P-ADénombrement et probabilités

Arbre pondéré et formule des probabilités totales

Idée directrice

On modélise une expérience à deux étapes (cause puis effet) par un arbre pondéré : les branches de premier niveau portent les probabilités des causes, celles de second niveau les probabilités conditionnelles. La probabilité d'un chemin est le produit des branches ; la probabilité d'un événement-effet est la somme des chemins qui y mènent (formule des probabilités totales).

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Traduire la situation par un arbre pondéré » ; « montrer que $\mathbb{P}(D)=\ldots$ » (données en pourcentages).

Sujet principal

Exercice 1 — deux ateliers, pièces défectueuses

3 questionsCorrigé masqué

Deux ateliers $A$ et $B$ produisent une même pièce : $A$ fournit $60\%$ de la production, $B$ les $40\%$ restants. L'atelier $A$ produit $4\%$ de pièces défectueuses, $B$ en produit $3\%$ . On prélève une pièce au hasard ; soit $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

Traduire la situation par un arbre pondéré.
Calculer $\pr(A\cap D)$ et $\pr(B\cap D)$ .
Montrer que $\pr(D)=0{,}036$ .

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1. Idée : le premier niveau de l'arbre porte la partition $\{A,B\}$ , le second les probabilités conditionnelles. $\pr(A)=0{,}6$ , $\pr(B)=0{,}4$ ; sur la branche $A$ : $\pr_A(D)=0{,}04$ , $\pr_A(\overline D)=0{,}96$ ; sur la branche $B$ : $\pr_B(D)=0{,}03$ , $\pr_B(\overline D)=0{,}97$ . La somme des poids issus d'un même nœud vaut $1$ .

2. Idée : la probabilité d'un chemin est le produit de ses poids. $\pr(A\cap D)=\pr(A)\,\pr_A(D)=0{,}6\times0{,}04=0{,}024$ et $\pr(B\cap D)=0{,}4\times0{,}03=0{,}012$ .

3. Idée : formule des probabilités totales sur la partition $\{A,B\}$ . $D=(A\cap D)\cup(B\cap D)$ , réunion disjointe, donc

\pr(D)=\pr(A\cap D)+\pr(B\cap D)=0{,}024+0{,}012=\boxed{0{,}036}

Soit $3{,}6\,\%$ de pièces défectueuses en sortie d'usine — entre les $3\,\%$ de $B$ et les $4\,\%$ de $A$ , plus proche de $A$ qui produit davantage.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill P-A.1 — formule des probabilités totales

1 questionCorrigé masqué

Deux urnes : $U_1$ (3 rouges, 2 vertes), $U_2$ (1 rouge, 4 vertes). On choisit une urne au hasard puis une boule. Probabilité de tirer une rouge ?

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Idée : deux étapes (urne puis boule) $\Rightarrow$ arbre pondéré et formule des probabilités totales sur la partition $\{U_1,U_2\}$ . $\pr(R)=\pr(U_1)\pr_{U_1}(R)+\pr(U_2)\pr_{U_2}(R)=\dfrac12\cdot\dfrac35+\dfrac12\cdot\dfrac15=\dfrac3{10}+\dfrac1{10}=\boxed{\dfrac25}$ . Ce n'est pas la proportion globale de rouges ( $4/10$ des boules… ici égale par coïncidence des effectifs) mais la moyenne des deux proportions pondérée par le choix de l'urne.

Méthode / Automatismes

Branche = probabilité conditionnelle ; chemin = produit ; événement = somme des chemins.
Formule des probabilités totales : si $(A_i)$ partition, $\pr(D)=\sum_i \pr(A_i)\pr_{A_i}(D)$ .
La somme des branches issues d'un même n\oe ud vaut toujours $1$ (contrôle systématique).
$\pr_A(D)=\dfrac{\pr(A\cap D)}{\pr(A)}$ : la définition, à réciter avant tout calcul conditionnel.

Pièges classiques

Additionner des probabilités le long d'un chemin (il faut multiplier) ; multiplier entre chemins (il faut additionner). Confondre $\pr_A(D)$ (donnée) et $\pr(A\cap D)$ (produit). Oublier de vérifier que les causes forment bien une partition.