R-FArithmétique

PGCD d'une suite d'entiers

Idée directrice

Le scénario « créatif » : une suite $(u_n)$ d'entiers est donnée, et l'on étudie $\pgcd(u_n,u_{n+1})$ ou $\pgcd(u_m,u_n)$ . La clé est presque toujours une combinaison linéaire qui fait apparaître une constante, montrant que deux termes consécutifs sont premiers entre eux — puis Bézout referme le raisonnement. C'est le pont entre arithmétique et suites.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

Une suite d'entiers $u_n$ définie explicitement ; « montrer que $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux » ; « déterminer $\pgcd(u_m,u_n)$ ».

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

$\pgcd$ de termes consécutifs : chercher $\alpha u_n+\beta u_{n+1}=$ constante ; le pgcd divise cette constante.
Propriété d'Euclide : $\pgcd(a,b)=\pgcd(b,\ a-qb)=\pgcd(b,\ a\bmod b)$ — descente qui structure toute la preuve.
Récurrence utile pour propager «  $u_n\wedge u_{n+1}=1$  » ou une formule de type $u_{m+n}=\ldots$
Vérifier sur un petit cas numérique avant de rédiger la généralisation.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Calculer $\pgcd(u_n,u_{n+1})$ terme à terme sans relation de récurrence. Oublier l'identité de Bézout / combinaison linéaire qui fait descendre l'indice (type Euclide sur la suite).

Sujet principal

Exercice 7 — termes consécutifs premiers entre eux

2 questionsCorrigé masqué

Soit $(u_n)$ définie par $u_n=n!+1$ pour $n\geq1$ ; et soit $(v_n)$ définie par $v_n=2^n-1$ .

Montrer que $\pgcd(v_n,v_{n+1})=1$ pour tout $n\geq1$ .
Montrer plus généralement que $\pgcd(2^a-1,\ 2^b-1)=2^{\pgcd(a,b)}-1$ . (On pourra admettre et utiliser $2^a-1\equiv 2^{\,a\bmod b}-1$ modulo $2^b-1$ .)

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : une combinaison linéaire égale à $\pm1$ est une relation de Bézout. $2v_n-v_{n+1}=2(2^n-1)-(2^{n+1}-1)=-1$ . Tout diviseur commun de $v_n$ et $v_{n+1}$ divise donc $-1$ ; d'après le théorème de Bézout, $\pgcd(v_n,v_{n+1})=1$ : deux termes consécutifs sont premiers entre eux.

2. Idée : l'algorithme d'Euclide sur les exposants se transporte aux nombres $2^\bullet-1$ . Écrivons la division euclidienne $a=bq+r$ ( $0\leq r<b$ ). Comme $2^b\equiv1\pmod{2^b-1}$ , on a $2^{bq}\equiv1$ , donc $2^a-1=2^r\cdot2^{bq}-1\equiv2^r-1\pmod{2^b-1}$ : c'est la relation admise. Il en résulte

\pgcd\big(2^a-1,\ 2^b-1\big)=\pgcd\big(2^b-1,\ 2^r-1\big)

exactement comme $\pgcd(a,b)=\pgcd(b,r)$ . En itérant, les exposants parcourent l'algorithme d'Euclide de $(a,b)$ et s'arrêtent sur $(d,0)$ avec $d=\pgcd(a,b)$ ; côté nombres on aboutit à $\pgcd(2^d-1,\ 2^0-1)=\pgcd(2^d-1,0)=2^d-1$ . Ainsi

\pgcd\big(2^a-1,\ 2^b-1\big)=2^{\pgcd(a,b)}-1

Exemple : $\pgcd(2^{12}-1,\ 2^8-1)=2^{4}-1=15$ ; en effet $4095=255\times16+15$ et $255=15\times17$ . La question 1 en est le cas $\pgcd(n,n+1)=1$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Le PGCD change-t-il quand on saute un terme ?

Entraînement 01 / 01

Le PGCD change-t-il quand on saute un terme ?

3 questionsCorrigé masquéEn cours de relecture

Pour tout entier naturel $n\ge0$ , on pose $u_n=3n+2$ . On cherche le PGCD de termes voisins, puis celui de termes séparés par un rang.

Montrer que $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux pour tout $n$ .
Montrer que $d_n=\pgcd(u_n,u_{n+2})$ divise $6$ , puis déterminer exactement $d_n$ selon la parité de $n$ . Justifier les deux sens de la détermination.
Un élève affirme : « si tous les termes consécutifs sont premiers entre eux, tous les couples de termes le sont ». Donner un contre-exemple tiré de cette suite.

Cet exercice et sa correction sont en cours de relecture. Tu peux les consulter ; l’exercice n’est pas encore proposé en séance.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Montrons que tout diviseur commun de $3n+2$ et $3n+5$ vaut $1$ . Il divise leur différence $3$ , alors que $3n+2\equiv2\pmod3$ n’est pas divisible par $3$ . Le PGCD positif, diviseur de $3$ , est donc $1$ .

2. La différence $u_{n+2}-u_n=6$ donne $d_n\mid6$ . Comme $3\nmid u_n$ , les seuls candidats sont $1$ et $2$ . Si $n$ est pair, les deux termes sont pairs : $2$ est effectivement un diviseur commun et $d_n=2$ . Si $n$ est impair, $u_n$ est impair, donc $2$ ne le divise pas et $d_n=1$ . Le fait de diviser $6$ ne suffisait pas : il fallait encore vérifier quels candidats divisent les termes.

3. $u_0=2$ et $u_2=8$ ont pour PGCD $2$ , alors que la question 1 vaut à tous les rangs. Ce couple réfute l’affirmation : une propriété des voisins ne s’étend pas automatiquement à toute paire.

Relier ce raisonnement au bac

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