Ellipse $9x^2+4y^2=36$ et hyperbole $4y^2-x^2=4$ : réduction, éléments caractéristiques, foyers communs

1. Idée : diviser par $36$ pour obtenir la forme réduite. $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$ : somme de deux carrés égale à $1$, c'est une ellipse de centre $O$. Le plus grand dénominateur est sous $y^2$ : le grand axe est $(Oy)$, $a=3$, $b=2$, $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt5$. Sommets $(0;\pm3)$ et $(\pm2;0)$ ; foyers $F(0;\sqrt5)$, $F'(0;-\sqrt5)$ ; $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt5}{3}<1$ ; directrices $y=\pm\dfrac ae=\pm\dfrac{9}{\sqrt5}=\pm\dfrac{9\sqrt5}{5}$.

2. Idée : diviser par $4$ ; le signe $-$ devant $x^2$ place l'axe focal sur $(Oy)$. $\dfrac{y^2}{1}-\dfrac{x^2}{4}=1$ : hyperbole de centre $O$, $a=1$ (sous le terme positif), $b=2$, $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt5$. Sommets $(0;\pm1)$ ; foyers $(0;\pm\sqrt5)$ ; $e=\dfrac ca=\sqrt5>1$ ; directrices $y=\pm\dfrac ae=\pm\dfrac1{\sqrt5}=\pm\dfrac{\sqrt5}{5}$ ; asymptotes obtenues en remplaçant $1$ par $0$ : $y^2=\dfrac{x^2}{4}$, soit $y=\pm\dfrac x2$.

3. Idée : même $c$ sur le même axe. Les deux coniques ont $c=\sqrt5$ et leur axe focal est $(Oy)$ : foyers communs $(0;\pm\sqrt5)$, elles sont homofocales. Intersection : de $(\mathcal H)$, $x^2=4y^2-4$ ; dans $(\mathcal E)$ : $9(4y^2-4)+4y^2=36\iff40y^2=72\iff y^2=\dfrac95$, donc $y=\pm\dfrac{3}{\sqrt5}$ et $x^2=4\cdot\dfrac95-4=\dfrac{16}{5}$, $x=\pm\dfrac4{\sqrt5}$. Quatre points : $\Big(\pm\dfrac{4\sqrt5}{5};\pm\dfrac{3\sqrt5}{5}\Big)$. (Deux coniques homofocales se coupent toujours à angle droit.)