Équation dans $\mathbb{C}$, module, argument et ensembles de points

1. On a $z_1=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\cdot(1+i)$. Or $|1+i|=\sqrt{2}$, d'où $|z_1|=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\sqrt{2}$.

2. $\arg(1+i)\equiv\dfrac{\pi}{4}\pmod{2\pi}$ et $\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}>0$, donc $\arg(z_1)\equiv\dfrac{\pi}{4}\pmod{2\pi}$.

3. Conclusion : $z_1=\dfrac{(1+\sqrt{3})\sqrt{2}}{2}\,e^{i\pi/4}$.

1. $\Delta=\left(m^2+i\right)^2-4\,m\,(im)=\left(m^2+i\right)^2-4im^2=\left(m^2-i\right)^2$ (identité $(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$ avec $a=m^2$, $b=i$). Les solutions sont $\frac{m^2+i\pm\left(m^2-i\right)}{2m}$, soit $\boxed{z_1=m}$ et $\boxed{z_2=\frac{i}{m}}$ (si $m^2=i$, racine double $m=\frac im$).

2. $z_1=\sqrt2\,e^{i\theta}$ et $z_2=\frac{e^{i\frac\pi2}}{\sqrt2\,e^{i\theta}}=\frac{\sqrt2}{2}\,e^{i\left(\frac\pi2-\theta\right)}$.

3. $OM_1\times OM_2=\sqrt2\times\frac{\sqrt2}{2}=1$. Idée : comparer les arguments. $\overline{z_2}=\frac{\sqrt2}{2}\,e^{i\left(\theta-\frac\pi2\right)}$, donc $i\,\overline{z_2}=\frac{\sqrt2}{2}\,e^{i\theta}=\frac12z_1$ : $N$ est le milieu de $[OM_1]$, et $O$, $M_1$, $N$ sont alignés.

1.a En développant : $(2-4i)^2=4-16i+16i^2=4-16i-16=-12-16i$.

1.b Idée : le discriminant de $(E_1)$ est justement le nombre dont on vient de fournir une racine carrée. Avec $(4+6i)^2=16+48i-36=-20+48i$, le discriminant vaut $\Delta=(4+6i)^2-4(-2+16i)$, soit

Les solutions de $(E_1)$ sont donc

Ainsi $\boxed{S_1=\{3+i\,;\,1+5i\}}$.

2.a On a $(2i)^3=-8i$ et $(2i)^2=-4$, d'où $-(4+8i)(2i)^2=16+32i$ et $(-14+24i)(2i)=-48-28i$. Par suite

donc $2i$ est une solution de $(E_2)$.

2.b Idée : développer le produit puis identifier les coefficients de même degré ; le coefficient de $z^2$ et le terme constant suffisent, celui de $z$ sert de contrôle. Pour tout $z$ :

En identifiant avec $P(z)$ : $b-2i=-4-8i$, d'où $b=-4-6i$ ; et $-2ic=32+4i$, d'où $c=\dfrac{32+4i}{-2i}=\dfrac{(32+4i)\,i}{2}=-2+16i$. Contrôle sur le coefficient de $z$ : $c-2ib=-2+16i+8i-12=-14+24i$, ce qui est bien le coefficient de $z$ dans $P(z)$. Donc $\boxed{b=-4-6i\ \text{et}\ c=-2+16i}$.

2.c Idée : le facteur du second degré obtenu est exactement le premier membre de $(E_1)$. D'après 2.b, $P(z)=(z-2i)\left(z^2-(4+6i)z-2+16i\right)$, donc $P(z)=0$ si et seulement si $z=2i$ ou $z$ est solution de $(E_1)$. D'après 1.b : $\boxed{S_2=\{2i\,;\,3+i\,;\,1+5i\}}$.

3.a On place $A(0\,;2)$, $B(3\,;1)$ et $C(1\,;5)$.

3.b Idée : le module du quotient compare $AC$ et $AB$, son argument donne l'angle $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$. On a $z_B-z_A=3-i$ et $z_C-z_A=1+3i=i\,(3-i)$, donc $\boxed{\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=i}$. Comme $|i|=1$, $AC=AB$ ; comme $\arg(i)\equiv\dfrac{\pi}{2}\pmod{2\pi}$, $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\pmod{2\pi}$. Le triangle $ABC$ est donc rectangle et isocèle en $A$.

3.c Idée : $ABDC$ est un carré dès que c'est un parallélogramme, puisqu'il a alors un angle droit en $A$ et deux côtés consécutifs $AB$ et $AC$ de même longueur. $ABDC$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}$, c'est-à-dire $z_D-z_B=z_C-z_A$, soit $z_D=3+i+1+3i$. D'où $\boxed{z_D=4+4i}$, et d'après 3.b ce parallélogramme est un carré.

1. Idée : les coefficients sont complexes, mais le discriminant peut être réel ; on le calcule avant de chercher une racine carrée. $\Delta=(3i)^2-4\times1\times(-9)=-9+36=27=\left(3\sqrt3\right)^2$. Les solutions sont

soit $\boxed{S=\left\{\dfrac{3\sqrt3}{2}-\dfrac32\,i\,;\,-\dfrac{3\sqrt3}{2}-\dfrac32\,i\right\}}$.

2.a En développant, avec $-3i\times3iz=9z$ et $-3i\times(-9)=27i$ :

2.b D'après 2.a, $z^3+27i=0$ si et seulement si $z=3i$ ou $z^2+3iz-9=0$. D'après 1. :

avec $z'=\dfrac{3\sqrt3}{2}-\dfrac32\,i$ et $z''=-\dfrac{3\sqrt3}{2}-\dfrac32\,i$.

2.c Idée : passer à l'opposé, car $(-z)^3=-z^3$. $z^3=27i\iff(-z)^3=-27i\iff(-z)^3+27i=0\iff -z\in S_E$. Les solutions de $z^3=27i$ sont donc les opposées des solutions de $(E)$ :

3.a Le rayon de $(\Gamma)$ est $OA=|3i|=3$. On a $|z_B|^2=\dfrac{27}{4}+\dfrac94=9$, donc $OB=3$ ; de même $|z_D|^2=\dfrac{27}{4}+\dfrac94=9$, donc $OD=3$. Ainsi $OB=OD=OA$ : les points $B$ et $D$ appartiennent à $(\Gamma)$.

3.b Idée : on factorise le module $3$ et on reconnaît un cosinus et un sinus usuels.

Donc $\boxed{z_B=3\,e^{-i\frac{\pi}{6}}\ \text{et}\ z_D=3\,e^{-i\frac{5\pi}{6}}}$.

3.c Idée : $B$ et $D$ ont la même partie imaginaire $-\dfrac32$, moitié de celle de $A'$. Les points $O(0\,;0)$ et $A'(0\,;-3)$ sont sur l'axe $(O,\vec v)$ ; la médiatrice de $[OA']$ est la droite perpendiculaire à cet axe passant par le milieu $(0\,;-\tfrac32)$ de $[OA']$, c'est-à-dire la droite d'équation $y=-\dfrac32$. Comme $\mathrm{Im}(z_B)=\mathrm{Im}(z_D)=-\dfrac32$, $B$ et $D$ appartiennent à cette médiatrice.

Construction : $A'$ est le point de $(\Gamma)$ diamétralement opposé à $A$ (car $-3i=-z_A$). On trace la médiatrice de $[OA']$ ; une droite coupe un cercle en au plus deux points, et $B$ et $D$ sont à la fois sur $(\Gamma)$ (3.a) et sur cette médiatrice : ce sont donc ses deux points d'intersection avec $(\Gamma)$, $B$ celui d'abscisse positive et $D$ celui d'abscisse négative.

3.d Idée : calculer les trois longueurs à partir des affixes. On a $z_B-z_A=\dfrac{3\sqrt3}{2}-\dfrac92\,i$, donc

De même $z_D-z_A=-\dfrac{3\sqrt3}{2}-\dfrac92\,i$ donne $AD=3\sqrt3$, et $z_B-z_D=3\sqrt3$ donne $BD=3\sqrt3$. Ainsi $AB=AD=BD$ : le triangle $ABD$ est équilatéral.