Équation dans $\mathbb{C}$, module, argument et ensembles de points

1. Idée : discriminant, puis une racine carrée complexe de $\Delta$. $\Delta=(1+\i)^2+4\i=2\i+4\i=6\i$. Comme $(1+\i)^2=2\i$, on a $\big(\sqrt3(1+\i)\big)^2=3\times2\i=6\i$ : $\delta=\sqrt3(1+\i)$ est une racine carrée de $\Delta$. D'où

2. Idée : $z_1$ est un réel positif fois $1+\i$. $|z_1|=\dfrac{1+\sqrt3}{2}\,|1+\i|=\dfrac{(1+\sqrt3)\sqrt2}{2}$ et $\arg z_1\equiv\arg(1+\i)\equiv\dfrac{\pi}{4}\pmod{2\pi}$ (le facteur réel est strictement positif). Ainsi $z_1=\dfrac{(1+\sqrt3)\sqrt2}{2}\,\e^{\i\pi/4}$.

3–4. Idée : un module de quotient est un rapport de distances. $|Z|=\dfrac{|z+\i|}{|z-1|}=\dfrac{|z-z_B|}{|z-z_A|}=\dfrac{MB}{MA}$. Donc $|Z|=1\iff MA=MB\iff M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$. Avec $A(1;0)$ et $B(0;-1)$ : $(x-1)^2+y^2=x^2+(y+1)^2\iff x+y=0$. Ni $A$ ni $B$ n'est sur cette droite, aucun point n'est à exclure :

5. Idée : l'argument d'un quotient $\dfrac{z-z_B}{z-z_A}$ est l'angle orienté en $M$. $Z=\dfrac{z-z_B}{z-z_A}$, donc pour $M\neq A,B$ : $\arg Z\equiv\big(\widehat{\vec{MA},\vec{MB}}\big)\pmod{2\pi}$. En particulier $Z$ réel $\iff$ $A$, $B$, $M$ alignés ($M$ sur la droite $(AB)$ privée de $A$ et $B$) et $Z$ imaginaire pur $\iff$ $M$ sur le cercle de diamètre $[AB]$ privé de $A$ et $B$.