C-ENombres complexes

Changement de variable Z = z + 1/z pour une équation

Idée directrice

Certaines équations en $z$ et $\dfrac1z$ se linéarisent par $Z=z+\dfrac1z$ (ou $Z=z+\overline{z}$ , etc.). On résout d'abord en $Z$ dans $\mathbb{C}$ , puis on revient à $z$ .

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« On pose Z = z + … »

« $p(z) = 0 ⇔ Z² - (1+i)Z + i = 0 »$

« z + 1/z = 1 »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Toujours justifier $z\neq 0$ avant de multiplier par $z$ .
Vérifier que les $z$ obtenus redonnent bien le $Z$ attendu.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Oublier une des deux équations $Z=1$ ou $Z=i$ ; compter $z=0$ .

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

3 questionsCorrigé masqué

Dans le corps des nombres complexes $\mathbb{C}$ , certaines équations se traitent par changement de variable $Z=z+\dfrac1z$ (esprit corrigé bac info 2018). On ramène $p(z)=0$ à une équation du second degré en le nombre complexe $Z$ , puis on revient aux affixes $z\in\mathbb{C}^*$ .

Résoudre $Z^2-(1+i)Z+i=0$ dans $\mathbb{C}$ (réutiliser le résultat $S=\{1,i\}$ ).
Résoudre ensuite $z+\dfrac1z=1$ et $z+\dfrac1z=i$ (avec $z\neq 0$ ). Indiquer la méthode (multiplication par $z$ ).
Combien de solutions $z$ obtient-on au total dans $\mathbb{C}^*$ ?

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : c'est l'équation déjà résolue avec l'inconnue $Z$ . $\Delta=(1+\i)^2-4\i=-2\i=(1-\i)^2$ , donc $Z=\dfrac{(1+\i)\pm(1-\i)}{2}\in\{1\,;\,\i\}$ .

2. Idée : pour $z\neq0$ , $z+\dfrac1z=Z\iff z^2-Zz+1=0$ (multiplier par $z$ ).

$Z=1$ : $z^2-z+1=0$ , $\Delta=1-4=-3=(\i\sqrt3)^2$ , $z=\dfrac{1\pm\i\sqrt3}{2}=\e^{\pm\i\pi/3}$ .
$Z=\i$ : $z^2-\i z+1=0$ , $\Delta=(\i)^2-4=-5=(\i\sqrt5)^2$ , $z=\dfrac{\i\pm\i\sqrt5}{2}=\i\,\dfrac{1\pm\sqrt5}{2}$ .

Aucune de ces valeurs n'est nulle, toutes sont donc recevables ; réciproquement chacune vérifie $z+\dfrac1z\in\{1,\i\}$ (par exemple $\e^{\i\pi/3}+\e^{-\i\pi/3}=2\cos\dfrac{\pi}{3}=1$ ).

3. Deux équations du second degré à discriminant non nul donnent deux solutions distinctes chacune, et les deux paires sont disjointes :

\mathcal S=\Big\{\e^{\i\pi/3}\,;\ \e^{-\i\pi/3}\,;\ \i\,\tfrac{1+\sqrt5}{2}\,;\ \i\,\tfrac{1-\sqrt5}{2}\Big\}\quad(\text{quatre solutions dans }\C^*)

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill C-E.1 — Discriminant −3

Entraînement 01 / 01

Drill C-E.1 — Discriminant −3

1 questionCorrigé masqué

Pour l'équation $z^2-z+1=0$ dans le corps des nombres complexes $\mathbb{C}$ , vérifier que le discriminant vaut $-3$ et qu'une racine carrée complexe de $\Delta$ est $i\sqrt{3}$ . Écrire les deux solutions sous forme algébrique $a+bi$ (partie réelle et partie imaginaire), et préciser le module commun de ces deux affixes.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

$\Delta=1-4=-3=(i\sqrt{3})^2$ donc $\delta=i\sqrt{3}$ (corrigé bac info 2018). $z=\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$ : deux nombres complexes d'affixes conjuguées, partie réelle $\frac12$ , partie imaginaire $\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Le module de chacune est $\sqrt{\frac14+\frac34}=1$ .

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.