P-GDénombrement et probabilités

L'exercice de probabilités complet : tirage simultané, variable aléatoire, conditionnement, répétition d'épreuves

Idée directrice

L'exercice de probabilités du bac (3 points, 8 sessions sur 22, souvent en contrôle) suit un fil fixe : une urne et un tirage simultané (dénombrement par combinaisons), une variable aléatoire dont on dresse la loi, l'espérance et la variance, une probabilité conditionnelle (« sachant que… »), puis la répétition indépendante de l'épreuve — loi binomiale — avec la question finale « plus petit $n$ tel que $p_n\geq 0{,}99$ », qui se résout par un logarithme.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« une urne contient … boules … on tire simultanément … » ; « justifier que $\pr(A)=$ … » ; « déterminer la loi de probabilité de $X$ » ; « calculer l'espérance et la variance » ; « on répète l'épreuve $n$ fois … déterminer le plus petit entier $n$ tel que $p_n\geq$ … ».

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Tirage simultané : dénombrer par combinaisons $\binom nk$ ; tirage successif : par listes (avec ou sans remise) — la réponse dépend du mot.
Loi de $X$ : lister les valeurs, vérifier que la somme des probabilités fait $1$ ; $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ .
« Sachant que » : $\pr_A(B)=\dfrac{\pr(A\cap B)}{\pr(A)}$ ; identifier d'abord l'événement $A\cap B$ concrètement.
Répétition indépendante de $n$ épreuves : « au moins une fois » $=1-(1-p)^n$ ; nombre de succès $\sim\mathcal B(n,p)$ , $E=np$ .
Plus petit $n$ tel que $1-(1-p)^n\geq s$ : passer au logarithme en renversant l'inégalité ( $\ln(1-p)<0$ ), puis vérifier numériquement l'entier trouvé et le précédent.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Dénombrer un tirage simultané avec des listes ordonnées (on compte deux fois chaque paire) ; oublier de diviser par $\pr(A)$ dans la probabilité conditionnelle ; écrire $n\geq\dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}6}$ sans avoir renversé l'inégalité au bon moment, ou arrondir $9{,}02$ à $9$ ; enfin confondre $E(Y)=np$ (nombre moyen de succès) avec $p_n$ (probabilité d'au moins un succès).

Sujet principal

Exercice 3 — probabilités (3 points), dans l’esprit des sessions 2022 et 2025 (contrôle)

4 questionsCorrigé masqué

Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : deux boules numérotées $0$ et trois boules numérotées $1$ . Une épreuve consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de l'urne.

On considère les événements $A$ : « les deux boules tirées portent le même numéro » et $B$ : « au moins une boule tirée porte le numéro $0$ ».
1. Justifier que $\pr(A)=0{,}4$ .
2. Calculer $\pr(B)$ .
On désigne par $X$ la variable aléatoire égale à la somme des numéros des deux boules tirées.
1. Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
2. Calculer l'espérance $E(X)$ et la variance $V(X)$ .
3. Calculer $\pr\big(X\leq E(X)\big)$ .
Calculer $\pr_A(X=2)$ , probabilité que la somme vaille $2$ sachant que les deux boules portent le même numéro.
On répète l'épreuve $n$ fois de suite ( $n\geq 2$ ), en remettant à chaque fois les deux boules tirées dans l'urne.
1. Déterminer la probabilité $p_n$ d'obtenir au moins une fois deux boules de même numéro.
2. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $p_n\geq 0{,}99$ .
3. Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de fois où l'événement $A$ est réalisé. Donner la loi de $Y$ , puis le plus petit $n$ pour lequel $E(Y)\geq 5$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : tirage simultané $\Rightarrow$ combinaisons, équiprobabilité. Il y a $\binom52=10$ tirages possibles. $A$ est réalisé par les $\binom22=1$ paire de « $0$ » et les $\binom32=3$ paires de « $1$ » : $\pr(A)=\dfrac{1+3}{10}=0{,}4$ .

1.b Idée : passer par l'événement contraire. $\overline B$ : « aucune boule ne porte le $0$ », soit deux boules « $1$ » : $\pr(\overline B)=\dfrac{3}{10}$ , d'où $\pr(B)=1-\dfrac3{10}=0{,}7$ .

2.a $X$ prend les valeurs $0$ (deux « $0$ »), $1$ (un « $0$ » et un « $1$ » : $2\times 3=6$ paires) et $2$ (deux « $1$ ») :

\pr(X=0)=\frac1{10},\qquad \pr(X=1)=\frac6{10},\qquad \pr(X=2)=\frac3{10}

2.b $E(X)=0\times\dfrac1{10}+1\times\dfrac6{10}+2\times\dfrac3{10}=\dfrac{12}{10}=1{,}2$ . $E(X^2)=0+\dfrac6{10}+4\times\dfrac3{10}=1{,}8$ , donc $V(X)=E(X^2)-E(X)^2=1{,}8-1{,}44=\boxed{0{,}36}$ (écart-type $0{,}6$ ).

2.c $\pr(X\leq 1{,}2)=\pr(X=0)+\pr(X=1)=\dfrac7{10}=0{,}7$ (c'est aussi $\pr(B)$ : la somme est $\leq 1$ exactement quand un $0$ au moins est tiré).

3. Idée : formule des probabilités conditionnelles. $\{X=2\}\cap A=\{X=2\}$ (deux « $1$ » portent le même numéro), donc $\pr_A(X=2)=\dfrac{\pr(X=2)}{\pr(A)}=\dfrac{0{,}3}{0{,}4}=\dfrac34$ .

4.a Idée : « au moins une fois » $=$ contraire de « jamais », épreuves indépendantes. $p_n=1-\pr(\overline A)^n=1-0{,}6^n$ .

4.b $p_n\geq 0{,}99\iff 0{,}6^n\leq 0{,}01\iff n\ln 0{,}6\leq\ln 0{,}01\iff n\geq\dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}6}\approx 9{,}02$ (le sens de l'inégalité change car $\ln 0{,}6<0$ ). Le plus petit entier est $n=10$ ; vérification : $0{,}6^9\approx 0{,}0101>0{,}01$ et $0{,}6^{10}\approx 0{,}0060<0{,}01$ .

\boxed{n=10}

4.c Les $n$ épreuves sont indépendantes et $A$ a la même probabilité $0{,}4$ à chacune : $Y$ suit la loi binomiale $\mathcal B(n;\,0{,}4)$ , $\pr(Y=k)=\binom nk\,0{,}4^k\,0{,}6^{n-k}$ . $E(Y)=0{,}4n\geq 5\iff n\geq 12{,}5$ : le plus petit entier est $n=13$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill P-G.1 — tirages successifs et probabilité conditionnelle inversée

Entraînement 01 / 04

Drill P-G.1 — tirages successifs et probabilité conditionnelle inversée

3 questionsCorrigé masqué

Une urne contient trois boules noires et deux boules blanches. On tire successivement et sans remise deux boules. On note $N_1$ : « la première boule est noire » et $N_2$ : « la deuxième boule est noire ».

Construire l'arbre pondéré et calculer $\pr(N_1)$ , $\pr_{N_1}(N_2)$ et $\pr_{\overline{N_1}}(N_2)$ .
Montrer que $\pr(N_2)=\dfrac35$ .
Sachant que la deuxième boule tirée est noire, calculer la probabilité que la première le soit aussi.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\pr(N_1)=\dfrac35$ . Si la première est noire, il reste $2$ noires sur $4$ : $\pr_{N_1}(N_2)=\dfrac24=\dfrac12$ . Si la première est blanche, il reste $3$ noires sur $4$ : $\pr_{\overline{N_1}}(N_2)=\dfrac34$ .

2. Idée : formule des probabilités totales sur l'arbre. $\pr(N_2)=\pr(N_1)\pr_{N_1}(N_2)+\pr(\overline{N_1})\pr_{\overline{N_1}}(N_2)=\dfrac35\cdot\dfrac12+\dfrac25\cdot\dfrac34=\dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{10}=\dfrac35$ .

3. Idée : conditionnement dans le sens inverse de l'arbre. $\pr_{N_2}(N_1)=\dfrac{\pr(N_1\cap N_2)}{\pr(N_2)}=\dfrac{3/10}{3/5}=\dfrac12$ .

2 Drill P-G.2 — indépendance de deux événements à paramètres

Entraînement 02 / 04

Drill P-G.2 — indépendance de deux événements à paramètres

3 questionsCorrigé masqué

Une urne contient $n+3$ boules blanches dont trois portent le numéro $1$ , et $m+2$ boules noires dont deux portent le numéro $1$ ( $n$ et $m$ entiers naturels non nuls). On tire une boule au hasard. On note $E$ : « la boule est blanche » et $F$ : « la boule porte le numéro $1$ ».

Exprimer les probabilités $\pr(E)$ et $\pr(F)$ en fonction de $n$ et $m$ .
Montrer que $E$ et $F$ sont indépendants si, et seulement si, $2n=3m$ .
L'urne contient au plus $30$ boules. Déterminer les couples $(n,m)$ pour lesquels $E$ et $F$ sont indépendants.

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1. Il y a $N=n+m+5$ boules. $\pr(E)=\dfrac{n+3}{N}$ et $\pr(F)=\dfrac{5}{N}$ (trois blanches et deux noires numérotées $1$ ).

2. Idée : indépendance $\iff\pr(E\cap F)=\pr(E)\pr(F)$ . $\pr(E\cap F)=\dfrac3N$ . L'égalité $\dfrac3N=\dfrac{n+3}{N}\cdot\dfrac5N$ équivaut à $3N=5(n+3)$ , soit $3(n+m+5)=5n+15$ , soit $3m=2n$ .

3. $2n=3m$ impose $n=3k$ , $m=2k$ ( $k\in\N^*$ , car $3$ divise $2n$ donc $n$ ). Alors $N=5k+5\leq 30\iff k\leq 5$ : les couples sont $(3,2)$ , $(6,4)$ , $(9,6)$ , $(12,8)$ et $(15,10)$ .

3 Drill P-G.3 — rang du premier succès et espérance par dérivation d'une somme géométrique

Entraînement 03 / 04

Drill P-G.3 — rang du premier succès et espérance par dérivation d'une somme géométrique

3 questionsCorrigé masqué

Une urne contient une boule blanche et deux boules noires. On effectue au plus $5$ tirages successifs d'une boule, avec remise, en s'arrêtant dès qu'on obtient une boule blanche. On note $Y$ le rang du tirage de la première boule blanche, avec $Y=0$ si aucune boule blanche n'est obtenue au cours des $5$ tirages. On pose $p=\frac13$ et $q=\frac23$ .

Montrer que $P(Y=k)=q^{k-1}p$ pour $k\in\{1,\dots,5\}$ et calculer $P(Y=0)$ . Vérifier que la somme des probabilités vaut $1$ .
Soit $f$ la fonction définie sur $]0,1[$ par $f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5$ . Montrer que $f(x)=\dfrac{1-x^6}{1-x}$ et que $f'(x)=\dfrac{1-6x^5+5x^6}{(1-x)^2}$ .
Montrer que $E(Y)=p\,f'(q)$ et en déduire la valeur exacte de $E(Y)$ .

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1. $Y=k$ ( $1\le k\le5$ ) signifie $k-1$ boules noires puis une blanche, tirages indépendants : $P(Y=k)=q^{k-1}p$ . $Y=0$ : cinq noires, $P(Y=0)=q^5=\frac{32}{243}$ . Et $\sum_{k=1}^{5}q^{k-1}p=p\,\frac{1-q^5}{1-q}=1-q^5$ , donc la somme totale vaut $1$ .

2. Somme géométrique de raison $x\ne1$ : $f(x)=\frac{1-x^6}{1-x}$ . En dérivant le quotient : $f'(x)=\frac{-6x^5(1-x)+(1-x^6)}{(1-x)^2}=\frac{1-6x^5+5x^6}{(1-x)^2}$ .

3. Idée : $\sum k\,x^{k-1}$ est la dérivée de $\sum x^k$ . $E(Y)=0\times P(Y=0)+\sum_{k=1}^{5}k\,q^{k-1}p=p\,f'(q)$ car $f'(x)=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4$ . Avec $1-q=p$ : $E(Y)=\frac{1-6q^5+5q^6}{p}=3\left(1-\frac{192}{243}+\frac{320}{729}\right)=\boxed{\frac{473}{243}}\approx1{,}95$ .

4 Drill P-G.4 — une probabilité qui dépend de

n

: la maximiser par une étude de fonction

Entraînement 04 / 04

Drill P-G.4 — une probabilité qui dépend de $n$ : la maximiser par une étude de fonction

3 questionsCorrigé masqué

Une urne contient $n$ boules blanches ( $n\ge1$ ) et $3$ boules noires. On tire simultanément deux boules. On note $p_n$ la probabilité d'obtenir une boule de chaque couleur.

Montrer que $p_n=\dfrac{6n}{(n+2)(n+3)}$ .
On considère la fonction $g$ définie sur $[1,+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{6x}{(x+2)(x+3)}$ . Étudier ses variations.
En déduire les valeurs de $n$ pour lesquelles $p_n$ est maximale, et cette valeur maximale.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Il y a $\binom{n+3}{2}=\frac{(n+3)(n+2)}{2}$ tirages équiprobables et $n\times3$ tirages favorables : $p_n=\frac{3n\times2}{(n+3)(n+2)}=\frac{6n}{(n+2)(n+3)}$ .

2. $g(x)=\frac{6x}{x^2+5x+6}$ ; $g'(x)=\frac{6(x^2+5x+6)-6x(2x+5)}{(x^2+5x+6)^2}=\frac{6(6-x^2)}{(x^2+5x+6)^2}$ . $g$ est croissante sur $\left[1,\sqrt6\right]$ et décroissante sur $\left[\sqrt6,+\infty\right[$ .

3. Idée : le maximum de $g$ est en $\sqrt6\approx2{,}45$ , qui n'est pas entier : on compare les deux entiers qui l'encadrent. $g$ croissante sur $\left[1,\sqrt6\right]$ donne $p_1\le p_2$ ; $g$ décroissante sur $\left[\sqrt6,+\infty\right[$ donne $p_n\le p_3$ pour $n\ge3$ . Or $p_2=\frac{12}{20}=\frac35$ et $p_3=\frac{18}{30}=\frac35$ : $p_n$ est maximale pour $\boxed{n=2\text{ ou }n=3}$ , et vaut $\frac35$ .

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Exercice 3 — probabilités (3 points), dans l’esprit des sessions 2022 et 2025 (contrôle)

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Drill P-G.2 — indépendance de deux événements à paramètres

Drill P-G.3 — rang du premier succès et espérance par dérivation d'une somme géométrique

Drill P-G.4 — une probabilité qui dépend de $n$ : la maximiser par une étude de fonction

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