ED-AÉquations différentielles

Équations $y'=ay$ et $y'=ay+b$ : résolution et condition initiale

Idée directrice

Le fil conducteur : toute équation du premier ordre linéaire à coefficients constants se ramène à $y'=ay$ (homogène) ou $y'=ay+b$ (avec second membre constant). La solution générale de $y'=ay$ est $y=C\,\e^{ax}$ , celle de $y'=ay+b$ est $y=C\,\e^{ax}-\dfrac{b}{a}$ ( $a\neq0$ ). On détermine $C$ par la condition initiale $y(x_0)=y_0$ , puis on interprète le signe de $a$ pour discuter croissance/décroissance.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Résoudre l'équation différentielle $y'-ky=0$ » ; « Déterminer la solution vérifiant $y(0)=y_0$ » ; « Étudier le comportement de la solution en $+\infty$ ».

Sujet principal

Exercice 1 — résolution d'une équation différentielle du premier ordre

5 questionsCorrigé masqué

Soit l'équation différentielle $(E)$ : $y'-3y+6=0$ , définie sur $\R$ .

Résoudre l'équation homogène associée $(E_0)$ : $y'-3y=0$ .
Trouver une solution particulière constante de $(E)$ .
1. On cherche $y_p=k$ (constante). Déterminer $k$ .
2. Vérifier que $y_p$ est bien solution de $(E)$ .
En déduire la solution générale de $(E)$ sur $\R$ .
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f(0)=5$ .
Étudier les variations de $f$ et préciser le comportement de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .

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1. Idée : $y'=ay$ a pour solutions $C\e^{ax}$ . $y'-3y=0\iff y'=3y$ : $y_h(x)=C\e^{3x}$ , $C\in\R$ .

2. Idée : chercher une constante, dont la dérivée est nulle. (a) $0-3k+6=0\iff k=2$ . (b) $y_p=2$ : $y_p'=0$ et $0-3\cdot2+6=0$ , donc $y_p$ est solution de $(E)$ .

3. Idée : solution générale $=$ solution particulière $+$ solutions de l'homogène. $y(x)=C\e^{3x}+2$ , $C\in\R$ .

4. Idée : la condition initiale fixe $C$ . $f(0)=C+2=5\iff C=3$ : $f(x)=3\e^{3x}+2$ .

5. Idée : dérivée et limites. $f'(x)=9\e^{3x}>0$ : $f$ est strictement croissante sur $\R$ . $\lim_{-\infty}f=2$ (asymptote horizontale $y=2$ ) et $\lim_{+\infty}f=+\infty$ . La courbe part de l'asymptote $y=2$ et croît exponentiellement.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 04

Drill ED-A.1 — $y'=ay$ avec condition initiale

2 questionsCorrigé masqué

On considère l'équation différentielle $y'=2y$ sur $\R$ .

Donner la solution générale.
Déterminer la solution vérifiant $y(0)=3$ .

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1. Idée : forme $C\e^{ax}$ . $y(x)=C\e^{2x}$ , $C\in\R$ . 2. $y(0)=C=3$ : $y(x)=3\e^{2x}$ .

Entraînement 02 / 04

Drill ED-A.2 — désintégration radioactive

1 questionCorrigé masqué

Une quantité vérifie $N'=-\lambda N$ , $N(0)=N_0$ , de demi-vie $T$ . Exprimer $\lambda$ en fonction de $T$ .

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Idée : la demi-vie est la date où $N$ vaut la moitié de $N_0$ . $N(t)=N_0\e^{-\lambda t}$ ; $N(T)=\tfrac{N_0}2\iff\e^{-\lambda T}=\tfrac12\iff\lambda T=\ln2$ , d'où $\lambda=\dfrac{\ln2}{T}$ . Plus la demi-vie est courte, plus la constante radioactive est grande.

Entraînement 03 / 04

Drill ED-A.3 — équation avec second membre constant

2 questionsCorrigé masqué

On considère l'équation différentielle $y'+y=2$ sur $\R$ .

Résoudre l'équation homogène $y'+y=0$ .
Trouver une solution particulière constante, puis la solution de $y'+y=2$ telle que $y(0)=0$ .

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1. Idée : $y'=-y$ . $y(x)=C\e^{-x}$ . 2. Idée : constante $k$ avec $0+k=2$ . $y_p=2$ , solution générale $y=C\e^{-x}+2$ ; $y(0)=0\iff C=-2$ : $y(x)=2-2\e^{-x}$ , qui croît de $0$ vers le plateau $2$ .

Entraînement 04 / 04

Drill ED-A.4 — vérifier qu'une fonction est solution

1 questionCorrigé masqué

Montrer que $y(x)=(x+1)e^{-x}$ est solution de $y'+y=e^{-x}$ .

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Idée : dériver et reporter dans l'équation. $y'=\e^{-x}-(x+1)\e^{-x}=-x\e^{-x}$ , donc $y'+y=-x\e^{-x}+(x+1)\e^{-x}=\e^{-x}$ : $y$ est bien solution. C'est la méthode de vérification, plus rapide que la résolution complète.

Méthode / Automatismes

Structure standard : solution générale = $C\,\e^{ax}$ (homogène) $+$ solution particulière. Pour $b$ constant, $y_p=-b/a$ .
Condition initiale : substituer $x=x_0$ dans l'expression générale et résoudre en $C$ — ne pas oublier de simplifier $\e^{ax_0}$ .
Signe de $a$ : $a>0$ $\Rightarrow$ la solution explose (croissante si $C>0$ ) ; $a<0$ $\Rightarrow$ la solution converge vers $-b/a$ (asymptote).
Variante $y'=g(x)$ : si le second membre dépend de $x$ , chercher une solution particulière de la même famille que $g$ (polynôme, exponentielle, sinusoïde).

Pièges classiques

Oublier la constante $C$ dans la solution générale (confondu avec la solution particulière satisfaisant une C.I.). Diviser par $a$ sans vérifier $a\neq0$ . Confondre $y'=ay$ (homogène) et $y'=ay+b$ : la solution particulière $-b/a$ ne s'applique que quand $a\neq0$ . Ne pas réexprimer le résultat final en termes simples après avoir trouvé $C$ .

Variantes rencontrées : La fonction inconnue peut être notée $q(t)$ (charge électrique) ou $N(t)$ (population) ; l'équation peut se présenter sous la forme $y'+py=q$ avec $p$ et $q$ constants. Parfois l'énoncé demande de vérifier qu'une fonction donnée est solution avant de conclure sur l'unicité.

Équations y′=ayy'=ayy′=ay et y′=ay+by'=ay+by′=ay+b : résolution et condition initiale

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Équations $y'=ay$ et $y'=ay+b$ : résolution et condition initiale