Masar — Les scénarios du Bac, reliés à ton travail

Sujet principal

Exercice 6 — déplacement aléatoire entre deux états

3 questionsCorrigé masqué

Un mobile est chaque jour dans l'état $A$ ou $B$ . S'il est en $A$ un jour, il y reste le lendemain avec probabilité $0{,}8$ . S'il est en $B$ , il passe en $A$ le lendemain avec probabilité $0{,}3$ . On note $p_n=\pr(\text{être en }A\text{ le jour }n)$ , avec $p_0=1$ .

À l'aide d'un arbre, montrer que $p_{n+1}=0{,}5\,p_n+0{,}3$ .
Déterminer le réel $\ell$ tel que $\ell=0{,}5\,\ell+0{,}3$ , puis montrer que $(p_n-\ell)$ est géométrique.
En déduire $p_n$ en fonction de $n$ , puis $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}p_n$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : arbre sur deux jours ; probabilités totales sur $\{A_n,B_n\}$ . Le jour $n$ le mobile est en $A$ avec probabilité $p_n$ , en $B$ avec $1-p_n$ . Il est en $A$ le jour $n+1$ soit en y restant ( $0{,}8\,p_n$ ), soit en venant de $B$ ( $0{,}3(1-p_n)$ ) : $p_{n+1}=0{,}8p_n+0{,}3-0{,}3p_n=\boxed{0{,}5\,p_n+0{,}3}$ .

2. Idée : le point fixe de $x\mapsto0{,}5x+0{,}3$ est la limite candidate ; on translate la suite. $\ell=0{,}5\ell+0{,}3\iff\ell=0{,}6$ . Posons $v_n=p_n-0{,}6$ : $v_{n+1}=0{,}5p_n+0{,}3-0{,}6=0{,}5(p_n-0{,}6)=0{,}5v_n$ . $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}5$ et de premier terme $v_0=1-0{,}6=0{,}4$ .

3. Idée : $v_n=v_0q^n$ , puis $|q|<1$ . $p_n=0{,}6+0{,}4\times(0{,}5)^n$ et, comme $(0{,}5)^n\to0$ , $\lim p_n=\boxed{0{,}6}$ . Le régime stationnaire ne dépend pas de l'état initial : à long terme le mobile est en $A$ $60\,\%$ des jours.

Probabilités et suites (le scénario créatif)