P-FDénombrement et probabilités

Probabilités et suites (le scénario créatif)

Idée directrice

Une expérience se répète et l'on suit une probabilité $p_n$ à l'étape $n$ . Un arbre reliant l'étape $n$ à l'étape $n+1$ fournit une relation $p_{n+1}=a\,p_n+b$ : c'est une suite arithmético-géométrique, dont on trouve le point fixe $\ell=\frac{b}{1-a}$ , puis on montre que $(p_n-\ell)$ est géométrique. Pont direct avec le chapitre des suites.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« On note $p_n$ la probabilité de… au $n$ -ième jour/tirage » ; « montrer que $p_{n+1}=a\,p_n+b$ ».

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Relation $p_{n+1}=a\,p_n+b$ : la lire sur un arbre reliant l'étape $n$ à $n+1$ (probabilités totales).
Arithmético-géométrique : point fixe $\ell=\frac{b}{1-a}$ , puis $v_n=p_n-\ell$ géométrique de raison $a$ .
$p_n=\ell+(p_0-\ell)a^n$ ; si $|a|<1$ , $\lim p_n=\ell$ (régime stationnaire, indépendant de $p_0$ ).
Vérifier la cohérence : $0\leq p_n\leq1$ pour tout $n$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Écrire la relation $p_{n+1}=ap_n+b$ sans lire correctement l'arbre. Oublier de résoudre la suite arithmético-géométrique (point fixe puis géométrique). Confondre $p_n$ et une fréquence empirique.

Sujet principal

Exercice 6 — déplacement aléatoire entre deux états

3 questionsCorrigé masqué

Un mobile est chaque jour dans l'état $A$ ou $B$ . S'il est en $A$ un jour, il y reste le lendemain avec probabilité $0{,}8$ . S'il est en $B$ , il passe en $A$ le lendemain avec probabilité $0{,}3$ . On note $p_n=\pr(\text{être en }A\text{ le jour }n)$ , avec $p_0=1$ .

À l'aide d'un arbre, montrer que $p_{n+1}=0{,}5\,p_n+0{,}3$ .
Déterminer le réel $\ell$ tel que $\ell=0{,}5\,\ell+0{,}3$ , puis montrer que $(p_n-\ell)$ est géométrique.
En déduire $p_n$ en fonction de $n$ , puis $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}p_n$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : arbre sur deux jours ; probabilités totales sur $\{A_n,B_n\}$ . Le jour $n$ le mobile est en $A$ avec probabilité $p_n$ , en $B$ avec $1-p_n$ . Il est en $A$ le jour $n+1$ soit en y restant ( $0{,}8\,p_n$ ), soit en venant de $B$ ( $0{,}3(1-p_n)$ ) : $p_{n+1}=0{,}8p_n+0{,}3-0{,}3p_n=\boxed{0{,}5\,p_n+0{,}3}$ .

2. Idée : le point fixe de $x\mapsto0{,}5x+0{,}3$ est la limite candidate ; on translate la suite. $\ell=0{,}5\ell+0{,}3\iff\ell=0{,}6$ . Posons $v_n=p_n-0{,}6$ : $v_{n+1}=0{,}5p_n+0{,}3-0{,}6=0{,}5(p_n-0{,}6)=0{,}5v_n$ . $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}5$ et de premier terme $v_0=1-0{,}6=0{,}4$ .

3. Idée : $v_n=v_0q^n$ , puis $|q|<1$ . $p_n=0{,}6+0{,}4\times(0{,}5)^n$ et, comme $(0{,}5)^n\to0$ , $\lim p_n=\boxed{0{,}6}$ . La probabilité d’être en $A$ un jour de rang élevé tend vers $0{,}6$ . Pour un autre $p_0\in[0,1]$ , le même calcul donne $p_n=0{,}6+(p_0-0{,}6)(0{,}5)^n$ , donc la même limite. Ce résultat porte sur les probabilités à chaque rang ; il n’établit pas à lui seul une fréquence observée sur une trajectoire.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Deux états : convergence avec oscillations

Entraînement 01 / 01

Deux états : convergence avec oscillations

3 questionsCorrigé masquéEn cours de relecture

Chaque matin, une machine est dans l’état A ou B. D’un matin au suivant, la probabilité de rester en A vaut $0{,}2$ ; la probabilité de passer de B à A vaut $0{,}8$ . Ces probabilités conditionnelles ne dépendent que de l’état actuel. La machine est en A au matin $0$ . On note $p_n$ la probabilité d’être en A au matin $n$ .

Construire l’arbre de probabilités entre deux matins et établir $p_{n+1}=0{,}8-0{,}6p_n$ .
Trouver le point fixe et une expression de $p_n$ . La suite $(p_n)$ est-elle monotone ? Justifier.
Déterminer le plus petit rang $N$ tel que, pour tout $n\ge N$ , $|p_n-0{,}5|\le0{,}01$ . Interpréter cette borne en probabilité.

Cet exercice et sa correction sont en cours de relecture. Tu peux les consulter ; l’exercice n’est pas encore proposé en séance.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Les branches partant de A ont les probabilités $0{,}2$ vers A et $0{,}8$ vers B ; celles partant de B portent $0{,}8$ vers A et $0{,}2$ vers B. Par probabilités totales, $p_{n+1}=0{,}2p_n+0{,}8(1-p_n)=0{,}8-0{,}6p_n$ .

2. Le point fixe vérifie $\ell=0{,}8-0{,}6\ell$ , donc $\ell=0{,}5$ . En posant $v_n=p_n-0{,}5$ , on obtient $v_{n+1}=-0{,}6v_n$ et $v_0=0{,}5$ . Ainsi $p_n=0{,}5+0{,}5(-0{,}6)^n$ . Les valeurs $p_0=1$ , $p_1=0{,}2$ , $p_2=0{,}68$ suffisent à exclure la monotonie. La suite alterne de part et d’autre de $0{,}5$ , tout en y convergeant car $|-0{,}6|<1$ .

3. L’écart absolu vaut $0{,}5(0{,}6)^n$ et décroît avec $n$ . Il est d’environ $0{,}013997$ au rang $7$ et $0{,}008398$ au rang $8$ . Donc $N=8$ : à partir du huitième matin, la probabilité d’être en A reste dans $[0{,}49;0{,}51]$ . Cette borne concerne la probabilité à chaque matin, pas la proportion observée sur une trajectoire particulière.

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.