S-BIsométries et similitudes

Similitude directe définie par les images de deux points

Idée directrice

Dans ce scénario, la similitude directe est définie par des images de points ( $S(B)=M$ , $S(C)=N$ ), plutôt que par une écriture complexe donnée. On lit le rapport $k=\dfrac{MN}{BC}$ et l'angle $\theta=(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{MN})$ sur deux couples, on prouve qu'un point nommé de la figure est fixe (le centre), puis on reconnaît la composée homothétie $\circ$ déplacement (rotation ou translation).

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Soit $S$ la similitude directe telle que $S(B)=M$ et $S(C)=N$ » ; « déterminer le rapport et l'angle de $S$ » ; « montrer que $S(\Omega)=\Omega$ » ; « $f$ est la composée d'une homothétie et d'un déplacement ».

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Similitude directe définie par $S(P)=P'$ et $S(Q)=Q'$ : $k=\dfrac{P'Q'}{PQ}$ , $\theta=(\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{P'Q'})$ .
Existence-unicité : un unique couple $(k,\theta)$ (avec $P\neq Q$ ) fixe la similitude directe du plan.
Centre : point fixe $\Omega$ ; souvent un point déjà nommé (centre d'un carré, d'un triangle équilatéral).
Reconnaître $h\circ R$ : même centre, rapport de $h$ , angle de la rotation $R$ (déplacement).
Complexe en dernier : $z'-\omega=k e^{\i\theta}(z-\omega)$ seulement pour clore.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Partir d'une écriture $z'=az+b$ alors que l'énoncé donne des images de points. Inventer un angle non nul pour une homothétie (angle $0$ ou $\pi$ ). Confondre le rapport $\dfrac{S(P)S(Q)}{PQ}$ avec un rapport de longueurs pris dans le mauvais ordre. Oublier que la rotation est un déplacement, donc que $h\circ R$ est bien une similitude directe.

Sujet principal

Exercice — similitude directe par deux images

5 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans le plan orienté, $ABCD$ est un carré direct de centre $O$ et de côté $2$ . Soit $M$ le milieu de $[CD]$ et $N$ le milieu de $[DA]$ . On cherche la similitude directe $S$ qui envoie $B$ sur $M$ et $C$ sur $N$ . On rappelle qu'un déplacement est une translation ou une rotation, et qu'une similitude directe de rapport $1$ est un déplacement.

Montrer qu'il existe une unique similitude directe $S$ vérifiant $S(B)=M$ et $S(C)=N$ .
Déterminer le rapport $k$ de la similitude directe $S$ et une mesure de son angle $\theta$ .
Calculer $S(O)$ . En déduire le centre de la similitude directe $S$ .
Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{3\pi}{4}$ — c'est un déplacement, donc une isométrie — et soit $h$ l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ . Montrer que $S=h\circ R$ .
On munit le plan du repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$ dans lequel le point $B$ a pour affixe $1-\i$ . Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe $S$ .

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1. Idée : existence et unicité d'une similitude directe par deux couples de points distincts. On sait que $B\neq C$ et $M\neq N$ . Or il existe une unique similitude directe envoyant un point $P$ sur un point $P'$ et un point $Q\neq P$ sur un point $Q'$ , définie par le rapport $k=\dfrac{P'Q'}{PQ}$ et l'angle $\theta=(\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{P'Q'})$ . Par suite il existe une unique similitude directe $S$ telle que $S(B)=M$ et $S(C)=N$ .

2. Idée : lire $k$ et $\theta$ sur les vecteurs $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{MN})$ . On a $k=\dfrac{MN}{BC}$ . Dans le carré de côté $2$ , $BC=2$ . Les points $M$ et $N$ sont deux milieux de côtés consécutifs issus de $D$ , d'où $MN=\sqrt{2}$ (triangle $DMN$ rectangle isocèle de côtés $1$ ). Ainsi $k=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ . L'angle de $S$ vérifie $\theta\equiv(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{MN})\pmod{2\pi}$ . En plaçant $O$ à l'origine, $B$ d'affixe $1-\i$ , $C$ d'affixe $1+\i$ , $M$ d'affixe $\i$ et $N$ d'affixe $-1$ , on obtient $\overrightarrow{BC}$ d'affixe $2\i$ et $\overrightarrow{MN}$ d'affixe $-1-\i$ , d'où $\arg\!\left(\dfrac{-1-\i}{2\i}\right)=\dfrac{3\pi}{4}$ . Donc $\boxed{k=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$ et $\boxed{\theta=\dfrac{3\pi}{4}}$ .

3. Idée : un point $\Omega$ est centre dès que $\dfrac{\Omega M}{\Omega B}=k$ et $(\overrightarrow{\Omega B},\overrightarrow{\Omega M})\equiv\theta\pmod{2\pi}$ (et de même pour le couple $(C,N)$ ). Avec $O$ centre du carré de côté $2$ , on a $OB=OC=\sqrt{2}$ et $OM=ON=1$ , d'où $\dfrac{OM}{OB}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=k$ . De plus $(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OM})\equiv\dfrac{3\pi}{4}\pmod{2\pi}$ (vecteurs d'affixes $1-\i$ et $\i$ dans le repère d'origine $O$ ), et de même pour $(C,N)$ . Ainsi $O$ est le centre de la similitude directe $S$ , ce qui prouve aussi $S(O)=O$ . $\boxed{\text{centre }=O}$ .

4. Idée : homothétie $\circ$ déplacement $=$ similitude directe. La rotation $R$ est un déplacement (isométrie directe) de centre $O$ et d'angle $\dfrac{3\pi}{4}$ . L'homothétie $h$ a le même centre $O$ et un rapport positif $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ . La composée $h\circ R$ est donc une similitude directe de centre $O$ , de rapport $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et d'angle $\dfrac{3\pi}{4}$ . Or $S$ a les mêmes éléments caractéristiques. Deux similitudes directes qui coïncident en centre, rapport et angle sont égales, ce qui prouve que $\boxed{S=h\circ R}$ .

5. Idée : l'écriture complexe clôt le raisonnement, elle ne le commence pas. Dans le repère choisi, $S$ de centre $O$ (affixe $0$ ), de rapport $k$ et d'angle $\theta$ s'écrit $z'=k e^{\i\theta}z$ . Or $k e^{\i\theta}=\dfrac{-1+\i}{2}$ . Ainsi $\boxed{z'=\dfrac{-1+\i}{2}\,z}$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

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Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill S-B.1 — rapport et angle lus sur deux couples

Entraînement 01 / 05

Drill S-B.1 — rapport et angle lus sur deux couples

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans le plan orienté, $ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $A$ avec $AB=AC=2$ . Soit $I$ le milieu de $[BC]$ . Soit $f$ la similitude directe telle que $f(B)=A$ et $f(I)=C$ .

Déterminer le rapport de la similitude directe $f$ .
Déterminer une mesure de l'angle de la similitude directe $f$ , c'est-à-dire $(\overrightarrow{BI},\overrightarrow{AC})$ .
On rappelle qu'une similitude directe de rapport $1$ est une isométrie, plus précisément une rotation ou une translation. Le rapport trouvé est-il égal à $1$ ?

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1. Idée : $k=\dfrac{f(B)f(I)}{BI}=\dfrac{AC}{BI}$ . Comme $ABC$ est rectangle isocèle en $A$ avec $AB=AC=2$ , on a $BC=2\sqrt{2}$ et $BI=\sqrt{2}$ . Or $AC=2$ , d'où $k=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ . $\boxed{k=\sqrt{2}}$ .

2. Idée : l'angle est celui des vecteurs images. En plaçant $A$ en $0$ , $B$ en $2$ et $C$ en $2\i$ , on a $I=1+\i$ et $\overrightarrow{BI}$ d'affixe $-1+\i$ , $\overrightarrow{AC}$ d'affixe $2\i$ . Alors $\arg\!\left(\dfrac{2\i}{-1+\i}\right)=-\dfrac{\pi}{4}$ . Donc $\boxed{\theta=-\dfrac{\pi}{4}}$ .

3. Le rapport $k=\sqrt{2}$ est différent de $1$ . Conclusion : $f$ n'est pas une isométrie, donc ni une rotation, ni une translation. Le contrôle est immédiat sur la figure : $I$ est le milieu de $[BC]$ , donc $BI=\sqrt 2$ tandis que son image $AC$ mesure $2$ — les longueurs ne sont pas conservées. $\boxed{k=\sqrt2\neq1}$

2 Drill S-B.2 — le centre est un point nommé de la figure

Entraînement 02 / 05

Drill S-B.2 — le centre est un point nommé de la figure

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans le plan orienté, $ABC$ est un triangle équilatéral direct. Soit $G$ le centre de ce triangle (point de concours des médianes). Soit $S$ la similitude directe telle que $S(A)=B$ et $S(B)=C$ .

Déterminer le rapport et une mesure de l'angle de la similitude directe $S$ .
Montrer que la rotation de centre $G$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ envoie $A$ sur $B$ et $B$ sur $C$ .
En déduire que $G$ est le centre de la similitude directe $S$ . On rappelle que cette rotation est une isométrie et un déplacement.

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1. Idée : dans un équilatéral, les côtés sont égaux. On a $k=\dfrac{BC}{AB}=1$ et $\theta\equiv(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})\equiv\dfrac{2\pi}{3}\pmod{2\pi}$ car $ABC$ est équilatéral direct. $\boxed{k=1}$ , $\boxed{\theta=\dfrac{2\pi}{3}}$ .

2. Idée : le centre du triangle équilatéral est le centre de la rotation d'ordre $3$ . Par définition de $G$ , on a $GA=GB=GC$ et $(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB})\equiv(\overrightarrow{GB},\overrightarrow{GC})\equiv\dfrac{2\pi}{3}\pmod{2\pi}$ . La rotation $R$ de centre $G$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ vérifie donc $R(A)=B$ et $R(B)=C$ .

3. $R$ est une similitude directe de rapport $1$ et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ qui envoie $A$ sur $B$ et $B$ sur $C$ ; par unicité de la similitude directe définie par deux couples de points, $S=R$ . Or le centre de $R$ est $G$ , ce qui prouve que le centre de $S$ est $G$ . $\boxed{\text{centre}=G}$

3 Drill S-B.3 — cas d'homothétie : angle

0

Entraînement 03 / 05

Drill S-B.3 — cas d'homothétie : angle $0$

3 questionsCorrigé masqué

Dans le plan orienté, $A$ , $B$ et $C$ sont trois points alignés dans cet ordre tels que $AB=2$ et $BC=4$ . Soit $h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $3$ , c'est-à-dire l'application qui à tout point $M$ associe le point $M'$ défini par $\overrightarrow{AM'}=3\overrightarrow{AM}$ . On rappelle qu'une similitude directe de rapport $1$ est une isométrie — une rotation ou une translation — et que $h$ , de rapport $3$ , n'en est pas une.

Vérifier que $h(B)=C$ . En déduire le rapport de l'homothétie $h$ .
Montrer que $h$ est une similitude directe, et déterminer son angle.
Un élève écrit que l'angle de $h$ vaut $\dfrac{\pi}{2}$ . Réfuter cette réponse en utilisant l'alignement de $A$ , $B$ et $C$ .

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1. Idée : lire le rapport sur un couple aligné. Par définition, $\overrightarrow{Ah(B)}=3\overrightarrow{AB}$ . Comme $B$ , $C$ sont sur la demi-droite $[AB)$ et $AC=AB+BC=6=3\cdot AB$ , on a $h(B)=C$ . Le rapport de l'homothétie est $k=3$ . $\boxed{k=3}$ .

2. Idée : homothétie de rapport positif $=$ similitude directe d'angle $0$ . Une homothétie de rapport $k>0$ multiplie les distances par $k$ et conserve l'orientation des angles : c'est une similitude directe de rapport $k$ et d'angle $\theta=0$ . $\boxed{\theta=0}$ .

3. Idée : un angle non nul ferait sortir $C$ de la droite. Si l'angle de $h$ valait $\dfrac{\pi}{2}$ , le vecteur $\overrightarrow{AC}$ s'obtiendrait en tournant $\overrightarrow{AB}$ d'un quart de tour et $C$ ne serait pas sur la droite $(AB)$ . Or $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ et de même sens ce qui prouve que l'angle est nul et que la réponse de l'élève est fausse. $\boxed{\theta=0\text{, et non }\pi/2}$

4 Drill S-B.4 — triangle rectangle d'angle

\frac{\pi}{3}

: rapport par la trigonométrie, centre au pied de la hauteur

Entraînement 04 / 05

Drill S-B.4 — triangle rectangle d'angle $\frac{\pi}{3}$ : rapport par la trigonométrie, centre au pied de la hauteur

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans le plan orienté, $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv\frac{\pi}{2}\,[2\pi]$ et $\widehat{ABC}=\frac{\pi}{3}$ . On note $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ . Soit $S$ la similitude directe telle que $S(B)=A$ et $S(A)=C$ .

Montrer que le rapport de $S$ est $\sqrt3$ et qu'une mesure de son angle est $-\frac{\pi}{2}$ .
Montrer que $\left(\overrightarrow{HB},\overrightarrow{HA}\right)\equiv-\frac{\pi}{2}\,[2\pi]$ et que $\dfrac{HA}{HB}=\sqrt3$ (on utilisera le triangle rectangle $HAB$ ).
En déduire que $H$ est le centre de $S$ , puis déterminer $S(H)$ et l'image par $S$ de la droite $(BC)$ .
Écrire $S$ comme composée d'une homothétie et d'une rotation de même centre $H$ , dont on précisera les éléments.

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1. Rapport : $\frac{S(B)S(A)}{BA}=\frac{AC}{AB}=\tan\widehat{ABC}=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3$ . Angle : $\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC}\right)=\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AB}\right)+\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv\pi+\frac{\pi}{2}\equiv-\frac{\pi}{2}\,[2\pi]$ .

2. Dans le triangle $HAB$ rectangle en $H$ , $\widehat{HBA}=\widehat{CBA}=\frac{\pi}{3}$ , donc $HA=HB\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt3\,HB$ . Idée : l'orientation se lit sur un triangle de sens connu. Les angles en $B$ et en $C$ étant aigus, $H$ est sur le segment $[BC]$ , donc du même côté de $(AB)$ que $C$ : le triangle $ABH$ a le même sens que $ABC$ , direct. Comme $(HA)\perp(HB)$ , on a $\left(\overrightarrow{HA},\overrightarrow{HB}\right)\equiv\frac{\pi}{2}$ , soit $\left(\overrightarrow{HB},\overrightarrow{HA}\right)\equiv-\frac{\pi}{2}\,[2\pi]$ .

3. Idée : le centre $\Omega$ d'une similitude directe de rapport $k$ et d'angle $\theta$ vérifie, pour un point $M$ d'image $M'$ , $\Omega M'=k\,\Omega M$ et $\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right)\equiv\theta$ . Avec $M=B$ , $M'=A$ : $H$ vérifie $HA=\sqrt3\,HB$ et $\left(\overrightarrow{HB},\overrightarrow{HA}\right)\equiv-\frac{\pi}{2}$ ; ces conditions caractérisent le centre, donc $H$ est le centre de $S$ et $S(H)=H$ . L'image de $(BC)$ est la droite passant par $S(H)=H$ et perpendiculaire à $(BC)$ (angle $-\frac{\pi}{2}$ ) : c'est la hauteur $(AH)$ .

4. $S$ est de centre $H$ , de rapport $\sqrt3$ et d'angle $-\frac{\pi}{2}$ : $S=h\circ r=r\circ h$ , où $h$ est l'homothétie de centre $H$ et de rapport $\sqrt3$ et $r$ la rotation de centre $H$ et d'angle $-\frac{\pi}{2}$ .

5 Drill S-B.5 — itérées

S\circ S\circ S

: angle

3\theta\equiv\frac{\pi}{2}

et perpendicularité

Entraînement 05 / 05

Drill S-B.5 — itérées $S\circ S\circ S$ : angle $3\theta\equiv\frac{\pi}{2}$ et perpendicularité

3 questionsCorrigé masqué

Soit $O$ un point, $h$ l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\frac{\sqrt2}{2}$ , $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{6}$ , et $S=h\circ r$ . Soit $B$ un point distinct de $O$ ; on pose $B_1=S(B)$ , $B_2=S(B_1)$ et $B_3=S(B_2)$ .

Justifier que $S$ est une similitude directe de centre $O$ , de rapport $\frac{\sqrt2}{2}$ et d'angle $\frac{\pi}{6}$ . Montrer que $S\circ S\circ S$ est une similitude directe dont on précisera le centre, le rapport et l'angle.
En déduire que le triangle $OBB_3$ est rectangle en $O$ et que $OB_3=\dfrac{\sqrt2}{4}\,OB$ .
Déterminer le plus petit entier $n\ge1$ tel que le point $S^n(B)$ appartienne à $[OB)$ , et exprimer alors $OS^n(B)$ en fonction de $OB$ .

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1. $h$ et $r$ ont le même centre $O$ : $S=h\circ r$ est la similitude directe de centre $O$ , de rapport $\frac{\sqrt2}{2}$ et d'angle $\frac{\pi}{6}$ . La composée de similitudes directes de même centre $O$ est une similitude directe de centre $O$ dont le rapport est le produit et l'angle la somme : rapport $\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^3=\frac{\sqrt2}{4}$ , angle $3\times\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$ .

2. $B_3=S\circ S\circ S(B)$ : $\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OB_3}\right)\equiv\frac{\pi}{2}$ , donc le triangle $OBB_3$ est rectangle en $O$ , et $OB_3=\frac{\sqrt2}{4}\,OB$ .

3. $S^n$ a pour angle $\frac{n\pi}{6}$ ; $S^n(B)\in[OB)$ équivaut à $\frac{n\pi}{6}\equiv0\,[2\pi]$ , soit $n$ multiple de $12$ . Le plus petit est $\boxed{n=12}$ , et $OS^{12}(B)=\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{12}OB=\frac{1}{64}\,OB$ .

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Autres sujets de référence

Bac 2023 — session principale (couverture partielle)· Exercice 2 (isométries et similitudes)lien confirméUnique déplacement par deux images → rotation → losange ; puis similitude directe et homothétie.

Bac 2024 — session principale (partiel)· Exercice 2 (isométries et similitudes)lien confirméCommutation h∘R = R∘h, similitude directe puis indirecte définies par images de points, et la configuration (triangle équilatéral, perpendicularité) déduite des composées.

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Exercice — similitude directe par deux images

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Drill S-B.1 — rapport et angle lus sur deux couples

Drill S-B.2 — le centre est un point nommé de la figure

Drill S-B.3 — cas d'homothétie : angle $0$

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