Masar
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Bac Tunisie
Mathématiques/CO-F
Entraîner la reconnaissance
CO-FConiques

Hyperbole x29−y216=1\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1 : éléments caractéristiques, tracé et aire d'une région limitée par une branche

Idée directrice

L'hyperbole du bac se traite en trois temps : (1) lire aa, bb, calculer c=a2+b2c=\sqrt{a^2+b^2} puis sommets, foyers, excentricité e=c/a>1e=c/a>1, directrices x=±a2/cx=\pm a^2/c et asymptotes y=±baxy=\pm\dfrac ba x ; (2) tracer en s'appuyant sur le rectangle [−a;a]×[−b;b][-a;a]\times[-b;b] dont les diagonales sont les asymptotes ; (3) pour une aire, exprimer une branche sous la forme y=±f(x)y=\pm f(x) et écrire l'intégrale, la primitive de x2−a2\sqrt{x^2-a^2} étant en général fournie.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« montrer que (H) est une hyperbole dont on précisera les foyers, les sommets, les directrices et les asymptotes » ; « soit A l'aire de la partie du plan limitée par (H) et la droite d'équation x = … »

Sujet principal

Exercice — hyperbole : éléments caractéristiques et aire

4 questionsCorrigé masqué

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère (H): x29−y216=1(\mathcal H):\ \dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1.

  1. Préciser les sommets, les foyers, l'excentricité, les directrices et les asymptotes de (H)(\mathcal H).
  2. Montrer que la branche de (H)(\mathcal H) située dans le demi-plan x>0x>0 est la réunion des courbes d'équations y=43x2−9y=\dfrac43\sqrt{x^2-9} et y=−43x2−9y=-\dfrac43\sqrt{x^2-9} pour x≥3x\geq3. Expliquer pourquoi les asymptotes guident le tracé.
  3. Soit A\mathcal A l'aire de la région limitée par cette branche et la droite d'équation x=5x=5. Montrer que A=83∫35x2−9 dx\mathcal A=\dfrac83\displaystyle\int_3^5\sqrt{x^2-9}\,\mathrm dx.
  4. On admet que G(x)=x2x2−9−92ln⁡(x+x2−9)G(x)=\dfrac x2\sqrt{x^2-9}-\dfrac92\ln\big(x+\sqrt{x^2-9}\big) est une primitive de x↦x2−9x\mapsto\sqrt{x^2-9} sur [3;5][3;5]. Calculer A\mathcal A et en donner une valeur approchée.
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : a2=9a^2=9, b2=16b^2=16, axe focal (Ox)(Ox). a=3a=3, b=4b=4, c=9+16=5c=\sqrt{9+16}=5. Sommets (±3;0)(\pm3;0) ; foyers (±5;0)(\pm5;0) ; e=ca=53e=\dfrac ca=\dfrac53 ; directrices x=±a2c=±95x=\pm\dfrac{a^2}{c}=\pm\dfrac95 ; asymptotes y=±bax=±43xy=\pm\dfrac ba x=\pm\dfrac43x.

2. Idée : isoler y2y^2. y216=x29−1=x2−99\dfrac{y^2}{16}=\dfrac{x^2}{9}-1=\dfrac{x^2-9}{9}, donc y2=169(x2−9)y^2=\dfrac{16}{9}(x^2-9), défini si ∣x∣≥3|x|\geq3, et y=±43x2−9y=\pm\dfrac43\sqrt{x^2-9} ; pour x>0x>0 c'est la branche de droite, symétrique par rapport à (Ox)(Ox). Quand x→+∞x\to+\infty, 43x2−9−43x=43⋅−9x2−9+x→0\dfrac43\sqrt{x^2-9}-\dfrac43x=\dfrac43\cdot\dfrac{-9}{\sqrt{x^2-9}+x}\to0 : la branche se colle aux asymptotes, qui donnent la direction du tracé loin du sommet.

3. Idée : aire entre deux courbes symétriques == deux fois l'aire sous la courbe supérieure. Pour 3≤x≤53\leq x\leq5 la région est comprise entre y=−43x2−9y=-\dfrac43\sqrt{x^2-9} et y=43x2−9y=\dfrac43\sqrt{x^2-9}, d'où A=∫35(43x2−9−(−43x2−9))dx=83∫35x2−9 dx\mathcal A=\displaystyle\int_3^5\Big(\dfrac43\sqrt{x^2-9}-\big(-\dfrac43\sqrt{x^2-9}\big)\Big)\mathrm dx=\dfrac83\int_3^5\sqrt{x^2-9}\,\mathrm dx.

4. Idée : ∫35x2−9 dx=G(5)−G(3)\int_3^5\sqrt{x^2-9}\,\mathrm dx=G(5)-G(3). G(5)=52×4−92ln⁡9=10−9ln⁡3G(5)=\dfrac52\times4-\dfrac92\ln9=10-9\ln3 et G(3)=0−92ln⁡3G(3)=0-\dfrac92\ln3. Donc ∫35x2−9 dx=10−9ln⁡3+92ln⁡3=10−92ln⁡3\displaystyle\int_3^5\sqrt{x^2-9}\,\mathrm dx=10-9\ln3+\dfrac92\ln3=10-\dfrac92\ln3 et

A=83(10−92ln⁡3)=803−12ln⁡3≈13,5\mathcal A=\frac83\Big(10-\frac92\ln3\Big)=\boxed{\frac{80}{3}-12\ln3\approx13{,}5}

Contrôle : la région est contenue dans le rectangle [3;5]×[−163;163][3;5]\times[-\tfrac{16}{3};\tfrac{16}{3}] d'aire 643≈21,3\dfrac{64}{3}\approx21{,}3, et 13,5<21,313{,}5<21{,}3.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill CO-F.1 — asymptotes et foyers d'une hyperbole

2 questionsCorrigé masqué

Soit (H): x24−y25=1(\mathcal H):\ \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{5}=1.

  1. Déterminer cc, les foyers et l'excentricité.
  2. Écrire les équations des asymptotes et vérifier que le point M(3;52)M\big(3;\tfrac52\big) est sur (H)(\mathcal H) ; de quel côté de l'asymptote y=52xy=\frac{\sqrt5}{2}x se trouve-t-il ?
Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : c2=a2+b2c^2=a^2+b^2. a=2a=2, b=5b=\sqrt5, c=4+5=3c=\sqrt{4+5}=3 ; foyers (±3;0)(\pm3;0) ; e=32e=\dfrac32.

2. Idée : annuler le second membre. y=±52xy=\pm\dfrac{\sqrt5}{2}x. Pour MM : 94−25/45=94−54=1\dfrac94-\dfrac{25/4}{5}=\dfrac94-\dfrac54=1 : M∈(H)M\in(\mathcal H). En x=3x=3 l'asymptote passe à y=352≈3,35>2,5y=\dfrac{3\sqrt5}{2}\approx3{,}35>2{,}5 : MM est sous l'asymptote, comme tout point de la branche (l'hyperbole reste entre ses asymptotes).

Méthode / Automatismes
  • Hyperbole : c2=a2+b2c^2=a^2+b^2, e=c/a>1e=c/a>1, asymptotes y=±baxy=\pm\frac ba x (axe OxOx).
  • Aire : écrire y=±f(x)y=\pm f(x), doubler par symétrie, borner par l'abscisse du sommet et la droite donnée.
  • Une primitive admise s'utilise par G(b)−G(a)G(b)-G(a) ; simplifier ln⁡9=2ln⁡3\ln9=2\ln3.
Pièges classiques

Écrire c2=a2−b2c^2=a^2-b^2 ; oublier le facteur 22 de la symétrie ; intégrer à partir de 00 au lieu du sommet x=3x=3 ; confondre ln⁡(x+x2−9)\ln(x+\sqrt{x^2-9}) en x=3x=3 avec 00 (c'est ln⁡3\ln3).