P-BDénombrement et probabilités

Inversion de conditionnement (formule de Bayes)

Idée directrice

La question « renverse la flèche » : on connaît $\pr_A(D)$ (effet sachant la cause) et l'on demande $\pr_D(A)$ (cause sachant l'effet). On revient à la définition $\pr_D(A)=\frac{\pr(A\cap D)}{\pr(D)}$ , le numérateur étant un chemin de l'arbre et le dénominateur la probabilité totale calculée juste avant.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Sachant que…, quelle est la probabilité que… » dans le sens inverse des données.

Sujet principal

Exercice — inverser un conditionnement (formule de Bayes)

4 questionsCorrigé masqué

Deux ateliers $A$ et $B$ produisent une même pièce : $A$ fournit $60\,\%$ de la production et $B$ les $40\,\%$ restants. L'atelier $A$ produit $4\,\%$ de pièces défectueuses, l'atelier $B$ en produit $3\,\%$ . On prélève une pièce au hasard dans la production ; on note $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

Calculer $\pr(A\cap D)$ et $\pr(B\cap D)$ , puis montrer que $\pr(D)=0{,}036$ .
La pièce prélevée est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'atelier $A$ ?
Calculer de même $\pr_D(B)$ et vérifier que $\pr_D(A)+\pr_D(B)=1$ .
L'atelier $A$ est-il « responsable » de la majorité des défauts ? Comparer $\pr_A(D)$ et $\pr_D(A)$ et expliquer pourquoi ces deux nombres ne mesurent pas la même chose.

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1. Idée : arbre pondéré, puis probabilités totales sur la partition $\{A,B\}$ . $\pr(A\cap D)=\pr(A)\,\pr_A(D)=0{,}6\times0{,}04=0{,}024$ et $\pr(B\cap D)=0{,}4\times0{,}03=0{,}012$ . Comme $D=(A\cap D)\cup(B\cap D)$ (réunion disjointe), $\pr(D)=0{,}024+0{,}012=\boxed{0{,}036}$ .

2. Idée : on connaît $\pr_A(D)$ , on cherche $\pr_D(A)$ : c'est la définition de la probabilité conditionnelle lue dans l'autre sens.

\pr_D(A)=\frac{\pr(A\cap D)}{\pr(D)}=\frac{0{,}024}{0{,}036}=\boxed{\frac23}

3. Idée : même numérateur, même dénominateur. $\pr_D(B)=\dfrac{0{,}012}{0{,}036}=\dfrac13$ et $\dfrac23+\dfrac13=1$ : sachant $D$ , la pièce vient de $A$ ou de $B$ , les deux cas s'excluent.

4. Idée : $\pr_A(D)$ est un taux de défaut, $\pr_D(A)$ une part de responsabilité. $\pr_A(D)=0{,}04$ : parmi les pièces de $A$ , $4\,\%$ sont défectueuses. $\pr_D(A)=\dfrac23$ : parmi les pièces défectueuses, deux sur trois viennent de $A$ . $A$ est bien à l'origine de la majorité des défauts, pour deux raisons cumulées : il produit davantage ( $60\,\%$ ) et son taux de défaut est plus élevé ( $4\,\%$ contre $3\,\%$ ). Confondre les deux conditionnements est l'erreur classique de l'exercice.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill P-B.0 — deux urnes : remonter à l'urne choisie

2 questionsCorrigé masqué

Deux urnes : $U_1$ contient $3$ boules rouges et $2$ vertes, $U_2$ contient $1$ rouge et $4$ vertes. On choisit une urne au hasard, puis on tire une boule dans cette urne. On note $R$ « la boule est rouge ».

Calculer $\pr(R)$ .
La boule tirée est rouge. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de $U_1$ ?

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1. Idée : probabilités totales. $\pr(R)=\pr(U_1)\pr_{U_1}(R)+\pr(U_2)\pr_{U_2}(R)=\dfrac12\times\dfrac35+\dfrac12\times\dfrac15=\dfrac{3}{10}+\dfrac1{10}=\boxed{\dfrac25}$ .

2. Idée : conditionnement inverse. $\pr_R(U_1)=\dfrac{\pr(U_1\cap R)}{\pr(R)}=\dfrac{3/10}{2/5}=\boxed{\dfrac34}$ : une boule rouge vient trois fois sur quatre de l'urne la plus riche en rouges.

Entraînement 02 / 02

Drill P-B.1 — cartes vertes et produit positif : conditionner dans les deux sens

3 questionsCorrigé masqué

Un sac contient cinq cartes : trois cartes vertes portant les nombres $-1$ , $2$ et $3$ , et deux cartes rouges portant les nombres $-2$ et $1$ . On tire simultanément deux cartes. On note $A$ : « le produit des nombres obtenus est positif » et $B$ : « les deux cartes sont vertes ».

Montrer que $\pr(B)=\dfrac3{10}$ et calculer $\pr(A)$ .
On a obtenu deux cartes vertes. Calculer la probabilité que le produit soit positif.
Le produit est positif. Calculer la probabilité que les deux cartes soient vertes.

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1. Idée : $\binom52=10$ tirages équiprobables. $B$ : $\binom32=3$ paires de vertes, $\pr(B)=\dfrac3{10}$ . $A$ : le produit est positif si les deux nombres ont le même signe : trois nombres positifs ( $2,3,1$ ) donnent $\binom32=3$ paires, deux négatifs ( $-1,-2$ ) donnent $1$ paire ; $\pr(A)=\dfrac4{10}$ .

2. Idée : $\pr_B(A)$ , sens de l'arbre. Parmi les trois paires vertes, seule $(2,3)$ a un produit positif : $\pr(A\cap B)=\dfrac1{10}$ et $\pr_B(A)=\dfrac{1/10}{3/10}=\dfrac13$ .

3. Idée : sens inverse, même numérateur. $\pr_A(B)=\dfrac{\pr(A\cap B)}{\pr(A)}=\dfrac{1/10}{4/10}=\dfrac14$ .

Méthode / Automatismes

Formule de Bayes : $\pr_D(A_i)=\dfrac{\pr(A_i)\pr_{A_i}(D)}{\sum_j \pr(A_j)\pr_{A_j}(D)}$ ; le dénominateur est la probabilité totale.
Ordre de travail : (1) chemins, (2) probabilité totale $\pr(D)$ , (3) inversion. Chaque étape nourrit la suivante.
Toujours écrire la définition $\pr_D(A)=\frac{\pr(A\cap D)}{\pr(D)}$ avant de remplacer par les nombres.

Pièges classiques

Le piège central du chapitre : croire que $\pr_D(A)=\pr_A(D)$ . « Taux de défaut de $A$  » $\neq$ « part de $A$ parmi les défectueux ». Diviser par $\pr(A)$ au lieu de $\pr(D)$ .