DR-FDérivabilité

Le problème de dérivabilité : asymptote oblique, tangente, position relative, équation $f(x)=k$

Idée directrice

La première partie de l'exercice 4 (les 22 sessions) est une étude de fonction complète : limites et asymptotes (dont l'oblique, à trouver par $f(x)-(ax+b)\to0$ ), dérivée factorisée, tableau, tangente en un point remarquable et position relative de la courbe et de la tangente, puis une équation $f(x)=k$ résolue par le calcul ou par le TVI. Tout est enchaîné : le signe de $f'$ sert à la monotonie, la monotonie à l'unicité de la solution.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Calculer $\lim f(x)$ et interpréter graphiquement le résultat » ; « montrer que pour tout $x$ , $f'(x)=\dots$ » ; « dresser le tableau de variation de $f$ » ; « montrer qu'une équation de la tangente $T$ … est $y=\dots$ » ; « étudier la position relative de $\mathcal C$ et $T$ ».

Sujet principal

Exercice 4, partie A — étude de fonction (4 points), dans l’esprit de la session 2025

5 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\sqrt{x^2+1}-x$ et $\mathcal C$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ .

1. Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)$ (on pourra multiplier par la quantité conjuguée) et interpréter graphiquement.
2. Calculer $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)$ , puis $\lim\limits_{x\to-\infty}\big[f(x)+2x\big]$ . En déduire que la droite $\Delta\ :\ y=-2x$ est asymptote à $\mathcal C$ en $-\infty$ .
1. Montrer que $f$ est dérivable sur $\R$ et que $f'(x)=\dfrac{x-\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$ .
2. Justifier que $f'(x)<0$ pour tout réel $x$ , en déduire que $f$ est strictement décroissante et dresser son tableau de variation.
1. Montrer qu'une équation de la tangente $T$ à $\mathcal C$ au point $A$ d'abscisse $0$ est $y=-x+1$ .
2. Étudier la position relative de $\mathcal C$ et $T$ .
Montrer que pour tout $x>0$ , $0<f(x)<\dfrac1{2x}$ .
Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x)=\dfrac12$ , puis montrer que pour tout réel $k>0$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution et la déterminer.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : forme $\infty-\infty$ , quantité conjuguée. $f(x)=\dfrac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\xrightarrow[x\to+\infty]{}0$ . L'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal C$ en $+\infty$ .

1.b En $-\infty$ : $\sqrt{x^2+1}\to+\infty$ et $-x\to+\infty$ , donc $f(x)\to+\infty$ . Puis $f(x)+2x=\sqrt{x^2+1}+x=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}\xrightarrow[x\to-\infty]{}0$ (le dénominateur tend vers $+\infty$ ). Ainsi $\lim\limits_{x\to-\infty}\big[f(x)-(-2x)\big]=0$ : $\Delta\ :\ y=-2x$ est asymptote oblique à $\mathcal C$ en $-\infty$ .

2.a $x\mapsto x^2+1$ est dérivable et strictement positive, donc $\sqrt{x^2+1}$ est dérivable sur $\R$ , et $f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}-1=\dfrac{x-\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$ .

2.b Idée : comparer $x$ et $\sqrt{x^2+1}$ . $\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}=|x|\geq x$ , donc $x-\sqrt{x^2+1}<0$ et $f'(x)<0$ : $f$ est strictement décroissante sur $\R$ , de $+\infty$ (en $-\infty$ ) vers $0$ (en $+\infty$ ).

3.a $f(0)=1$ et $f'(0)=\dfrac{0-1}{1}=-1$ : $T\ :\ y=-x+1$ .

3.b $f(x)-(-x+1)=\sqrt{x^2+1}-1\geq0$ , nul seulement en $x=0$ : $\mathcal C$ est au-dessus de $T$ et la touche en $A$ .

4. Idée : reprendre l'écriture $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$ . Pour $x>0$ , $\sqrt{x^2+1}+x>0$ , donc $f(x)>0$ ; et $\sqrt{x^2+1}>x$ donne $\sqrt{x^2+1}+x>2x$ , d'où $f(x)<\dfrac1{2x}$ .

5. $f(x)=\dfrac12\iff\sqrt{x^2+1}=x+\dfrac12$ . Avec $x+\dfrac12>0$ : $x^2+1=x^2+x+\dfrac14\iff x=\dfrac34$ (et $\dfrac34+\dfrac12>0$ : solution valide). Plus généralement, pour $k>0$ : $\sqrt{x^2+1}=x+k$ impose $x+k>0$ et $x^2+1=x^2+2kx+k^2$ , soit $x=\dfrac{1-k^2}{2k}$ ; on vérifie $x+k=\dfrac{1+k^2}{2k}>0$ . L'unicité est aussi une conséquence de la stricte décroissance de $f$ de $+\infty$ à $0$ .

f(x)=k\iff x=\frac{1-k^2}{2k}\qquad(k>0)

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill DR-F.1 — continuité et dérivabilité en un point, tangente verticale

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par $f(x)=x+\sqrt{x}$ .

Montrer que $f$ est continue à droite en $0$ .
Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$ à l'aide du taux d'accroissement $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$ et interpréter graphiquement.
Montrer que $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=1$ puis $\lim\limits_{x\to+\infty}\big[f(x)-x\big]=+\infty$ : que peut-on dire de la courbe en $+\infty$ ?

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1. $\lim\limits_{x\to0^+}\big(x+\sqrt x\big)=0=f(0)$ : $f$ est continue à droite en $0$ .

2. Idée : le taux d'accroissement en $0$ . $\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\dfrac{x+\sqrt x}{x}=1+\dfrac{1}{\sqrt x}\xrightarrow[x\to0^+]{}+\infty$ : $f$ n'est pas dérivable en $0$ ; la courbe admet en $O$ une demi-tangente verticale.

3. $\dfrac{f(x)}{x}=1+\dfrac{1}{\sqrt x}\to1$ et $f(x)-x=\sqrt x\to+\infty$ : la courbe admet en $+\infty$ une branche parabolique de direction la droite $y=x$ (pas d'asymptote oblique).

Entraînement 02 / 02

Drill DR-F.2 — point d’inflexion et tangente en ce point

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}$ , de dérivée $f'(x)=\dfrac{4x}{(x^2+1)^2}$ (admise).

Montrer que $f''(x)=\dfrac{4(1-3x^2)}{(x^2+1)^3}$ et en déduire que la courbe $\mathcal C$ admet deux points d'inflexion $I$ et $J$ d'abscisses $\pm\dfrac{1}{\sqrt3}$ .
Montrer qu'une équation de la tangente $T$ à $\mathcal C$ en $I\Big(\dfrac1{\sqrt3}\Big)$ est $y=\dfrac{3\sqrt3}{4}x-\dfrac54$ .
Justifier, sans calcul supplémentaire, que $\mathcal C$ traverse $T$ en $I$ .

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1. Idée : dérivée d'un quotient, puis factoriser par $(x^2+1)$ . $f''(x)=\dfrac{4(x^2+1)^2-4x\cdot2(x^2+1)\cdot2x}{(x^2+1)^4}=\dfrac{4(x^2+1)-16x^2}{(x^2+1)^3}=\dfrac{4(1-3x^2)}{(x^2+1)^3}$ . $f''$ s'annule en changeant de signe en $x=\pm\dfrac1{\sqrt3}$ : deux points d'inflexion.

2. $f\Big(\dfrac1{\sqrt3}\Big)=\dfrac{1/3-1}{1/3+1}=-\dfrac12$ et $f'\Big(\dfrac1{\sqrt3}\Big)=\dfrac{4/\sqrt3}{(4/3)^2}=\dfrac{4}{\sqrt3}\cdot\dfrac{9}{16}=\dfrac{9}{4\sqrt3}=\dfrac{3\sqrt3}{4}$ . Tangente : $y=\dfrac{3\sqrt3}{4}\Big(x-\dfrac1{\sqrt3}\Big)-\dfrac12=\dfrac{3\sqrt3}{4}x-\dfrac34-\dfrac12=\dfrac{3\sqrt3}{4}x-\dfrac54$ .

3. En un point d'inflexion la concavité change : la courbe est d'un côté de sa tangente avant $I$ et de l'autre après, donc elle la traverse en $I$ .

Méthode / Automatismes

$\infty-\infty$ avec une racine : multiplier par la quantité conjuguée ; la même écriture sert ensuite pour l'encadrement.
Asymptote oblique $y=ax+b$ : prouver $\lim\big[f(x)-(ax+b)\big]=0$ ; le candidat $a$ vient de $f(x)/x$ ou de la forme dominante.
Signe de $f'$ : une inégalité de type $\sqrt{x^2+1}>|x|$ vaut mieux qu'un tableau approximatif.
Tangente en $a$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ ; position relative : signe de $f(x)-(\text{tangente})$ , souvent une expression qui se factorise ou se majore d'évidence.
Équation $\sqrt{u(x)}=v(x)$ : imposer $v(x)\geq0$ avant d'élever au carré, et vérifier la solution obtenue.

Pièges classiques

Écrire $\lim\limits_{x\to-\infty}\sqrt{x^2+1}=x$ ou oublier que $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ pour $x<0$ ; conclure « asymptote oblique » sans calculer la limite de la différence ; élever au carré sans la condition $x+k>0$ (on gagnerait une solution parasite si $k<0$ ) ; confondre « $\mathcal C$ au-dessus de $T$ » avec « $f$ croissante ».

Le problème de dérivabilité : asymptote oblique, tangente, position relative, équation f(x)=kf(x)=kf(x)=k

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Le problème de dérivabilité : asymptote oblique, tangente, position relative, équation $f(x)=k$