + grandes puissances ; « en utilisant le théorème de Fermat… ».

Sujet principal

Exercice 5 — divisibilité universelle par Fermat

3 questionsCorrigé masqué

Énoncer le petit théorème de Fermat.
Montrer que pour tout entier $a$ , $\ 7\mid a^7-a$ .
Montrer que pour tout entier naturel $n$ , $\ 42\mid n^7-n$ .

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1. Petit théorème de Fermat : si $p$ est premier et si $p$ ne divise pas $a$ , alors $a^{p-1}\equiv1\pmod p$ . Corollaire, valable pour tout entier $a$ : $a^{p}\equiv a\pmod p$ (si $p\mid a$ les deux membres sont nuls modulo $p$ ).

2. Idée : le corollaire, avec $p=7$ . Pour tout entier $a$ , $a^7\equiv a\pmod 7$ , c'est-à-dire $7$ divise $a^7-a$ .

3. Idée : $42=2\times3\times7$ ; prouver la divisibilité par chaque facteur premier, puis recoller.

Par $2$ : $n^7$ a la parité de $n$ , donc $n^7-n$ est pair.
Par $3$ : Fermat donne $n^3\equiv n\pmod 3$ , d'où $n^7=n^3\cdot n^3\cdot n\equiv n\cdot n\cdot n=n^3\equiv n\pmod 3$ .
Par $7$ : c'est la question 2.

Idée : recoller par le lemme de Gauss. $2$ divise $n^7-n$ et $3$ divise $n^7-n$ avec $\pgcd(2,3)=1$ , donc $6$ divise $n^7-n$ ; puis $6$ et $7$ sont premiers entre eux et divisent tous deux $n^7-n$ , donc $42$ le divise :

\forall n\in\N,\quad 42\mid n^7-n

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill R-D.1 — petit théorème de Fermat

2 questionsCorrigé masqué

Soit $p=11$ un nombre premier. On utilise le petit théorème de Fermat.

Rappeler $2^{10}\bmod 11$ .
En déduire le reste de la division euclidienne de $2^{100}$ par $11$ .

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1. Fermat : $2^{10}\equiv 1\pmod{11}$ car $11\nmid 2$ .

2. $100=10\cdot 10$ , d'où $2^{100}=(2^{10})^{10}\equiv 1^{10}=1\pmod{11}$ . Conclusion : le reste est $1$ .

Entraînement 02 / 02

Drill R-C.x — $a^5\equiv a\pmod{10}$ : le chiffre des unités de $a^5$ (2016)

3 questionsCorrigé masqué

Soit $a$ un entier naturel.

En utilisant les restes possibles de la division euclidienne de $a$ par $5$ , montrer que $a^5\equiv a\pmod5$ .
Montrer que $a^5\equiv a\pmod2$ .
En déduire que $a^5\equiv a\pmod{10}$ et interpréter : que peut-on dire du chiffre des unités de $a^5$ ? Vérifier avec $a=7$ .

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1. Idée : tableau des restes, la congruence étant compatible avec les puissances.

$a\bmod5$	0	1	2	3	4
$a^5\bmod5$	0	1	$32\equiv2$	$243\equiv3$	$1024\equiv4$

Dans chaque cas $a^5\equiv a\pmod5$ . (C'est le petit théorème de Fermat pour $p=5$ ; le tableau en est la preuve exigible.)

2. Idée : deux restes seulement. Si $a$ est pair, $a^5$ est pair ; si $a$ est impair, $a^5$ est impair : dans les deux cas $a^5\equiv a\pmod2$ .

3. Idée : $2$ et $5$ sont premiers entre eux, donc $2\mid n$ et $5\mid n$ entraînent $10\mid n$ . $a^5-a$ est divisible par $5$ et par $2$ , donc par $10$ : $\boxed{a^5\equiv a\pmod{10}}$ . Le chiffre des unités de $a^5$ est celui de $a$ . Vérification : $7^5=16\,807$ , qui se termine bien par $7$ .

Méthode / Automatismes

Vérifier l'hypothèse : $p$ premier et $p\nmid a$ (sinon utiliser la forme $a^p\equiv a$ ).
Divisibilité par un produit $m=p_1p_2\cdots$ de premiers distincts : montrer la divisibilité par chaque $p_i$ , puis conclure car ils sont premiers entre eux ( $p_1\cdots p_k\mid N$ ).
Réduire un grand exposant $n$ modulo $p-1$ : $a^n=a^{(p-1)q+r}\equiv a^r\,[p]$ .

Pièges classiques

Appliquer $a^{p-1}\equiv1$ quand $p\mid a$ (faux : on a alors $a\equiv0$ ). Utiliser Fermat avec un module non premier : il faut alors passer à la période ou au théorème d'Euler (hors programme, donc on reste sur la période).

Où ce scénario est tombé

Sujet type 2025 (format officiel)· Exercice arithmétiqueattestéMontrer 173|a ⟺ 173|b : traduire en congruences et faire circuler la divisibilité à travers un premier.