R-BArithmétique

Congruences et restes des puissances $a^n$

Idée directrice

Les puissances de $a$ modulo $m$ sont périodiques : il existe un plus petit $T$ tel que $a^T\equiv1\,[m]$ . Une fois $T$ trouvé, le reste de $a^n$ ne dépend que de $n \bmod T$ . Tout l'exercice consiste à débusquer cette période, puis à discuter selon la classe de $n$ .

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Déterminer suivant les valeurs de $n$ le reste de $a^n$ modulo $m$ » ; tableau de congruences.

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Chercher la période $T$ : plus petit $T\geq1$ avec $a^T\equiv1\,[m]$ (existe si $\pgcd(a,m)=1$ ).
Reste de $a^n$ : écrire $n=Tq+r$ , alors $a^n\equiv a^r\,[m]$ .
Somme de deux périodicités : travailler modulo le ppcm des deux périodes, avec un tableau.
Carré parfait : un carré est $\equiv0$ ou $1\,[4]$ , $\equiv0$ ou $1\,[3]$ ; outil classique pour montrer qu'un nombre n'est pas un carré.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Chercher $a^n \bmod m$ sans trouver d'abord la période $T$ . Appliquer Euler/Fermat hors hypothèses ( $a$ non premier avec $m$ ). Confondre $n\bmod T$ avec le reste de $a^n$ .

Sujet principal

Exercice 3 — reste d'une puissance et divisibilité d'une suite

3 questionsCorrigé masqué

Déterminer le reste de la division de $2^n$ par $7$ selon les valeurs de $n\in\N$ .
En déduire l'ensemble des entiers $n$ tels que $7\mid 2^n-1$ .
On pose $u_n=2^n+3^n$ . Déterminer le reste de $u_n$ modulo $7$ , puis déterminer les entiers $n$ pour lesquels $7$ divise $u_n$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : les puissances modulo $7$ sont périodiques ; on cherche la première puissance congrue à $1$ . $2^1\equiv2$ , $2^2\equiv4$ , $2^3=8\equiv1\pmod 7$ . Donc $2^{3k}=(2^3)^k\equiv1$ , puis $2^{3k+1}\equiv2$ et $2^{3k+2}\equiv4$ . En écrivant $n=3k+r$ avec $r\in\{0,1,2\}$ le reste de $n$ modulo $3$ :

2^n\equiv\begin{cases}1&\text{si }n\equiv0\ [3]\\ 2&\text{si }n\equiv1\ [3]\\ 4&\text{si }n\equiv2\ [3]\end{cases}\quad\pmod 7

2. $7$ divise $2^n-1$ si et seulement si $2^n\equiv1\pmod 7$ , c'est-à-dire, d'après le tableau, si et seulement si $n\equiv0\pmod 3$ : les entiers cherchés sont les multiples de $3$ .

3. Idée : deux périodes ( $3$ pour $2^n$ , $6$ pour $3^n$ ) $\Rightarrow$ raisonner modulo leur ppcm $6$ . $3^1\equiv3$ , $3^2\equiv2$ , $3^3\equiv6$ , $3^4\equiv4$ , $3^5\equiv5$ , $3^6\equiv1\pmod 7$ . Selon le reste $r$ de $n$ modulo $6$ :

$r$	0	1	2	3	4	5
$2^n\bmod 7$	1	2	4	1	2	4
$3^n\bmod 7$	1	3	2	6	4	5
$u_n\bmod 7$	2	5	6	0	6	2

Le reste de $u_n$ modulo $7$ est donc $2,5,6,0,6,2$ selon que $n\equiv0,1,2,3,4,5\pmod 6$ , et $u_n$ n'est divisible par $7$ que dans un cas :

7\mid u_n\iff n\equiv3\pmod 6

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

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Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Exercice — cubes modulo

9

et une équation sans solution entière

Entraînement 01 / 05

Exercice — cubes modulo $9$ et une équation sans solution entière

4 questionsCorrigé masquéEn cours de relecture

Soit $a$ un entier relatif. On étudie le reste de la division euclidienne de $a^3$ par $9$ .

Dresser un tableau de congruences donnant, pour chaque reste possible de $a$ modulo $9$ , le reste de $a^3$ modulo $9$ . En déduire que $a^3\equiv0$ , $1$ ou $8\ [9]$ .
Montrer que $9$ divise $a^3$ si et seulement si $3$ divise $a$ .
Soient $x$ et $y$ deux entiers relatifs. Déterminer tous les restes possibles de $x^3+y^3$ modulo $9$ .
En déduire que l'équation $x^3+y^3=9z+4$ n'admet aucune solution $(x,y,z)$ dans $\Z^3$ .

Cet exercice et sa correction sont en cours de relecture. Tu peux les consulter ; l’exercice n’est pas encore proposé en séance.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On sait que la congruence est compatible avec le produit : si $a\equiv r\ [9]$ alors $a^3\equiv r^3\ [9]$ . Il suffit donc de calculer $r^3$ modulo $9$ pour $r\in\{0\,;1\,;\dots\,;8\}$ : $2^3=8$ , $3^3=27=3\times9$ , $4^3=64=7\times9+1$ , $5^3=125=13\times9+8$ , $6^3=216=24\times9$ , $7^3=343=38\times9+1$ et $8^3=512=56\times9+8$ .

$r$	0	1	2	3	4	5	6	7	8
reste de $r^3$ modulo $9$	0	1	8	0	1	8	0	1	8

Conclusion : pour tout entier relatif $a$ , le reste de $a^3$ modulo $9$ appartient à $\{0\,;1\,;8\}$ , c'est-à-dire $a^3\equiv0$ , $1$ ou $8\ [9]$ .

2. D'après le tableau, $a^3\equiv0\ [9]$ si et seulement si le reste de $a$ modulo $9$ appartient à $\{0\,;3\,;6\}$ , c'est-à-dire si et seulement si $a\equiv0\ [3]$ , donc si et seulement si $3$ divise $a$ . Réciproquement : si $3$ divise $a$ , on écrit $a=3k$ avec $k\in\Z$ , d'où $a^3=27k^3=9\times\left(3k^3\right)$ , qui est divisible par $9$ . Conclusion : $9\mid a^3\iff3\mid a$ , c'est-à-dire que $a^3$ n'est divisible par $9$ que pour les entiers $a$ multiples de $3$ .

3. D'après 1), les restes de $x^3$ et de $y^3$ modulo $9$ appartiennent chacun à $\{0\,;1\,;8\}$ . Le reste de $x^3+y^3$ est donc celui de l'une des six sommes $0+0=0$ , $0+1=1$ , $0+8=8$ , $1+1=2$ , $1+8=9\equiv0\ [9]$ , $8+8=16\equiv7\ [9]$ . Conclusion : $x^3+y^3\equiv0$ , $1$ , $2$ , $7$ ou $8\ [9]$ , et aucune autre valeur n'est atteinte.

4. Supposons qu'il existe $(x,y,z)\in\Z^3$ tel que $x^3+y^3=9z+4$ . Comme $9z\equiv0\ [9]$ , on aurait $x^3+y^3\equiv4\ [9]$ . Or d'après 3) les seuls restes possibles de $x^3+y^3$ modulo $9$ sont $0$ , $1$ , $2$ , $7$ et $8$ , et $4$ n'en fait pas partie : il en résulte une contradiction. Conclusion : l'ensemble des solutions de $x^3+y^3=9z+4$ dans $\Z^3$ est vide.

2 Drill R-B.2 —

(1+10q)^n\equiv1+10nq\pmod{100}

par récurrence : les deux derniers chiffres

Entraînement 02 / 05

Drill R-B.2 — $(1+10q)^n\equiv1+10nq\pmod{100}$ par récurrence : les deux derniers chiffres

3 questionsCorrigé masqué

Soit $q\in\Z$ . Montrer par récurrence que, pour tout $n\in\N$ , $(1+10q)^n\equiv1+10nq\pmod{100}$ .
En déduire les deux derniers chiffres de $71^{2026}$ et de $2031^{25}$ .
Déterminer le plus petit entier $n\ge1$ tel que $91^n\equiv1\pmod{100}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Pour $n=0$ : $1\equiv1$ . Si $(1+10q)^n\equiv1+10nq\pmod{100}$ , alors $(1+10q)^{n+1}\equiv(1+10nq)(1+10q)=1+10(n+1)q+100nq^2\equiv1+10(n+1)q\pmod{100}$ .

2. $71=1+10\times7$ : $71^{2026}\equiv1+70\times2026=1+141\,820\equiv21\pmod{100}$ ; les deux derniers chiffres sont $21$ . $2031=20\times100+31$ , donc $2031^{25}\equiv31^{25}$ et $31=1+10\times3$ : $31^{25}\equiv1+750\equiv51\pmod{100}$ ; ce sont $51$ .

3. $91=1+10\times9$ , donc $91^n\equiv1+90n\pmod{100}$ . Or $1+90n\equiv1\iff100\mid90n\iff10\mid9n\iff10\mid n$ ( $10$ est premier avec $9$ , lemme de Gauss). Le plus petit est $\boxed{n=10}$ .

3 Drill R-B.3 —

S_n=1^n+2^n+\dots+8^n

modulo

9

selon la parité de

n

Entraînement 03 / 05

Drill R-B.3 — $S_n=1^n+2^n+\dots+8^n$ modulo $9$ selon la parité de $n$

3 questionsCorrigé masqué

Pour tout entier $n\ge1$ , on pose $S_n=1^n+2^n+\dots+8^n$ .

Montrer que, pour tout entier $k$ , $(9-k)^n\equiv(-1)^nk^n\pmod9$ .
En déduire que $S_n\equiv0\pmod9$ lorsque $n$ est impair.
Pour $n$ pair, montrer que $S_n\equiv2\left(1^n+2^n+3^n+4^n\right)\pmod9$ , puis calculer le reste de $S_2$ et de $S_4$ modulo $9$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $9-k\equiv-k\pmod9$ , donc $(9-k)^n\equiv(-k)^n=(-1)^nk^n\pmod9$ .

2. Idée : regrouper les termes deux à deux, $k$ et $9-k$ . $S_n=\sum_{k=1}^{4}\left(k^n+(9-k)^n\right)\equiv\sum_{k=1}^{4}k^n\left(1+(-1)^n\right)$ . Si $n$ est impair, chaque parenthèse est nulle : $S_n\equiv0\pmod9$ .

3. Si $n$ est pair, $1+(-1)^n=2$ . $S_2\equiv2(1+4+9+16)=60\equiv6$ ; $S_4\equiv2(1+16+81+256)=708\equiv6\pmod9$ (car $708=78\times9+6$ ). Les restes sont $6$ et $6$ .

4 Drill R-B.4 — suite

U_{n+1}=2U_n^2+1

étudiée modulo

10

Entraînement 04 / 05

Drill R-B.4 — suite $U_{n+1}=2U_n^2+1$ étudiée modulo $10$

3 questionsCorrigé masqué

On considère la suite d'entiers définie par $U_0=3$ et $U_{n+1}=2U_n^2+1$ pour tout $n\in\N$ .

Calculer $U_1$ et $U_2$ .
Montrer par récurrence que, pour tout $n\in\N$ , $U_{2n}$ est congru à $3$ modulo $10$ et $U_{2n+1}$ est congru à $9$ modulo $10$ . En déduire le reste de la division euclidienne de $U_{2026}$ par $10$ .
Pour tout $n\in\N$ , on pose $S_n=U_0+U_1+\dots+U_n$ . Montrer que $S_{2n+1}\equiv2(n+1)\pmod{10}$ , puis en déduire le chiffre des unités de $S_{2025}$ et les entiers $n$ tels que $10$ divise $S_{2n+1}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $U_1=2\times9+1=19$ et $U_2=2\times361+1=723$ .

2. Vrai pour $n=0$ ( $U_0=3$ , $U_1=19\equiv9$ ). Si $U_{2n}\equiv3$ , alors $U_{2n+1}=2U_{2n}^2+1\equiv2\times9+1=19\equiv9$ , puis $U_{2n+2}=2U_{2n+1}^2+1\equiv2\times81+1=163\equiv3\pmod{10}$ : la propriété est héréditaire. $2026$ est pair : le reste de la division euclidienne de $U_{2026}$ par $10$ est $3$ .

3. Idée : regrouper les termes deux à deux, $U_{2k}$ avec $U_{2k+1}$ . $S_{2n+1}=\sum_{k=0}^{n}\left(U_{2k}+U_{2k+1}\right)$ regroupe $n+1$ paires, chacune congrue à $3+9=12\equiv2$ : donc $S_{2n+1}\equiv2(n+1)\pmod{10}$ .

$2025=2\times1012+1$ , donc $S_{2025}\equiv2\times1013=2026\equiv6\pmod{10}$ : son chiffre des unités est $\boxed{6}$ . Enfin $10\mid2(n+1)\iff5\mid n+1\iff\boxed{n\equiv4\pmod5}$ .

5 Drill R-B.5 —

7^4\equiv1\pmod{100}

: chiffre des unités et chiffre des dizaines d'une grande puissance

Entraînement 05 / 05

Drill R-B.5 — $7^4\equiv1\pmod{100}$ : chiffre des unités et chiffre des dizaines d'une grande puissance

3 questionsCorrigé masqué

1. Dresser le tableau des restes de la division euclidienne de $7^n$ par $10$ , pour $n$ allant de $0$ à $4$ .
2. En déduire, suivant les valeurs de l'entier naturel $n$ , le chiffre des unités de $7^n$ .
3. Quel est le chiffre des unités de $7^{2027}$ ?
1. Vérifier que $7^4\equiv1\pmod{100}$ et en déduire que $7^{2027}\equiv43\pmod{100}$ .
2. Déterminer alors le chiffre des unités et celui des dizaines de $7^{2027}$ .
Soit $N=36\times7^{2027}$ . Déterminer le chiffre des unités et celui des dizaines de $N$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $7^2=49$ , $7^3=343$ et $7^4=2401$ :

\begin{array}{c|ccccc} n & 0&1&2&3&4\\ \hline 7^n\equiv\ [10] & 1&7&9&3&1 \end{array}

1.b Idée : le reste revient à $1$ pour $n=4$ , donc il se répète de $4$ en $4$ . Si $n=4q+r$ avec $0\leq r\leq3$ , alors $7^n=\left(7^4\right)^q\times7^r\equiv7^r\pmod{10}$ : le chiffre des unités de $7^n$ est $1$ , $7$ , $9$ ou $3$ selon que $n\equiv0$ , $1$ , $2$ ou $3\pmod4$ .

1.c $2027=4\times506+3$ , donc le chiffre des unités de $7^{2027}$ est $\boxed{3}$ .

2.a $7^4=2401=24\times100+1$ , donc $7^4\equiv1\pmod{100}$ . Par suite $7^{2027}=\left(7^4\right)^{506}\times7^3\equiv7^3=343\equiv43\pmod{100}$ .

2.b Idée : le reste modulo $100$ donne les deux derniers chiffres. Le chiffre des unités de $7^{2027}$ est $3$ (on retrouve 1.c) et son chiffre des dizaines est $\boxed{4}$ .

3. $N\equiv36\times43=1548\equiv48\pmod{100}$ : le chiffre des unités de $N$ est $\boxed{8}$ et son chiffre des dizaines est $\boxed{4}$ .

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Congruences et restes des puissances $a^n$

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