P-DDénombrement et probabilités

Loi binomiale (schéma de Bernoulli répété)

Idée directrice

Dès qu'une même épreuve à deux issues (succès/échec) est répétée $n$ fois de façon indépendante et identique (tirage avec remise, ou grande population), le nombre de succès $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ . On calcule alors « exactement $k$  » par $\binom nk p^k q^{n-k}$ , et « au moins un » par l'événement contraire $1-\pr(X=0)$ .

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« On répète $n$ fois, de façon indépendante… » ; « au moins un » ; « déterminer le plus petit $n$ tel que… ».

Sujet principal

Exercice 4 — contrôle qualité

3 questionsCorrigé masqué

Une chaîne produit des pièces dont $5\%$ sont défectueuses. On prélève, avec remise, un échantillon de $n=10$ pièces. Soit $X$ le nombre de pièces défectueuses.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
Calculer $\pr(X=0)$ et $\pr(X\geq1)$ (arrondir à $10^{-3}$ ).
Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel $\pr(X\geq1)\geq0{,}9$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : reconnaître un schéma de Bernoulli — succès/échec, indépendance, répétition. Chaque prélèvement a deux issues (défectueuse, $p=0{,}05$ , ou non) ; les tirages sont avec remise, donc indépendants et de même probabilité ; on répète $n=10$ fois et l'on compte les succès : $X\sim\mathcal B(10\,;\,0{,}05)$ .

2. Idée : $\pr(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ ; l'événement contraire de « au moins une » est « aucune ». $\pr(X=0)=(0{,}95)^{10}\approx\boxed{0{,}599}$ et $\pr(X\geq1)=1-\pr(X=0)\approx\boxed{0{,}401}$ : malgré $5\,\%$ de défauts, un échantillon de $10$ en contient au moins un quatre fois sur dix.

3. Idée : $\pr(X\geq1)=1-(0{,}95)^n$ est croissante en $n$ ; résoudre l'inéquation avec $\ln$ , dont le sens s'inverse car $\ln0{,}95<0$ . $1-(0{,}95)^n\geq0{,}9\iff(0{,}95)^n\leq0{,}1\iff n\ln0{,}95\leq\ln0{,}1\iff n\geq\dfrac{\ln0{,}1}{\ln0{,}95}\approx44{,}9$ . Le plus petit entier est $\boxed{n=45}$ : il faut prélever $45$ pièces pour être sûr à $90\,\%$ d'en voir au moins une défectueuse.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill P-D.1 — loi binomiale

1 questionCorrigé masqué

On lance $5$ fois une pièce équilibrée. Soit $X$ le nombre de piles. Calculer $P(X=2)$ et $P(X\ge1)$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Idée : cinq lancers indépendants, $X\sim\mathcal B(5\,;\,\tfrac12)$ . $\pr(X=2)=\binom52\Big(\dfrac12\Big)^2\Big(\dfrac12\Big)^3=\dfrac{10}{32}=\boxed{\dfrac5{16}}$ . Pour « au moins un pile », passer au contraire : $\pr(X\geq1)=1-\pr(X=0)=1-\dfrac1{32}=\boxed{\dfrac{31}{32}}$ .

Méthode / Automatismes

Reconnaître $\mathcal{B}(n,p)$ : deux issues, épreuves indépendantes, identiques, répétées $n$ fois. Le « avec remise » est le signal.
$\pr(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ ; $\esp(X)=np$ ; $\mathrm{V}(X)=np(1-p)$ .
« Au moins un succès » : passer au contraire $1-\pr(X=0)=1-(1-p)^n$ .
Seuil sur $n$ : inéquation $\to$ logarithme ; attention au sens de l'inégalité (on divise par $\ln(1-p)<0$ ).

Pièges classiques

Appliquer la binomiale à un tirage sans remise (les épreuves ne sont plus indépendantes : c'est une loi hypergéométrique, hors schéma). Oublier de renverser l'inégalité en divisant par un logarithme négatif. Confondre « exactement un » ( $\binom n1 p q^{n-1}$ ) et « au moins un » ( $1-q^n$ ).