P-ADénombrement et probabilités

Arbre pondéré et formule des probabilités totales

Idée directrice

On modélise une expérience à deux étapes (cause puis effet) par un arbre pondéré : les branches de premier niveau portent les probabilités des causes, celles de second niveau les probabilités conditionnelles. La probabilité d'un chemin est le produit des branches ; la probabilité d'un événement-effet est la somme des chemins qui y mènent (formule des probabilités totales).

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Traduire la situation par un arbre pondéré » ; « montrer que $\mathbb{P}(D)=\ldots$ » (données en pourcentages).

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Branche = probabilité conditionnelle ; chemin = produit ; événement = somme des chemins.
Formule des probabilités totales : si $(A_i)$ partition, $\pr(D)=\sum_i \pr(A_i)\pr_{A_i}(D)$ .
La somme des branches issues d'un même nœud vaut toujours $1$ (contrôle systématique).
$\pr_A(D)=\dfrac{\pr(A\cap D)}{\pr(A)}$ : la définition, à réciter avant tout calcul conditionnel.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Additionner des probabilités le long d'un chemin (il faut multiplier) ; multiplier entre chemins (il faut additionner). Confondre $\pr_A(D)$ (donnée) et $\pr(A\cap D)$ (produit). Oublier de vérifier que les causes forment bien une partition.

Sujet principal

Exercice 1 — deux ateliers, pièces défectueuses

3 questionsCorrigé masqué

Deux ateliers $A$ et $B$ produisent une même pièce : $A$ fournit $60\%$ de la production, $B$ les $40\%$ restants. L'atelier $A$ produit $4\%$ de pièces défectueuses, $B$ en produit $3\%$ . On prélève une pièce au hasard ; soit $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

Traduire la situation par un arbre pondéré.
Calculer $\pr(A\cap D)$ et $\pr(B\cap D)$ .
Montrer que $\pr(D)=0{,}036$ .

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1. Idée : le premier niveau de l'arbre porte la partition $\{A,B\}$ , le second les probabilités conditionnelles. $\pr(A)=0{,}6$ , $\pr(B)=0{,}4$ ; sur la branche $A$ : $\pr_A(D)=0{,}04$ , $\pr_A(\overline D)=0{,}96$ ; sur la branche $B$ : $\pr_B(D)=0{,}03$ , $\pr_B(\overline D)=0{,}97$ . La somme des poids issus d'un même nœud vaut $1$ .

2. Idée : la probabilité d'un chemin est le produit de ses poids. $\pr(A\cap D)=\pr(A)\,\pr_A(D)=0{,}6\times0{,}04=0{,}024$ et $\pr(B\cap D)=0{,}4\times0{,}03=0{,}012$ .

3. Idée : formule des probabilités totales sur la partition $\{A,B\}$ . $D=(A\cap D)\cup(B\cap D)$ , réunion disjointe, donc

\pr(D)=\pr(A\cap D)+\pr(B\cap D)=0{,}024+0{,}012=\boxed{0{,}036}

Soit $3{,}6\,\%$ de pièces défectueuses en sortie d'usine — entre les $3\,\%$ de $B$ et les $4\,\%$ de $A$ , plus proche de $A$ qui produit davantage.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill P-A.1 — formule des probabilités totales

Entraînement 01 / 01

Drill P-A.1 — formule des probabilités totales

1 questionCorrigé masqué

Deux urnes : $U_1$ (3 rouges, 2 vertes), $U_2$ (1 rouge, 4 vertes). On choisit une urne au hasard puis une boule. Probabilité de tirer une rouge ?

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Idée : deux étapes (urne puis boule) $\Rightarrow$ arbre pondéré et formule des probabilités totales sur la partition $\{U_1,U_2\}$ . $\pr(R)=\pr(U_1)\pr_{U_1}(R)+\pr(U_2)\pr_{U_2}(R)=\dfrac12\cdot\dfrac35+\dfrac12\cdot\dfrac15=\dfrac3{10}+\dfrac1{10}=\boxed{\dfrac25}$ . Ce n'est pas la proportion globale de rouges ( $4/10$ des boules… ici égale par coïncidence des effectifs) mais la moyenne des deux proportions pondérée par le choix de l'urne.

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.