C-FNombres complexes

L'exercice de nombres complexes complet : équation, forme exponentielle, configuration, nature d'un triangle

Idée directrice

L'exercice de complexes du bac (exercice 1, 4 à 5 points, 14 sessions sur 22) enchaîne toujours : une équation du second degré à paramètre dont les racines s'écrivent sous forme exponentielle, des points définis par ces racines, une construction, puis la nature d'un triangle ou d'un quadrilatère obtenue en calculant un quotient ou une différence d'affixes. Le paramètre (ici $\theta$ ) sert à la dernière question : « pour quelle valeur de $\theta$ … ? ».

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Vérifier que … est une solution de $(E)$ » ; « déterminer l'autre solution sous forme exponentielle » ; « construire le point … d'affixe … » ; « montrer que $z_M-z_N=\dots\,\e^{\i(\dots)}$ » ; « pour quelle valeur de $\theta$ le triangle … est-il … ? ».

Sujet principal

Exercice 1 — nombres complexes (4 points), dans l’esprit de la session 2024

5 questionsCorrigé masqué

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$ . Soit $\theta$ un réel de $\big]0,\dfrac{\pi}{2}\big[$ . On considère dans $\C$ l'équation $(E)\ :\ z^2-2\cos\theta\,z+1=0$ .

1. Vérifier que $\e^{\i\theta}$ est une solution de $(E)$ .
2. Déterminer l'autre solution sous forme exponentielle et vérifier qu'elle est le conjugué de la première.
On note $P$ et $Q$ les points d'affixes respectives $z_P=\e^{\i\theta}$ et $z_Q=\e^{-\i\theta}$ , et $M$ le point d'affixe $z_M=z_P+z_Q$ .
1. Montrer que $z_M$ est un réel et placer $P$ , $Q$ et $M$ pour $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ .
2. Montrer que le quadrilatère $OPMQ$ est un losange.
1. Montrer que $z_P-z_Q$ est un imaginaire pur, puis que $z_P-z_Q=2\sin\theta\,\e^{\i\pi/2}$ ; préciser son module et un argument.
2. En déduire la distance $PQ$ et montrer que les droites $(PQ)$ et $(OM)$ sont perpendiculaires.
Pour quelle valeur de $\theta$ le triangle $OPQ$ est-il équilatéral ?
Pour quelle valeur de $\theta$ le quadrilatère $OPMQ$ est-il un carré ?

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1.a Idée : remplacer et utiliser $\e^{\i\theta}+\e^{-\i\theta}=2\cos\theta$ . $(\e^{\i\theta})^2-2\cos\theta\,\e^{\i\theta}+1=\e^{\i\theta}\big(\e^{\i\theta}-2\cos\theta+\e^{-\i\theta}\big)=\e^{\i\theta}\big(2\cos\theta-2\cos\theta\big)=0$ .

1.b Idée : somme ou produit des racines. Le produit des racines de $(E)$ vaut $1$ , donc l'autre solution est $\dfrac1{\e^{\i\theta}}=\e^{-\i\theta}$ (on retrouve aussi la somme $2\cos\theta$ ). Les solutions sont

z_1=\e^{\i\theta}\qquad\text{et}\qquad z_2=\e^{-\i\theta}=\overline{z_1}

2.a $z_M=\e^{\i\theta}+\e^{-\i\theta}=2\cos\theta\in\R$ : $M$ est sur l'axe réel, d'abscisse $2\cos\theta>0$ . Pour $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ : $P\Big(\dfrac12+\i\dfrac{\sqrt3}{2}\Big)$ et $Q\Big(\dfrac12-\i\dfrac{\sqrt3}{2}\Big)$ sont sur le cercle trigonométrique, symétriques par rapport à l'axe réel, et $M(1)$ .

2.b Idée : $z_M=z_P+z_Q$ signifie $\vec{OM}=\vec{OP}+\vec{OQ}$ . $OPMQ$ est donc un parallélogramme ; de plus $OP=|z_P|=1=|z_Q|=OQ$ : un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs égaux est un losange.

3.a $z_P-z_Q=\e^{\i\theta}-\e^{-\i\theta}=(\cos\theta+\i\sin\theta)-(\cos\theta-\i\sin\theta)=2\i\sin\theta=2\sin\theta\,\e^{\i\pi/2}$ , avec $2\sin\theta>0$ puisque $\theta\in\big]0,\dfrac{\pi}{2}\big[$ : c'est bien une forme exponentielle (module $2\sin\theta$ , argument $\dfrac{\pi}{2}$ ).

3.b $PQ=|z_P-z_Q|=2\sin\theta$ . Un argument de $z_P-z_Q$ est $\dfrac{\pi}{2}$ et $z_M$ est un réel strictement positif (argument $0$ ), donc $\big(\widehat{\vec{OM},\vec{QP}}\big)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$ : les droites $(PQ)$ et $(OM)$ sont perpendiculaires (ce sont les diagonales du losange).

4. Idée : $OP=OQ=1$ déjà ; il reste $PQ=1$ . $OPQ$ est équilatéral si et seulement si $2\sin\theta=1$ , soit $\sin\theta=\dfrac12$ , et comme $\theta\in\big]0,\dfrac{\pi}{2}\big[$ :

\theta=\frac{\pi}{6}

5. Idée : un losange est un carré si ses diagonales ont même longueur (ou si deux côtés consécutifs sont perpendiculaires). $\big(\widehat{\vec{OQ},\vec{OP}}\big)\equiv\arg\dfrac{z_P}{z_Q}=2\theta$ ; $OPMQ$ est un carré si et seulement si $2\theta=\dfrac{\pi}{2}$ , soit $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ . Vérification par les diagonales : $OM=2\cos\theta$ et $PQ=2\sin\theta$ sont égales si et seulement si $\tan\theta=1$ .

\theta=\frac{\pi}{4}

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill C-F.1 — la transformation (z − i)(z′ − i) = 1

3 questionsCorrigé masqué

Soit $A$ le point d'affixe $\i$ . À tout point $M$ d'affixe $z\neq\i$ on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $(z-\i)(z'-\i)=1$ .

Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M'=M$ .
Montrer que $AM\cdot AM'=1$ .
Montrer que les points $A$ , $M$ et $M'$ sont alignés si, et seulement si, $(z-\i)^2$ est réel.

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1. $M'=M\iff (z-\i)^2=1\iff z-\i=\pm1\iff z=1+\i$ ou $z=-1+\i$ : deux points, $B(1+\i)$ et $C(-1+\i)$ .

2. Idée : le module d'un produit. $|z-\i|\cdot|z'-\i|=|1|=1$ , soit $AM\cdot AM'=1$ .

3. Idée : alignement $\iff$ argument de $\dfrac{z'-\i}{z-\i}$ nul modulo $\pi$ . De $(z-\i)(z'-\i)=1$ on tire $\dfrac{z'-\i}{z-\i}=\dfrac{1}{(z-\i)^2}$ . $A$ , $M$ , $M'$ sont alignés si et seulement si ce quotient est réel, c'est-à-dire si et seulement si $(z-\i)^2$ est réel (l'inverse d'un complexe non nul est réel si et seulement si ce complexe l'est).

Entraînement 02 / 02

Drill C-F.2 — équation à coefficients réels et triangle équilatéral

3 questionsCorrigé masqué

On considère dans $\C$ l'équation $(E)\ :\ z^2-2z+4=0$ .

Résoudre $(E)$ et écrire ses solutions sous forme exponentielle.
Soient $A$ , $B$ et $D$ les points d'affixes $1+\i\sqrt3$ , $1-\i\sqrt3$ et $4$ . Montrer que le triangle $ABD$ est équilatéral.
Vérifier que $\dfrac{z_D-z_A}{z_B-z_A}=\e^{\i\pi/3}$ ; interpréter son module et son argument pour retrouver le résultat précédent.

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1. Idée : discriminant négatif, racines conjuguées. $\Delta=4-16=-12=(2\i\sqrt3)^2$ , donc $z=1\pm\i\sqrt3$ . $|1+\i\sqrt3|=2$ et $\dfrac{1+\i\sqrt3}{2}=\cos\dfrac{\pi}{3}+\i\sin\dfrac{\pi}{3}$ : les solutions sont $2\e^{\i\pi/3}$ et $2\e^{-\i\pi/3}$ .

2. $AB=|2\i\sqrt3|=2\sqrt3$ , $AD=|3-\i\sqrt3|=\sqrt{9+3}=2\sqrt3$ , $BD=|3+\i\sqrt3|=2\sqrt3$ : trois côtés égaux, $ABD$ est équilatéral.

3. $\dfrac{z_D-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{3-\i\sqrt3}{-2\i\sqrt3}=\dfrac{(3-\i\sqrt3)\,\i}{2\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3+3\i}{2\sqrt3}=\dfrac12+\i\dfrac{\sqrt3}{2}=\e^{\i\pi/3}$ . Module $1$ : $AD=AB$ ; argument $\dfrac{\pi}{3}$ : $\big(\widehat{\vec{AB},\vec{AD}}\big)\equiv\dfrac{\pi}{3}$ . Un triangle isocèle en $A$ d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ est équilatéral.

Méthode / Automatismes

Équation $z^2-2\cos\theta\,z+1=0$ : ne pas dérouler le discriminant si une racine est donnée à vérifier ; l'autre vient du produit ( $=1$ ) ou de la somme ( $=2\cos\theta$ ).
Formules d'Euler à connaître par cœur : $\e^{\i\theta}+\e^{-\i\theta}=2\cos\theta$ , $\e^{\i\theta}-\e^{-\i\theta}=2\i\sin\theta$ ; une forme exponentielle exige un module strictement positif, d'où la discussion sur le signe de $\sin\theta$ .
Somme d'affixes $z_A+z_B$ $\Rightarrow$ parallélogramme ; modules égaux $\Rightarrow$ losange ; angle $\dfrac{\pi}{2}$ ou diagonales égales $\Rightarrow$ carré.
Nature d'un triangle : comparer les longueurs (modules de différences) puis l'angle (argument d'un quotient).
Question « pour quelle valeur de $\theta$ » : traduire la condition géométrique en une équation trigonométrique, puis résoudre dans l'intervalle imposé.

Pièges classiques

Écrire $z_P-z_Q=2\i\sin\theta$ et l'appeler « forme exponentielle » sans vérifier que $2\sin\theta>0$ ; oublier que $\theta\in\big]0,\dfrac{\pi}{2}\big[$ et donner plusieurs solutions à $\sin\theta=\dfrac12$ ; confondre $\arg\dfrac{z_P}{z_Q}$ (angle en $O$ ) et $\arg\dfrac{z_P-z_M}{z_Q-z_M}$ (angle en $M$ ) ; enfin, conclure « carré » à partir des seules diagonales perpendiculaires (c'est vrai de tout losange).