Ajustement affine par moindres carrés

Idée directrice

La droite de régression de $y$ en $x$ a pour pente $a=\dfrac{cov(x,y)}{V(x)}$ et passe par le point moyen.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

régression

covariance

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Mémoriser $y-\bar y = a(x-\bar x)$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Inverser cov et V(x).

Sujet principal

Exercice — régression

3 questionsCorrigé masqué

On dispose de $n=5$ points de moyenne $(\bar x,\bar y)=(2,3)$ , avec $V(x)=1$ et $cov(x,y)=0{,}8$ .

Déterminer l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ .
Estimer $y$ pour $x=4$ .
Interpréter le signe de la covariance.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On pose $a=\mathrm{cov}(x,y)/V(x)=0{,}8/1=0{,}8$ puis $b=\bar y-a\bar x=3-0{,}8\times2=1{,}4$ . On a : $y=0{,}8x+1{,}4$ , droite de régression de $y$ en $x$ , qui passe par le point moyen $(2\,;3)$ .

2. On pose $x=4$ dans cette équation. On obtient $y=0{,}8\times4+1{,}4=4{,}6$ : l'estimation de $y$ pour $x=4$ est $4{,}6$ .

3. On sait que $\mathrm{cov}(x,y)=\overline{(x-\bar x)(y-\bar y)}$ . Ici $\mathrm{cov}(x,y)=0{,}8>0$ : les produits positifs des écarts à leurs moyennes l’emportent sur les produits négatifs, donc les deux variables varient dans le même sens. C'est ce signe que l'on retrouve dans la pente, puisque $a=\mathrm{cov}(x,y)/V(x)$ et que $V(x)=1>0$ ici : la droite de régression est croissante. Conclusion : le signe de la covariance donne le sens de la liaison, mais pas sa force — la valeur $0{,}8$ dépend des unités de $x$ et de $y$ et serait multipliée par $100$ si $y$ était exprimé dans une unité cent fois plus petite. C'est le coefficient de corrélation $r=\dfrac{\mathrm{cov}(x,y)}{\sigma_x\sigma_y}$ , sans unité et compris entre $-1$ et $1$ , qui mesure la force de la liaison linéaire.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Exercice — abonnés à la fibre : corrélation, moindres carrés et prévision

Entraînement 01 / 01

Exercice — abonnés à la fibre : corrélation, moindres carrés et prévision

5 questionsCorrigé masquéEn cours de relecture

Le tableau suivant donne, pour une série statistique double, le nombre $y$ d'abonnés à la fibre optique d'un opérateur (en milliers) en fonction du rang $x$ de l'année, avec $x=1$ pour l'année $2018$ .

rang $x$ de l'année	1	2	3	4	5	6
nombre $y$ d'abonnés (en milliers)	12	15	19	23	26	31

Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage de points associé à cette série.
Calculer $V(x)$ , la covariance $\mathrm{cov}(x,y)$ , puis le coefficient de corrélation linéaire $r$ arrondi à $10^{-3}$ .
Justifier qu'un ajustement affine par la méthode des moindres carrés est approprié, en utilisant le critère $|r|\geq\dfrac{\sqrt3}{2}$ .
Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, les coefficients étant arrondis à $10^{-3}$ .
Estimer le nombre d'abonnés en $2026$ , puis indiquer une limite de cette estimation.

Cet exercice et sa correction sont en cours de relecture. Tu peux les consulter ; l’exercice n’est pas encore proposé en séance.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. On note $G(\bar x\,;\bar y)$ le point moyen. On a $\bar x=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}=3{,}5$ et $\bar y=\dfrac{12+15+19+23+26+31}{6}=\dfrac{126}{6}=21$ . Conclusion : $G(3{,}5\,;21)$ .

2. On pose les écarts à la moyenne. Pour $x$ : $-2{,}5$ , $-1{,}5$ , $-0{,}5$ , $0{,}5$ , $1{,}5$ , $2{,}5$ ; pour $y$ : $-9$ , $-6$ , $-2$ , $2$ , $5$ , $10$ . On obtient $V(x)=\dfrac{2\left(6{,}25+2{,}25+0{,}25\right)}{6}=\dfrac{17{,}5}{6}=\dfrac{35}{12}\approx2{,}917$ , donc $\sigma_x\approx1{,}708$ ; puis $V(y)=\dfrac{81+36+4+4+25+100}{6}=\dfrac{250}{6}\approx41{,}667$ , donc $\sigma_y\approx6{,}455$ ; enfin $\mathrm{cov}(x,y)=\dfrac{22{,}5+9+1+1+7{,}5+25}{6}=\dfrac{66}{6}=11$ . D'où $r=\dfrac{\mathrm{cov}(x,y)}{\sigma_x\sigma_y}=\dfrac{11}{1{,}708\times6{,}455}$ . Conclusion : $r\approx0{,}998$ .

3. On compare $|r|$ au seuil : $|r|\approx0{,}998$ et $\dfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866$ , donc $|r|\geq\dfrac{\sqrt3}{2}$ . Conclusion : la corrélation linéaire entre le rang de l'année et le nombre d'abonnés est très forte, ce qui justifie un ajustement affine par la méthode des moindres carrés.

4. On pose $y=ax+b$ , droite de régression de $y$ en $x$ . On a $a=\dfrac{\mathrm{cov}(x,y)}{V(x)}=\dfrac{11}{\tfrac{35}{12}}=\dfrac{132}{35}\approx3{,}771$ , puis $b=\bar y-a\bar x=21-\dfrac{132}{35}\times\dfrac{7}{2}=21-13{,}2=7{,}8$ . Conclusion : la droite de régression a pour équation $y=3{,}771x+7{,}8$ ; elle passe bien par le point moyen $G(3{,}5\,;21)$ .

5. On pose $x=9$ , rang de l'année $2026$ puisque $x=1$ correspond à $2018$ . On obtient $y=\dfrac{132}{35}\times9+7{,}8\approx41{,}7$ . Conclusion : l'ajustement prévoit environ $41\,700$ abonnés en $2026$ . Limite : cette valeur est une extrapolation hors de la plage observée ( $x$ de $1$ à $6$ ) ; un marché qui sature ou un changement de technologie ferait sortir les données du modèle affine, et le très bon $r$ mesure l'ajustement sur le passé, pas la validité de la prévision.

Relier ce raisonnement au bac

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