Le quotient géomètre $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$

1.a Idée : un discriminant négatif s'écrit comme le carré d'un imaginaire. Le discriminant vaut $1-4\times\dfrac12=-1=i^2$, donc

1.b $|z_1|=\sqrt{\dfrac14+\dfrac14}=\dfrac{\sqrt2}{2}$, et $z_1=\dfrac{\sqrt2}{2}\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$ : un argument $\alpha$ vérifie $\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ et $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}{2}$, soit $\alpha=\dfrac{3\pi}{4}$. Donc $\boxed{z_1=\dfrac{\sqrt2}{2}\,e^{i\frac{3\pi}{4}}}$.

2.a On pose $z=x+iy$ avec $x,y$ réels. Alors $z^2+z=x^2-y^2+x+i\,(2xy+y)$, et $\mathrm{Im}\left(z^2+z\right)=y\,(2x+1)$. Ainsi $z^2+z\in\R\iff y=0$ ou $x=-\dfrac12$, c'est-à-dire $z\in\R$ ou $\mathrm{Re}(z)=-\dfrac12$.

2.b En développant : $(z-1)\left(z^2+z+1\right)=z^3+z^2+z-z^2-z-1=z^3-1$.

2.c Idée : deux vecteurs d'affixes $w\neq0$ et $w'$ sont colinéaires si et seulement si $\dfrac{w'}{w}$ est réel. Comme $z\neq1$, $\overrightarrow{AM}\neq\vec 0$ et, d'après 2.b :

Ce nombre est réel si et seulement si $z^2+z$ est réel, donc, d'après 2.a, si et seulement si $M$ est sur l'axe $(O,\vec u)$ ou sur $\Delta$. L'ensemble cherché est $\boxed{\left((O,\vec u)\cup\Delta\right)\setminus\{A\}}$.

3.a Idée : on élève au cube la forme exponentielle. $z_1^3=\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^3e^{i\frac{9\pi}{4}}$ avec $\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^3=\dfrac{2\sqrt2}{8}=\dfrac{\sqrt2}{4}$ et $\dfrac{9\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+2\pi$, donc $\boxed{z_1^3=\dfrac{\sqrt2}{4}\,e^{i\frac{\pi}{4}}}$.

3.b $P$ appartient à $\Delta$ et $P\neq A$ : d'après 2.c (avec $z=z_1$, $M=P$ et $N=Q$), les vecteurs $\overrightarrow{AP}$ et $\overrightarrow{AQ}$ sont colinéaires, donc $Q\in(AP)$.

3.c Idée : une construction, c'est deux lieux qui se coupent en un seul point. D'après 3.a, $\arg\left(z_1^3\right)\equiv\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]$ : $Q$ appartient à la demi-droite $[OT)$, où $T$ est le point d'affixe $1+i$ (première bissectrice, côté $x>0$). D'après 3.b, $Q$ appartient à $(AP)$. Les droites $(AP)$ et $(OT)$ ne sont pas parallèles : le coefficient directeur de $(AP)$ est $\dfrac{1/2}{-3/2}=-\dfrac13\neq1$.

Construction : on trace la droite $(AP)$ et la demi-droite $[OT)$ ; $Q$ est leur point d'intersection. Contrôle sur la figure : $OQ=\dfrac{\sqrt2}{4}\approx0{,}35$.

3.d $\dfrac{z_A+z_1}{2}=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{-1+i}{2}\right)=\dfrac{1+i}{4}$, et $z_1^3=\dfrac{\sqrt2}{4}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}(1+i)=\dfrac{1+i}{4}$ : $Q$ est bien le milieu de $[AP]$, ce qui donne une seconde construction.

1.a $(1+i)^2=1+2i+i^2=2i$ : $1+i$ est une racine carrée de $2i$.

1.b Idée : avec un coefficient de $z$ pair, le discriminant réduit suffit. On a : $\Delta'=e^{2i\theta}-\left(e^{2i\theta}-2i\right)=2i=(1+i)^2$. Les solutions sont $e^{i\theta}\pm(1+i)$ ; comme $\cos\theta+1>\cos\theta-1$ :

2.a $\dfrac{z_1+z_2}{2}=\dfrac{2e^{i\theta}}{2}=e^{i\theta}=z_I$ : $I$ est le milieu de $[M_1M_2]$.

2.b $z_1-e^{i\theta}=1+i$ et $z_A-z_B=1-(-i)=1+i=\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}$ : module $\sqrt2$, argument $\dfrac{\pi}{4}$. Donc $\mathrm{aff}\big(\overrightarrow{IM_1}\big)=\mathrm{aff}\big(\overrightarrow{BA}\big)$, soit $\boxed{\overrightarrow{IM_1}=\overrightarrow{BA}}$, et $IM_1=AB=|1+i|=\sqrt2$. De même $z_2-e^{i\theta}=-(1+i)$ donne $\overrightarrow{IM_2}=\overrightarrow{AB}$.

2.c Idée : $\overrightarrow{IM_1}=\overrightarrow{BA}$ signifie que $M_1$ est l'image de $I$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BA}$, c'est-à-dire que $BAM_1I$ est un parallélogramme. On trace la parallèle à $(AB)$ passant par $I$ ; on y reporte, à partir de $I$, la longueur $AB$ dans le sens de $B$ vers $A$ : on obtient $M_1$. On reporte la même longueur de l'autre côté de $I$ : on obtient $M_2$, symétrique de $M_1$ par rapport à $I$.

3.a La droite $(M_1M_2)$ passe par $I(\cos\theta,\sin\theta)$ et est dirigée par $\overrightarrow{BA}$, d'affixe $1+i$, soit de coordonnées $(1,1)$. Un point $(x,y)$ lui appartient si et seulement si $y-\sin\theta=x-\cos\theta$, soit $\boxed{y=x+\sin\theta-\cos\theta}$.

3.b $O$, $M_1$, $M_2$ alignés $\iff O\in(M_1M_2)\iff\sin\theta=\cos\theta$. Pour $\theta\in\,]0,\pi[$, cela donne $\tan\theta=1$, soit $\boxed{\theta=\dfrac{\pi}{4}}$.

3.c Idée : aire $=\dfrac12\times$ base $\times$ hauteur, la hauteur issue de $O$ étant la distance de $O$ à $(M_1M_2)$. On a $M_1M_2=2IM_1=2\sqrt2$, et $(M_1M_2)$ a pour équation $x-y+\sin\theta-\cos\theta=0$, d'où

L'aire vaut $\dfrac12\times2\sqrt2\times\dfrac{|\sin\theta-\cos\theta|}{\sqrt2}=|\sin\theta-\cos\theta|$. Or $\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}(\sin\theta-\cos\theta)$, donc l'aire est $\sqrt2\left|\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)\right|$.

Pour $\theta\in\,]0,\pi[$, $\theta-\dfrac{\pi}{4}\in\left]-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\right[$ : le sinus atteint $1$ pour $\theta-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$. L'aire est maximale pour $\boxed{\theta=\dfrac{3\pi}{4}}$ et vaut alors $\sqrt2$.

1.a On sait que $a+\bar a=2\,\mathrm{Re}(a)=2x$ est réel et que $a-\bar a=2i\,\mathrm{Im}(a)=2iy$ est imaginaire pur : $R(2x\,;0)\in(O,\vec u)$ et $S(0\,;2y)\in(O,\vec v)$.

1.b $\dfrac{z_R+z_S}{2}=\dfrac{2a}{2}=a$ : $Q$ est le milieu de $[RS]$. Et $z_S-z_R=-2\bar a$, donc $RS=2|a|=\boxed{4}$.

1.c Idée : le milieu de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est équidistant des trois sommets. Comme $x\neq0$ et $y\neq0$, $R$ et $S$ sont distincts de $O$ et le triangle $ORS$ est rectangle en $O$. Son hypoténuse $[RS]$ a pour milieu $Q$, donc $QR=QS=QO=\dfrac{RS}{2}=2$.

Construction : le cercle de centre $Q$ passant par $O$ (de rayon $2$) recoupe l'axe $(O,\vec u)$ en $R$ et l'axe $(O,\vec v)$ en $S$.

2.a $\dfrac{z_P}{z_{Q'}}=\dfrac{i\bar a}{\bar a}=i=e^{i\frac{\pi}{2}}$ : module $1$, argument $\dfrac{\pi}{2}$. Donc $OP=OQ'=|\bar a|=2$, soit $P\in\Gamma$, et $\left(\overrightarrow{OQ'},\overrightarrow{OP}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$.

Construction : $Q'$ est le symétrique de $Q$ par rapport à l'axe $(O,\vec u)$ : la perpendiculaire à cet axe passant par $Q$ recoupe $\Gamma$ en $Q'$. La perpendiculaire à $(OQ')$ passant par $O$ coupe $\Gamma$ en deux points ; $P$ est celui pour lequel on tourne de $+\dfrac{\pi}{2}$ (sens direct) en allant de $\overrightarrow{OQ'}$ à $\overrightarrow{OP}$.

2.b $z_S-z_R=(a-\bar a)-(a+\bar a)=-2\bar a$, donc

Ce quotient est imaginaire pur non nul : $(RS)\perp(OP)$.

3.a $O\notin(RS)$ ($R$ et $S$ sont sur deux axes distincts et différents de $O$). $H$ est sur $(RS)$ et $(OH)$ est la perpendiculaire à $(RS)$ passant par $O$, c'est-à-dire $(OP)$ d'après 2.b. Donc $\boxed{H=(OP)\cap(RS)}$ : on trace la droite $(OP)$ et on marque son intersection avec $(RS)$.

3.b Idée : l'aire d'un triangle rectangle s'écrit avec les côtés de l'angle droit ou avec l'hypoténuse et la hauteur. $\mathcal A(ORS)=\dfrac12\,OR\times OS=\dfrac12\,|2x|\,|2y|=2|xy|$ et $\mathcal A(ORS)=\dfrac12\,RS\times OH=2\,OH$. Donc $\boxed{OH=|xy|}$.

3.c $H\in\Gamma\iff OH=2\iff|xy|=2$. Avec $x^2+y^2=4$ : $\left(|x|-|y|\right)^2=x^2+y^2-2|xy|=0$, donc $|x|=|y|$, puis $2x^2=4$ et $|x|=|y|=\sqrt2$. Réciproquement ces valeurs donnent $|xy|=2$. Les points cherchés sont les quatre points de $\Gamma$ d'affixes

(soit $2e^{i\frac{\pi}{4}}$, $2e^{i\frac{3\pi}{4}}$, $2e^{-i\frac{3\pi}{4}}$, $2e^{-i\frac{\pi}{4}}$). Pour ces points, $OR=OS=2\sqrt2$ : le triangle $ORS$ est rectangle isocèle en $O$, le pied de la hauteur issue de $O$ est le milieu de l'hypoténuse, donc $H=Q$.

1.a Le discriminant vaut $(1+i)^2-4\times4i=2i-16i=-14i\neq0$ : $(E)$ admet deux solutions distinctes.

1.b $z_1+z_2=1+i$ et $z_1z_2=4i$.

2.a Idée : conjuguer l'égalité vérifiée par $z$. On sait que $z^2-(1+i)z+4i=0$ ; en conjuguant, $\bar z^2-(1-i)\bar z-4i=0$. Or

$=-\left[\bar z^2-(1-i)\bar z-4i\right]=0$ : $i\bar z$ est solution de $(E)$.

2.b Pour $z=x+iy$ : $i\bar z=i(x-iy)=y+ix$. Le point $(y\,;x)$ est le symétrique du point $(x\,;y)$ par rapport à la droite $y=x$.

2.c Pour $t$ réel : $\left(t(1+i)\right)^2-(1+i)\,t(1+i)+4i=2it^2-2it+4i=2i\left(t^2-t+2\right)$. Le trinôme $t^2-t+2$ a pour discriminant $-7<0$ : il ne s'annule pour aucun réel $t$.

2.d Idée : une équation du second degré n'a que deux solutions. D'après 2.a, $i\,\overline{z_1}$ est solution. Si l'on avait $i\,\overline{z_1}=z_1$, le point d'affixe $z_1$ serait sur $\Delta$ (2.b), soit $z_1=t(1+i)$ avec $t$ réel, ce que 2.c exclut. Donc $\boxed{z_2=i\,\overline{z_1}}$ : $M_2$ est le symétrique de $M_1$ par rapport à $\Delta$. Aucun des deux points n'étant sur $\Delta$, l'un est au-dessus de $\Delta$ et l'autre au-dessous, ce qui justifie la notation.

3.a $|z_2|=|i|\,\left|\overline{z_1}\right|=|z_1|$ et $|z_1|\,|z_2|=|4i|=4$, donc $|z_1|^2=4$ et $\boxed{|z_1|=|z_2|=2}$ : $M_1$ et $M_2$ sont sur le cercle $\Gamma$ de centre $O$ et de rayon $2$.

3.b $\arg(z_1z_2)\equiv\arg(4i)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$, d'où $\arg(z_1)+\arg(z_2)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$, soit

Avec $T$ le point d'affixe $1+i$, cela s'écrit $\left(\overrightarrow{OT},\overrightarrow{OM_1}\right)\equiv\left(\overrightarrow{OM_2},\overrightarrow{OT}\right)\ [2\pi]$ : la droite $\Delta$ porte la bissectrice de l'angle $\left(\overrightarrow{OM_2},\overrightarrow{OM_1}\right)$, en accord avec 2.d.

4.a $z_C=\dfrac{z_1+z_2}{2}=\dfrac{1+i}{2}$ : $C\left(\dfrac12\,;\dfrac12\right)$ vérifie $y=x$, donc $C\in\Delta$.

4.b Idée : chaque point est à l'intersection de deux lieux connus sans résoudre. $M_1$ et $M_2$ étant symétriques par rapport à $\Delta$, la droite $\Delta$ est la médiatrice de $[M_1M_2]$ : la droite $(M_1M_2)$ est la perpendiculaire à $\Delta$ passant par $C$. D'après 3.a, $M_1$ et $M_2$ sont sur $\Gamma$.