R-AArithmétique

Divisibilité par combinaison linéaire

Idée directrice

La divisibilité « voyage » par combinaison : si $d$ divise deux entiers, il divise toute combinaison $au+bv$ . On s'en sert pour éliminer la variable et ramener un diviseur inconnu à diviser une constante, dont on liste alors les diviseurs.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Montrer que $d$ divise… » ; « déterminer les entiers $n$ tels que $u\mid v$ » ; « montrer que $p\mid a \iff p\mid b$ ».

Sujet principal

Exercice 1 — diviseurs d'une expression paramétrée

1 questionCorrigé masqué

Déterminer tous les entiers relatifs $n$ tels que $(n+4)$ divise $(2n+13)$ .

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Idée : éliminer $n$ par une combinaison linéaire, pour ramener le diviseur inconnu $n+4$ à diviser une constante.

Supposons que $n+4$ divise $2n+13$ . Comme $n+4$ divise aussi $2(n+4)=2n+8$ , il divise la différence $(2n+13)-(2n+8)=5$ . Les diviseurs de $5$ dans $\Z$ sont $-5,-1,1,5$ , d'où $n+4\in\{-5,-1,1,5\}$ , soit $n\in\{-9,-5,-3,1\}$ .

Idée : l'implication ne suffit pas, il faut la réciproque. Pour $n=1$ : $5$ divise $15$ ; $n=-3$ : $1$ divise $7$ ; $n=-5$ : $-1$ divise $3$ ; $n=-9$ : $-5$ divise $-5$ . Les quatre valeurs conviennent.

\mathcal S=\{-9\,;\,-5\,;\,-3\,;\,1\}

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 03

Drill R-A.1 — restes possibles et divisibilité par 6

3 questionsCorrigé masqué

Soit $a$ un entier relatif.

Déterminer les restes possibles modulo $6$ de l'entier $a^2$ .
Vérifier que $a^3\equiv a \pmod 6$ . En déduire que $6$ divise $a^3-a$ pour tout entier $a$ .
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $a^{2n+1}\equiv a \pmod 6$ .

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1. Idée : un tableau des six restes. Si $a\equiv 0,1,2,3,4,5 \pmod 6$ , alors $a^2\equiv 0,1,4,9,16,25$ , soit $a^2\equiv 0,\ 1,\ 4,\ 3,\ 4,\ 1 \pmod 6$ . Les restes possibles de $a^2$ sont $0$ , $1$ , $3$ et $4$ .

2. Avec le même tableau, $a^3\equiv 0,1,8,27,64,125\equiv 0,1,2,3,4,5\equiv a \pmod 6$ . Autre voie : $a^3-a=(a-1)a(a+1)$ est le produit de trois entiers consécutifs, divisible par $2$ et par $3$ , donc par $6$ (car $\pgcd(2,3)=1$ ). Ainsi $6$ divise $a^3-a$ .

3. Idée : l'hérédité multiplie par $a^2$ puis utilise $a^3\equiv a$ . Initialisation : $a^1\equiv a$ . Hérédité : si $a^{2n+1}\equiv a$ , alors $a^{2n+3}=a^{2n+1}\cdot a^2\equiv a\cdot a^2=a^3\equiv a \pmod 6$ . La propriété est vraie pour tout $n\in\N$ .

Entraînement 02 / 03

Drill R-A.2 — inverser une congruence à l’aide d’une relation de Bézout

3 questionsCorrigé masqué

Soit $a$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ . On admet que $(a^2+a-1)-(a+2)(a-1)=1$ .

Justifier que $a+2$ et $a^2+a-1$ sont premiers entre eux.
Déterminer les entiers $n\in\Z$ tels que $(a+2)\,n\equiv 1 \pmod{a^2+a-1}$ .
Application : résoudre dans $\Z$ la congruence $5n\equiv 1 \pmod{11}$ .

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1. Idée : une relation $ux+vy=1$ est une relation de Bézout. L'égalité admise s'écrit $1\cdot(a^2+a-1)+(1-a)\cdot(a+2)=1$ : d'après le théorème de Bézout, $\pgcd(a+2,\ a^2+a-1)=1$ .

2. La relation donne $(a+2)(a-1)\equiv -1$ , donc $(a+2)(1-a)\equiv 1 \pmod{a^2+a-1}$ : $1-a$ est un inverse de $a+2$ . Si $(a+2)n\equiv 1$ , en multipliant par $1-a$ : $n\equiv 1-a$ . Réciproquement $n\equiv 1-a$ convient. Les solutions sont les entiers $n\equiv 1-a \pmod{a^2+a-1}$ .

3. Pour $a=3$ : $a+2=5$ , $a^2+a-1=11$ et $1-a=-2$ . Les solutions de $5n\equiv 1 \pmod{11}$ sont $n\equiv -2\equiv 9 \pmod{11}$ ; vérification : $5\times 9=45=4\times 11+1$ .

Entraînement 03 / 03

Drill R-A.x — si $d$ divise $a+2$ alors $a^2+a-1\equiv1\pmod d$ ; deux entiers premiers entre eux (2023)

3 questionsCorrigé masqué

Soit $a$ un entier naturel et $d\geq2$ un entier.

Montrer que si $d$ divise $a+2$ , alors $a^2+a-1\equiv1\pmod d$ .
En déduire que $a+2$ et $a^2+a-1$ sont premiers entre eux.
Application : simplifier la fraction $\dfrac{a^2+a-1}{a+2}$ pour $a=10$ ; est-elle irréductible ?

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1. Idée : remplacer $a$ par son reste $-2$ dans le polynôme. $d\mid a+2\iff a\equiv-2\pmod d$ . Les congruences se multiplient et s'additionnent : $a^2+a-1\equiv(-2)^2+(-2)-1=4-2-1=1\pmod d$ . $\boxed{a^2+a-1\equiv1\pmod d}$

2. Idée : un diviseur commun $d\geq2$ contredirait la question 1. Soit $d=\mathrm{pgcd}(a+2,\,a^2+a-1)$ . Si $d\geq2$ , alors $d\mid a+2$ donc $a^2+a-1\equiv1\pmod d$ , mais aussi $d\mid a^2+a-1$ donc $a^2+a-1\equiv0\pmod d$ ; d'où $1\equiv0\pmod d$ , c'est-à-dire $d\mid1$ , absurde. Donc $d=1$ : les deux entiers sont premiers entre eux. (Autre lecture : $a^2+a-1=(a+2)(a-1)+1$ , identité de la division euclidienne.)

3. Idée : appliquer. $a=10$ : $\dfrac{109}{12}$ ; $109=12\times9+1$ , et d'après 2 le pgcd vaut $1$ : la fraction est déjà irréductible.

Méthode / Automatismes

$d\mid a$ et $d\mid b \Rightarrow d\mid(au+bv)$ : l'outil pour éliminer une variable.
Diviseurs bornés : ramener «  $X\mid$ (constante) » puis lister les diviseurs (sans oublier les négatifs dans $\Z$ ).
Gauss : $a\mid bc$ et $\pgcd(a,b)=1 \Rightarrow a\mid c$ . C'est LE théorème de transfert.
Toujours conclure par la réciproque : l'implication « candidat $\Rightarrow$ solution » n'est pas automatique.

Pièges classiques

Oublier la réciproque (analyse/synthèse) : trouver la liste des candidats ne prouve pas qu'ils conviennent tous. Oublier les diviseurs négatifs quand l'énoncé travaille dans $\Z$ . Appliquer Gauss sans vérifier l'hypothèse $\pgcd=1$ .

Où ce scénario est tombé

Bac 2020 — session principale· Exercice 3 (arithmétique)attestéLa périodicité des restes réduit le problème à un nombre fini de cas ; la combinaison linéaire fait circuler la divisibilité.

Sujet type 2025 (format officiel)· Exercice arithmétiqueattestéMontrer 173|a ⟺ 173|b : traduire en congruences et faire circuler la divisibilité à travers un premier.