Dérivée de f = ln(e^x − 1) et comparaison à g

1. Idée : $f=\ln\circ u$ avec $u>0$ dérivable. $u(x)=\e^x-1>0$ pour $x>0$ et $u'(x)=\e^x$ ; donc $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{\e^x}{\e^x-1}=g(x)$.

2. Pour $x>0$, $\e^x>1$ donc $g(x)=\dfrac{\e^x}{\e^x-1}>0$ : $f'>0$ et $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ (de $-\infty$ en $0^+$, car $u\to0^+$, vers $+\infty$).

3. Idée : dériver $g$ pour connaître le signe de $h'=g-g'$. $g'(x)=\dfrac{\e^x(\e^x-1)-\e^x\cdot\e^x}{(\e^x-1)^2}=\dfrac{-\e^x}{(\e^x-1)^2}<0$. Donc $h'(x)=g(x)-g'(x)=\dfrac{\e^x}{\e^x-1}+\dfrac{\e^x}{(\e^x-1)^2}>0$ : $h$ est strictement croissante et continue sur $]0,+\infty[$. Limites : en $0^+$, $f\to-\infty$ et $g\to+\infty$ donc $h\to-\infty$ ; en $+\infty$, $f\to+\infty$ et $g\to1$ donc $h\to+\infty$. Par le théorème des valeurs intermédiaires (version stricte), $h$ s'annule une et une seule fois :