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Fahmio
Fahmio
Bac Tunisie
Mathématiques/P-E
P-EDénombrement et probabilités

Lois continues : uniforme et exponentielle

Idée directrice

Le temps ou une mesure continue est modélisé par une variable XX à densité. Pour la loi exponentielle (durée de vie), P(X≤t)=1−e−λt\pr(X\leq t)=1-\e^{-\lambda t} ; elle est « sans vieillissement » : PX>s(X>s+t)=P(X>t)\pr_{X>s}(X>s+t)=\pr(X>t). On calcule des probabilités par intégration de la densité, et E(X)=1λ\esp(X)=\frac1\lambda.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« La durée de vie suit une loi exponentielle » ; « sachant que l'appareil fonctionne depuis… ».

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode
  • Loi exponentielle : P(X≤t)=1−e−λt\pr(X\leq t)=1-\e^{-\lambda t}, P(X>t)=e−λt\pr(X>t)=\e^{-\lambda t}, E(X)=1λ\esp(X)=\frac1\lambda.
  • Sans vieillissement : PX>s(X>s+t)=P(X>t)\pr_{X>s}(X>s+t)=\pr(X>t) — reconnaître le signal « fonctionne déjà depuis… ».
  • Loi uniforme sur [a,b][a,b] : densité 1b−a\frac{1}{b-a}, P(c≤X≤d)=d−cb−a\pr(c\leq X\leq d)=\frac{d-c}{b-a}, E(X)=a+b2\esp(X)=\frac{a+b}2.
  • Densité ff : P(a≤X≤b)=∫abf\pr(a\leq X\leq b)=\int_a^b f, E(X)=∫xf(x) dx\esp(X)=\int x f(x)\,\dd x (calcul souvent par IPP).
Les pièges à vérifier dans ta démarche

Traiter une densité comme une masse discrète (oublier d'intégrer). Pour l'exponentielle, oublier l'absence de mémoire P(X>s+t∣X>s)=P(X>t)\pr(X>s+t\mid X>s)=\pr(X>t). Confondre paramètre λ\lambda et espérance 1/λ1/\lambda.

Sujet principal

Exercice 5 — durée de vie d'un composant

4 questionsCorrigé masqué

La durée de vie XX (en années) d'un composant suit une loi exponentielle de paramètre λ>0\lambda>0. On sait que P(X≤5)=0,5\pr(X\leq5)=0{,}5.

  1. Déterminer λ\lambda.
  2. Calculer P(X>8)\pr(X>8).
  3. Le composant fonctionne depuis 33 ans. Quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore 55 ans ? Commenter.
  4. Rappeler et interpréter E(X)\esp(X).
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : pour la loi exponentielle, P(X≤t)=1−e−λt\pr(X\leq t)=1-\e^{-\lambda t}. 1−e−5λ=0,5  ⟺  e−5λ=12  ⟺  λ=ln⁡25≈0,1391-\e^{-5\lambda}=0{,}5\iff\e^{-5\lambda}=\dfrac12\iff\lambda=\dfrac{\ln2}{5}\approx0{,}139 : 55 ans est la demi-vie du composant.

2. Idée : P(X>t)=e−λt\pr(X>t)=\e^{-\lambda t}. P(X>8)=e−8ln⁡2/5=2−8/5≈0,33\pr(X>8)=\e^{-8\ln2/5}=2^{-8/5}\approx\boxed{0{,}33}.

3. Idée : probabilité conditionnelle, puis simplification des exponentielles. PX>3(X>8)=P(X>8)P(X>3)=e−8λe−3λ=e−5λ=P(X>5)=0,5\pr_{X>3}(X>8)=\dfrac{\pr(X>8)}{\pr(X>3)}=\dfrac{\e^{-8\lambda}}{\e^{-3\lambda}}=\e^{-5\lambda}=\pr(X>5)=\boxed{0{,}5}. Un composant qui a déjà 33 ans a la même chance de tenir 55 ans de plus qu'un composant neuf : la loi exponentielle est sans mémoire, elle modélise une panne sans usure.

4. Idée : E(X)=1/λ\esp(X)=1/\lambda. E(X)=5ln⁡2≈7,2 ans\esp(X)=\dfrac5{\ln2}\approx\boxed{7{,}2\ \text{ans}} : durée de vie moyenne, supérieure à la médiane 55 ans parce que la loi a une longue queue vers les grandes durées.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Exercice — durée de vie d'une lampe : loi exponentielle et lot de quatre
Entraînement 01 / 03

Exercice — durée de vie d'une lampe : loi exponentielle et lot de quatre

5 questionsCorrigé masquéEn cours de relecture

La durée de vie, exprimée en heures, d'une lampe produite par un atelier est modélisée par une variable aléatoire XX qui suit une loi exponentielle de paramètre λ>0\lambda>0. Le fabricant annonce une durée de vie moyenne de 25 00025\,000 heures. On rappelle que, pour tout réel t≥0t\geq0, P(X>t)=e−λt\pr(X>t)=\e^{-\lambda t}, et que l'espérance de XX vaut 1λ\dfrac{1}{\lambda}.

  1. Déterminer λ\lambda à partir de l'espérance annoncée, et préciser son unité.
  2. Calculer la probabilité P(10 000≤X≤25 000)\pr(10\,000\leq X\leq25\,000), arrondie à 10−310^{-3}.
  3. Une lampe fonctionne depuis 25 00025\,000 heures. Calculer la probabilité conditionnelle qu'elle fonctionne encore 15 00015\,000 heures, puis commenter le résultat obtenu.
  4. Déterminer la durée t1t_1, à l'heure près, telle que 90%90\% des lampes fonctionnent encore au-delà de t1t_1.
  5. On prélève au hasard quatre lampes de ce lot, dont les durées de vie sont indépendantes. Calculer la probabilité que les quatre dépassent 25 00025\,000 heures.

Cet exercice et sa correction sont en cours de relecture. Tu peux les consulter ; l’exercice n’est pas encore proposé en séance.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On modélise la durée de vie d'une lampe par la variable aléatoire XX de loi exponentielle de paramètre λ\lambda. On sait que E(X)=1λ\esp(X)=\dfrac{1}{\lambda} et que cette espérance vaut 25 00025\,000 heures, donc λ=125 000=4×10−5\lambda=\dfrac{1}{25\,000}=4\times10^{-5}. Conclusion : λ=4×10−5 h−1\lambda=4\times10^{-5}\ \mathrm{h^{-1}} (un paramètre de loi exponentielle est l'inverse d'une durée).

2. On a P(10 000≤X≤25 000)=P(X>10 000)−P(X>25 000)=e−λ×10 000−e−λ×25 000=e−0,4−e−1\pr(10\,000\leq X\leq25\,000)=\pr(X>10\,000)-\pr(X>25\,000)=\e^{-\lambda\times10\,000}-\e^{-\lambda\times25\,000}=\e^{-0{,}4}-\e^{-1}. Par suite P(10 000≤X≤25 000)≈0,670−0,368≈0,302\pr(10\,000\leq X\leq25\,000)\approx0{,}670-0{,}368\approx0{,}302. Conclusion : environ 30,2 %30{,}2\,\% des lampes tombent en panne entre 10 00010\,000 et 25 00025\,000 heures.

3. La probabilité demandée est la probabilité conditionnelle PX>25 000(X>40 000)=P(X>40 000)P(X>25 000)=e−1,6e−1=e−0,6≈0,549\pr_{X>25\,000}\left(X>40\,000\right)=\dfrac{\pr\left(X>40\,000\right)}{\pr\left(X>25\,000\right)}=\dfrac{\e^{-1{,}6}}{\e^{-1}}=\e^{-0{,}6}\approx0{,}549. Or P(X>15 000)=e−0,6\pr(X>15\,000)=\e^{-0{,}6} également : une lampe déjà allumée depuis 25 00025\,000 heures a exactement la même chance de tenir 15 00015\,000 heures de plus qu'une lampe neuve. Conclusion : la loi exponentielle est sans vieillissement, elle modélise une panne accidentelle et non une usure progressive.

4. On cherche t1t_1 tel que P(X>t1)=0,9\pr(X>t_1)=0{,}9, c'est-à-dire e−λt1=0,9\e^{-\lambda t_1}=0{,}9. En passant au logarithme népérien on obtient −λt1=ln⁡(0,9)-\lambda t_1=\ln(0{,}9), d'où t1=−ln⁡(0,9)λ=25 000ln⁡109t_1=\dfrac{-\ln(0{,}9)}{\lambda}=25\,000\ln\dfrac{10}{9}. Conclusion : t1≈2 634t_1\approx2\,634 heures — le fabricant ne peut garantir que 10 %10\,\% de pannes qu'au bout d'environ 2 6342\,634 heures, très loin de la moyenne annoncée.

5. Pour une lampe, P(X>25 000)=e−1≈0,368\pr(X>25\,000)=\e^{-1}\approx0{,}368. Les quatre durées de vie étant indépendantes, la probabilité que les quatre dépassent 25 00025\,000 heures est le produit des quatre probabilités : (e−1)4=e−4≈0,018\left(\e^{-1}\right)^4=\e^{-4}\approx0{,}018. Conclusion : moins de 2 %2\,\% des lots de quatre lampes dépassent tous la durée moyenne annoncée, ce qui montre que la moyenne n'est pas une garantie individuelle.

2 Drill P-E.2 — loi exponentielle : l'instant, à un mois près, où la probabilité de panne vaut 0,50{,}5
Entraînement 02 / 03

Drill P-E.2 — loi exponentielle : l'instant, à un mois près, où la probabilité de panne vaut 0,50{,}5

5 questionsCorrigé masqué

La durée de fonctionnement d'un chauffe-eau, exprimée en années, jusqu'à sa première panne est une variable aléatoire XX qui suit une loi exponentielle de paramètre λ=0,125\lambda=0{,}125. Les probabilités seront arrondies à 10−310^{-3} près.

  1. Calculer p(X≥2)p(X\geq2).
  2. Montrer que p(X≤t)=0,5p(X\leq t)=0{,}5 si et seulement si t=8ln⁡2t=8\ln2.
  3. À quel instant tt, à un mois près, la probabilité qu'un chauffe-eau soit tombé en panne pour la première fois est-elle égale à 0,50{,}5 ? On donnera le résultat en années et en mois.
  4. Le fabricant affirme que la durée de vie moyenne d'un chauffe-eau est de 88 ans. Cette affirmation est-elle compatible avec le modèle ? Comparer avec le résultat de la question 3.
  5. À quel instant, à un mois près, la probabilité qu'un chauffe-eau soit tombé en panne est-elle égale à 0,90{,}9 ?
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Pour une loi exponentielle de paramètre λ\lambda, p(X≥t)=e−λtp(X\geq t)=\e^{-\lambda t} pour tout t≥0t\geq0. Donc p(X≥2)=e−0,25≈0,779p(X\geq2)=\e^{-0{,}25}\approx\boxed{0{,}779}.

2. Idée : isoler l'exponentielle, puis passer au logarithme népérien.

1−e−0,125t=0,5  ⟺  e−0,125t=121-\e^{-0{,}125t}=0{,}5\iff\e^{-0{,}125t}=\dfrac12
  ⟺  −0,125 t=−ln⁡2  ⟺  t=8ln⁡2\iff-0{,}125\,t=-\ln2\iff t=8\ln2

3. Idée : l'unité de XX est l'année ; « à un mois près » impose de convertir en mois, puis d'arrondir. t=8ln⁡2≈5,5452t=8\ln2\approx5{,}5452 ans, soit 12t≈66,5412t\approx66{,}54 mois. À un mois près, t≈67 moist\approx\boxed{67\text{ mois}}, c'est-à-dire 55 ans et 77 mois.

4. L'espérance d'une loi exponentielle est E(X)=1λ=10,125=8E(X)=\dfrac1\lambda=\dfrac1{0{,}125}=8 ans : l'affirmation est compatible avec le modèle. Pourtant, la moitié des chauffe-eau sont déjà tombés en panne au bout de 55 ans et 77 mois, bien avant 88 ans : la durée « médiane » t=ln⁡2λt=\dfrac{\ln2}{\lambda} est inférieure à la durée moyenne 1λ\dfrac1\lambda, car ln⁡2≈0,69<1\ln2\approx0{,}69<1.

5. Idée : même méthode avec le seuil 0,90{,}9. 1−e−0,125t=0,91-\e^{-0{,}125t}=0{,}9 équivaut à e−0,125t=0,1\e^{-0{,}125t}=0{,}1, c'est-à-dire à t=8ln⁡10≈18,421t=8\ln10\approx18{,}421 ans, soit 12t≈221,0512t\approx221{,}05 mois : à un mois près 221 mois\boxed{221\text{ mois}}, c'est-à-dire 1818 ans et 55 mois.

3 Drill P-E.3 — loi uniforme sur un intervalle : probabilités par longueurs et probabilité conditionnelle
Entraînement 03 / 03

Drill P-E.3 — loi uniforme sur un intervalle : probabilités par longueurs et probabilité conditionnelle

6 questionsCorrigé masqué

La durée TT, exprimée en minutes, du trajet matinal d'un bus scolaire est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [20,35][20,35].

  1. Donner la densité de probabilité ff de la loi de TT sur [20,35][20,35].
  2. Quelle est la probabilité que le trajet dure moins de 3030 minutes ?
  3. Quelle est la probabilité que le trajet dure entre 2424 et 3030 minutes ?
  4. Le bus roule depuis 2424 minutes et n'est pas encore arrivé. Quelle est la probabilité que la durée totale du trajet soit inférieure à 3030 minutes ?
  5. Comparer le résultat de la question 4 avec la probabilité que le trajet dure moins de 2626 minutes. La loi uniforme est-elle « sans mémoire » ?
  6. Calculer la durée moyenne E(T)E(T) du trajet.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. La densité de la loi uniforme sur [a,b][a,b] est constante, égale à 1b−a\dfrac1{b-a} : ici f(x)=115f(x)=\dfrac1{15} pour x∈[20,35]x\in[20,35].

2. Idée : pour une loi uniforme, une probabilité est un rapport de longueurs. p(T<30)=∫2030dx15=30−2015=23p(T<30)=\displaystyle\int_{20}^{30}\dfrac{\dd x}{15}=\dfrac{30-20}{15}=\boxed{\dfrac23}.

3. p(24≤T≤30)=30−2415=615=0,4p(24\leq T\leq30)=\dfrac{30-24}{15}=\dfrac6{15}=\boxed{0{,}4}.

4. Idée : « le bus roule depuis 2424 minutes » est la condition T>24T>24 ; on applique la définition d'une probabilité conditionnelle. p(T>24)=35−2415=1115p(T>24)=\dfrac{35-24}{15}=\dfrac{11}{15}, et l'événement « T>24T>24 et T<30T<30 » est 24<T<3024<T<30 :

p(T<30∣T>24)=6/1511/15=611≈0,545p(T<30\mid T>24)=\dfrac{6/15}{11/15}=\boxed{\dfrac{6}{11}}\approx0{,}545

C'est le rapport de la longueur de [24,30][24,30] à celle de [24,35][24,35] : sachant T>24T>24, TT suit la loi uniforme sur [24,35][24,35].

5. Idée : le trajet dure au moins 2020 minutes ; on compte le temps au-delà de ce minimum, Y=T−20Y=T-20, qui suit la loi uniforme sur [0,15][0,15]. Une loi sans mémoire vérifierait p(Y<4+6∣Y>4)=p(Y<6)p(Y<4+6\mid Y>4)=p(Y<6), c'est-à-dire p(T<30∣T>24)=p(T<26)p(T<30\mid T>24)=p(T<26). Or p(T<26)=26−2015=0,4≠611p(T<26)=\dfrac{26-20}{15}=0{,}4\neq\dfrac6{11} : avoir déjà dépassé le minimum de 44 minutes augmente la probabilité d'arriver dans les 66 minutes suivantes. La loi uniforme n'est donc pas sans mémoire, contrairement à la loi exponentielle.

6. E(T)=a+b2=20+352=27,5 minE(T)=\dfrac{a+b}2=\dfrac{20+35}2=\boxed{27{,}5\text{ min}}.

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