P-CDénombrement et probabilités

Variable aléatoire discrète : loi, espérance, variance

Idée directrice

On associe à l'expérience un nombre $X$ (un gain, un nombre de succès). On dénombre les valeurs possibles, on calcule la probabilité de chacune (la loi), puis l'espérance $\esp(X)=\sum x_i\,\pr(X=x_i)$ . Un jeu est « équitable » si $\esp(X)=0$ , « favorable » si $\esp(X)>0$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Soit $X$ le gain algébrique » ; « déterminer la loi de $X$ » ; « le jeu est-il équitable ? ».

Sujet principal

Exercice 3 — gain à un jeu

3 questionsCorrigé masqué

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules noires. On tire simultanément $2$ boules. Le joueur gagne $3$ DT par boule rouge tirée et perd $2$ DT par boule noire. Soit $X$ le gain algébrique.

Déterminer les valeurs prises par $X$ .
Établir la loi de probabilité de $X$ .
Calculer $\esp(X)$ . Le jeu est-il favorable au joueur ?

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1. Idée : lister les compositions possibles du tirage. Deux rouges : gain $2\times3=6$ ; une rouge et une noire : $3-2=1$ ; deux noires : $-4$ . Donc $X(\Omega)=\{-4\,;\,1\,;\,6\}$ .

2. Idée : tirage simultané $\Rightarrow$ combinaisons, $\binom52=10$ tirages équiprobables. $\pr(X=6)=\dfrac{\binom32}{10}=\dfrac3{10}$ ; $\pr(X=1)=\dfrac{\binom31\binom21}{10}=\dfrac6{10}$ ; $\pr(X=-4)=\dfrac{\binom22}{10}=\dfrac1{10}$ . Contrôle : $\dfrac{3+6+1}{10}=1$ .

3. Idée : l'espérance est le gain moyen par partie.

\esp(X)=-4\times\frac1{10}+1\times\frac6{10}+6\times\frac3{10}=\frac{-4+6+18}{10}=\boxed{2\ \text{DT}}

$\esp(X)>0$ : sur un grand nombre de parties le joueur gagne en moyenne $2$ DT par partie, le jeu lui est favorable. (Variance, si demandée : $\esp(X^2)=\dfrac{16+6+108}{10}=13$ , $V(X)=13-4=9$ , écart-type $3$ DT.)

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill P-C.1 — espérance d'un jeu

1 questionCorrigé masqué

Un jeu coûte $2$ D. On lance un dé équilibré : on gagne $6$ D si l'on obtient $6$ , rien sinon. Soit $X$ le gain algébrique. Calculer $\esp(X)$ et conclure sur l'équité.

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Idée : le gain algébrique compte la mise ; l'espérance est le gain moyen par partie. $X=6-2=4$ avec probabilité $\dfrac16$ (on obtient $6$ ), $X=-2$ avec probabilité $\dfrac56$ . $\esp(X)=4\times\dfrac16+(-2)\times\dfrac56=\dfrac{4-10}{6}=\boxed{-1\ \text{D}}$ . Négative : en moyenne le joueur perd $1$ D par partie, le jeu est défavorable ; il serait équitable si le gain valait $12$ D ( $\esp(X)=0$ ).

Méthode / Automatismes

Tirage simultané de $k$ parmi $n$ : univers $\binom nk$ , dénombrer les cas favorables par des $\binom{\cdot}{\cdot}$ .
Loi de $X$ : tableau valeurs/probabilités ; contrôler que la somme vaut $1$ .
$\esp(X)=\sum x_i\pr(X=x_i)$ ; $\mathrm{V}(X)=\esp(X^2)-\esp(X)^2$ ; $\sigma(X)=\sqrt{\mathrm{V}(X)}$ .
Jeu équitable $\iff\esp(X)=0$ ; favorable $\iff\esp(X)>0$ . Un paramètre (mise) se règle en résolvant $\esp=0$ .

Pièges classiques

Sommer des probabilités sans vérifier $\sum p_i=1$ . Calculer $\esp(X^2)$ pour la variance en oubliant $\mathrm{Var}(X)=\esp(X^2)-\esp(X)^2$ . Mélanger loi de $X$ et événements de l'arbre.