Masar
Masar
Bac Tunisie
Mathématiques/C-B
Entraîner la reconnaissance
C-BNombres complexes

Équation z2+z+1/3=0z^2+z+1/3=0, forme exponentielle et condition réelle

Idée directrice

Forme attestée en 2021 session contrôle, exercice 3 (mode equation_complexe) : résolution dans C\mathbb{C}, forme exponentielle, puis manipulations d'affixes (zD=z13z_D=z_1^3, quotient) et condition de type « z2+zˉz^2+\bar z réel ». Pas de similitude / isométrie à reconnaître.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Résoudre dans C\mathbb{C} : z2+z+1/3=0z^2+z+1/3=0 »

« Écrire z1z_1 sous forme exponentielle »

« Vérifier zD=z13z_D=z_1^3 »

« Ensemble des MM tels que z2+zˉ∈Rz^2+\bar z\in\mathbb{R} »

Sujet principal

Exercice — équation, module-argument et ensembles (esprit 2021 contrôle, ex.3)

5 questionsCorrigé masqué

Résoudre dans C\mathbb{C} l'équation z2+z+13=0z^2+z+\dfrac13=0. On note z1z_1 et z2z_2 les solutions avec Im(z1)>0\mathrm{Im}(z_1)>0.

  1. Déterminer z1z_1 et z2z_2 sous forme algébrique (partie réelle et partie imaginaire).
  2. Écrire z1z_1 sous forme exponentielle : calculer le module de z1z_1 et un argument de z1z_1.
  3. Soit DD le point d'affixe zD=i39z_D=\dfrac{\mathrm{i}\sqrt3}{9}. Vérifier que zD=z13z_D=z_1^3.
  4. Montrer que zD−1z1−1=23\dfrac{z_D-1}{z_1-1}=\dfrac{2}{3}.
  5. Déterminer l'ensemble des points MM d'affixe zz tels que la condition z2+z‾∈Rz^2+\overline{z}\in\mathbb{R} se ramène à : zz réel ou Re(z)=12\mathrm{Re}(z)=\tfrac12.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : discriminant négatif, racines conjuguées. Δ=1−43=−13=(i3)2\Delta=1-\dfrac43=-\dfrac13=\Big(\dfrac{\i}{\sqrt3}\Big)^2, donc z=−1±i32z=\dfrac{-1\pm\dfrac{\i}{\sqrt3}}{2}. Avec Im(z1)>0\mathrm{Im}(z_1)>0 :

z1=−12+i36,z2=z1‾=−12−i36z_1=-\frac12+\i\frac{\sqrt3}{6},\qquad z_2=\overline{z_1}=-\frac12-\i\frac{\sqrt3}{6}

2. ∣z1∣2=14+336=9+336=13|z_1|^2=\dfrac14+\dfrac{3}{36}=\dfrac{9+3}{36}=\dfrac13, donc ∣z1∣=13|z_1|=\dfrac{1}{\sqrt3}. Alors z1∣z1∣=3(−12+i36)=−32+i2=cos⁡5π6+isin⁡5π6\dfrac{z_1}{|z_1|}=\sqrt3\Big(-\dfrac12+\i\dfrac{\sqrt3}{6}\Big)=-\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\i}{2}=\cos\dfrac{5\pi}{6}+\i\sin\dfrac{5\pi}{6} :

z1=13 ei 5π/6z_1=\frac{1}{\sqrt3}\,\e^{\i\,5\pi/6}

3. Idée : la forme exponentielle rend le cube immédiat. z13=1(3)3ei 5π/2=133eiπ/2=i33=i39=zDz_1^3=\dfrac{1}{(\sqrt3)^3}\e^{\i\,5\pi/2}=\dfrac{1}{3\sqrt3}\e^{\i\pi/2}=\dfrac{\i}{3\sqrt3}=\dfrac{\i\sqrt3}{9}=z_D. Contrôle algébrique : z12=−z1−13=16−i36z_1^2=-z_1-\dfrac13=\dfrac16-\i\dfrac{\sqrt3}{6} (car z12+z1+13=0z_1^2+z_1+\tfrac13=0), puis z13=z1z12=(−12+i36)(16−i36)=−112+112+i(312+336)=i39z_1^3=z_1z_1^2=\Big(-\dfrac12+\i\dfrac{\sqrt3}{6}\Big)\Big(\dfrac16-\i\dfrac{\sqrt3}{6}\Big)=-\dfrac1{12}+\dfrac1{12}+\i\Big(\dfrac{\sqrt3}{12}+\dfrac{\sqrt3}{36}\Big)=\i\dfrac{\sqrt3}{9} ✓.

4. Idée : multiplier numérateur et dénominateur par 1818 pour chasser les fractions. zD−1=−1+i39z_D-1=-1+\i\dfrac{\sqrt3}{9} et z1−1=−32+i36z_1-1=-\dfrac32+\i\dfrac{\sqrt3}{6}, donc

zD−1z1−1=−18+2i3−27+3i3=2(−9+i3)3(−9+i3)=23\frac{z_D-1}{z_1-1}=\frac{-18+2\i\sqrt3}{-27+3\i\sqrt3}=\frac{2(-9+\i\sqrt3)}{3(-9+\i\sqrt3)}=\frac23

Interprétation : zD−zEz1−zE=23\dfrac{z_D-z_E}{z_1-z_E}=\dfrac23 réel positif avec E(1)E(1), donc EE, M1M_1, DD sont alignés et ED=23EM1ED=\dfrac23EM_1 : DD est l'image de M1M_1 par l'homothétie de centre EE et de rapport 23\dfrac23.

5. Idée : poser z=x+iyz=x+\i y et annuler la partie imaginaire. z2+zˉ=(x2−y2+x)+i(2xy−y)z^2+\bar z=(x^2-y^2+x)+\i(2xy-y). Ce nombre est réel si et seulement si y(2x−1)=0y(2x-1)=0, soit y=0y=0 ou x=12x=\dfrac12 :

{M : z2+zˉ∈R}=axe reˊel ∪ droite x=12\{M\ :\ z^2+\bar z\in\R\}=\text{axe réel}\ \cup\ \text{droite }x=\tfrac12

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill C-B.1 — résolution et forme exponentielle

3 questionsCorrigé masqué

On considère l'équation z2+z+13=0z^2+z+\dfrac13=0 dans C\mathbb{C}.

  1. Résoudre l'équation ; noter z1z_1 la solution de partie imaginaire strictement positive.
  2. Calculer le module ∣z1∣|z_1| et un argument de z1z_1.
  3. En déduire l'écriture de z1z_1 sous forme exponentielle.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On a le discriminant Δ=1−43=−13\Delta=1-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{1}{3}. Les solutions sont z=−1±i/32z=\dfrac{-1\pm i/\sqrt{3}}{2}. Avec Im(z1)>0\mathrm{Im}(z_1)>0, on obtient z1=−12+i36z_1=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{6} et z2=z1‾z_2=\overline{z_1}.

2. Le module vaut ∣z1∣=14+336=13=13|z_1|=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{36}}=\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Un argument est arg⁡(z1)≡5π6(mod2π)\arg(z_1)\equiv\dfrac{5\pi}{6}\pmod{2\pi} (deuxième quadrant).

3. Conclusion : l'écriture sous forme exponentielle est z1=13 ei5π/6z_1=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,e^{i 5\pi/6}.

Méthode / Automatismes
  • Discriminant négatif : racines complexes conjuguées.
  • Module-argument depuis la forme x+iyx+iy.
  • Puissance : préférer la forme polaire ou la relation z2=−z−1/3z^2=-z-1/3.
  • Condition de réalité : Im(⋯ )=0\mathrm{Im}(\cdots)=0 en coordonnées.
Pièges classiques

Se tromper de signe pour Im(z1)>0\mathrm{Im}(z_1)>0. Calculer ∣z1∣|z_1| comme 1/4+1/3\sqrt{1/4+1/3} sans réduire. Transformer l'exercice en reconnaissance de rotation (hors sujet CC pur).