FR-HFonctions réciproques

Le problème de fonction du Sport : courbe fournie en annexe, paramètres de $e^{ax+b}$ , bijection, courbe de $f^{-1}$ par symétrie, $f^{-1}$ explicite, aire

Idée directrice

En section Sport, l'exercice de fonction commence souvent par une courbe donnée en annexe, sans formule. On lit d'abord ce que le dessin dit : limites (asymptote, branche parabolique), valeurs $f(a)$ , nombre dérivé $f'(a)$ égal au coefficient directeur de la tangente tracée, tableau de variation. Ensuite on identifie les paramètres d'une forme imposée ( $e^{ax+b}$ , $a\ln(x+b)$ ) : deux lectures donnent deux équations. La formule trouvée sert à la suite du problème : bijection, courbe $(C')$ de la fonction réciproque construite par symétrie par rapport à la droite $y=x$ , expression de $f^{-1}(x)$ , puis une aire calculée en échangeant les rôles de $x$ et $y$ .

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Dans l'annexe ci-jointe, on a représenté … la courbe $(C)$ d'une fonction $f$ » ; « En utilisant le graphique et les données » ; « justifier que $f'(1)=\dots$ » ; « On suppose que $f(x)=e^{ax+b}$ … justifier que $a+b=0$ » ; « Construire la courbe de $f^{-1}$ dans le repère de la feuille annexe » ; « Montrer que $f^{-1}(x)=\dots$ »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Lecture de la courbe : asymptote $y=0$ en $-\infty$ $\Rightarrow$ $\lim f=0$ ; branche parabolique de direction $(O,\vec j)$ $\Rightarrow$ $\lim f=+\infty$ et $\lim\dfrac{f(x)}{x}=+\infty$ .
$f'(a)$ = coefficient directeur de la tangente, calculé avec deux points du quadrillage : $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ .
Forme imposée à deux paramètres : écrire les deux lectures ( $f(a)$ et $f'(a)$ ) comme deux équations, et utiliser la première pour simplifier la seconde.
Courbe de $f^{-1}$ : symétrique de $(C)$ par rapport à $y=x$ ; placer les symétriques des points connus, des tangentes et des asymptotes.
Aire sous $(C')$ : la ramener par symétrie à une aire entre $(C)$ et une droite horizontale, qui ne demande qu'une primitive de $f$ .

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Confondre $f'(1)$ avec l'ordonnée $f(1)$ , ou lire le coefficient directeur sur un point de $(T)$ qui n'est pas un nœud du quadrillage ; écrire $f'(x)=e^{ax+b}$ en oubliant le facteur $a$ ; conclure « bijection de $\R$ sur $\R$ » alors que $f$ ne prend que des valeurs strictement positives ; tracer $(C')$ comme symétrique de $(C)$ par rapport à l'axe des abscisses ; calculer l'aire de $D$ par $\int_0^1f$ sans retrancher la partie située sous $(C')$ .

Sujet principal

Exercice 2 — problème de fonction (7 points), dans l'esprit des sessions Sport 2016–2024

7 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans l'annexe ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ la courbe $(C)$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$ , ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ .

L'axe des abscisses est une asymptote à $(C)$ au voisinage de $-\infty$ .
$(C)$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction celle de l'axe des ordonnées.
La droite $(T)$ passant par les points $A(1\,;1)$ et $B(4\,;2)$ est la tangente à $(C)$ au point $A$ .

En utilisant le graphique et les données :
1. Déterminer $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ , $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ .
2. Déterminer $f(1)$ et justifier que $f'(1)=\dfrac13$ .
3. Dresser le tableau de variation de $f$ .
Dans la suite, on suppose que $f(x)=e^{ax+b}$ pour tout réel $x$ , où $a$ et $b$ sont deux réels.
1. Exprimer $f'(x)$ à l'aide de $a$ et $b$ .
2. En utilisant les résultats de la question 1.b, justifier que $a+b=0$ et que $a=\dfrac13$ .
3. Conclure que $f(x)=e^{\frac{x-1}{3}}$ .
1. Justifier que $f$ réalise une bijection de $\R$ sur $]0,+\infty[$ . On note $f^{-1}$ sa fonction réciproque et $(C')$ la courbe de $f^{-1}$ .
2. Calculer $f(4)$ , puis déterminer $f^{-1}(1)$ et $f^{-1}(e)$ .
3. Construire $(C')$ et sa tangente $(T')$ au point $A$ dans le repère de l'annexe.
4. Montrer que, pour tout $x\in\,]0,+\infty[$ , $f^{-1}(x)=1+3\ln x$ .
On désigne par $D$ le domaine limité par $(C)$ , $(C')$ , l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées, et par $\mathcal A$ son aire en unité d'aire.
1. Hachurer $D$ .
2. Justifier que l'aire de la partie limitée par $(C')$ , l'axe des abscisses et la droite d'équation $x=1$ est égale à $\displaystyle\int_0^1\left(1-f(x)\right)dx$ .
3. En déduire que $\mathcal A=\displaystyle\int_0^1\left(2f(x)-1\right)dx$ , puis que $\mathcal A=5-6\,e^{-\frac13}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : chaque donnée écrite se traduit par une limite. L'asymptote $y=0$ en $-\infty$ donne $\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0}$ . La branche parabolique de direction $(O,\vec j)$ en $+\infty$ signifie $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}$ et $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty}$ .

1.b $A(1\,;1)\in(C)$ , donc $f(1)=1$ . Idée : $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente en $A$ , calculé avec deux points de $(T)$ lisibles sur le quadrillage.

f'(1)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{2-1}{4-1}=\dfrac13

1.c Sur le graphique, $f$ est strictement croissante sur $\R$ :

\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & & +\infty \\ \hline f(x) & 0 & \nearrow & +\infty \end{array}

2.a $\left(e^{u}\right)'=u'e^{u}$ avec $u(x)=ax+b$ : $\boxed{f'(x)=a\,e^{ax+b}}$ .

2.b Idée : deux lectures, deux équations. $f(1)=1$ s'écrit $e^{a+b}=1=e^{0}$ , donc $a+b=0$ . Alors $f'(1)=a\,e^{a+b}=a\times1=a$ , et $f'(1)=\dfrac13$ donne $a=\dfrac13$ .

2.c $b=-a=-\dfrac13$ , donc $f(x)=e^{\frac13x-\frac13}=\boxed{e^{\frac{x-1}{3}}}$ .

3.a $f$ est continue et strictement croissante sur $\R$ (car $f'(x)=\dfrac13e^{\frac{x-1}{3}}>0$ ), avec $\lim\limits_{-\infty}f=0$ et $\lim\limits_{+\infty}f=+\infty$ : $f$ réalise une bijection de $\R$ sur $f(\R)=\,]0,+\infty[$ .

3.b $f(4)=e^{\frac33}=e$ . Comme $f(1)=1$ et $f(4)=e$ : $\boxed{f^{-1}(1)=1}$ et $\boxed{f^{-1}(e)=4}$ .

3.c Idée : $(C')$ est la symétrique de $(C)$ par rapport à $\Delta$ ; on place les symétriques des points connus. $A(1\,;1)$ est sur $\Delta$ , donc reste sur $(C')$ ; le point $(4\,;e)$ de $(C)$ donne le point $(e\,;4)$ de $(C')$ ; l'asymptote $y=0$ de $(C)$ devient l'asymptote $x=0$ de $(C')$ , et $(C')$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $f(0)=e^{-\frac13}\approx0{,}72$ . La tangente $(T')$ est la symétrique de $(T)$ : elle passe par $A(1\,;1)$ et par $B'(2\,;4)$ , symétrique de $B$ , de coefficient directeur $3$ .

3.d Idée : pour $x>0$ , résoudre $f(y)=x$ d'inconnue $y\in\R$ .

e^{\frac{y-1}{3}}=x\iff\dfrac{y-1}{3}=\ln x

\iff y=1+3\ln x

Donc $\boxed{f^{-1}(x)=1+3\ln x}$ pour tout $x>0$ . Contrôle : $f^{-1}(e)=1+3=4$ .

4.a $D$ est limité à gauche par l'axe des ordonnées (de $0$ à $f(0)$ ), en haut par $(C)$ de $x=0$ à $x=1$ , puis par $(C')$ de $A(1\,;1)$ jusqu'au point $\left(e^{-\frac13}\,;0\right)$ , et en bas par l'axe des abscisses. Sur $[0,1]$ , $(C)$ est au-dessus de $\Delta$ , elle-même au-dessus de $(C')$ .

4.b Idée : la symétrie d'axe $\Delta$ échange $x$ et $y$ et conserve les aires. La partie limitée par $(C')$ , l'axe des abscisses et la droite $x=1$ a pour symétrique la partie limitée par $(C)$ , l'axe des ordonnées et la droite $y=1$ . Pour $x\in[0,1]$ , cette dernière est comprise entre $(C)$ (en bas, car $f(x)\le f(1)=1$ ) et la droite $y=1$ (en haut) : son aire est $\displaystyle\int_0^1\left(1-f(x)\right)dx$ .

4.c $D$ est la partie située sous $(C)$ entre $x=0$ et $x=1$ , privée de la partie située sous $(C')$ :

\mathcal A=\int_0^1 f(x)\,dx-\int_0^1\left(1-f(x)\right)dx

=\int_0^1\left(2f(x)-1\right)dx

Une primitive de $x\mapsto e^{\frac{x-1}{3}}$ est $x\mapsto3\,e^{\frac{x-1}{3}}$ , donc $\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx=3-3e^{-\frac13}$ et

\mathcal A=2\left(3-3e^{-\frac13}\right)-1

=\boxed{5-6\,e^{-\frac13}}\ \text{u.a.}\approx0{,}70

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : $f(x)=e^{ax+b}$ tangente en $A(1\,;1)$ à la droite $y=x$ , puis aire limitée par $(C)$ , $(C')$ , les axes et la droite $x=1$ (principale 2024) ; tangente $(AB)$ avec $B$ hors de la courbe, et aire entre $(C)$ et $y=x$ exprimée à l'aide de l'abscisse $\alpha$ du second point commun (principale 2020) ; $f(x)=e^{px}$ identifiée par la tangente en $A(0\,;1)$ , puis $f^{-1}(e)$ , $f^{-1}(1)$ et une aire entre $(C)$ et $y=x$ (contrôle 2019) ; $f(x)=\ln(ax+b)$ avec la tangente $y=x$ en $O$ (contrôle 2020) et $f(x)=2\ln(ax+b)$ avec la tangente $y=2x+2$ en $A(-1\,;0)$ (contrôle 2024) ; aire sous $(C')$ déduite par symétrie de l'aire entre $(C)$ et sa tangente (contrôle 2016) ; fonction donnée d'emblée par sa formule $e^{x-\sqrt2}$ , puis $f^{-1}(x)=\sqrt2+\ln x$ (contrôle 2022). En Économie-Gestion, la courbe fournie sert plutôt à la bijection d'une restriction, suivie de la courbe de sa réciproque (contrôle 2016) ou d'une comparaison de valeurs de la réciproque (contrôle 2023), et l'on demande $(f^{-1})'$ en un point (contrôle 2019).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill FR-H.1 — forme

a\ln(x+b)

: asymptote et tangente lues, puis

f^{-1}

et sa courbe

Entraînement 01 / 05

Drill FR-H.1 — forme $a\ln(x+b)$ : asymptote et tangente lues, puis $f^{-1}$ et sa courbe

6 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans le repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ ci-dessous, on a tracé la courbe $(C)$ d'une fonction $f$ définie sur $]1,+\infty[$ .

La droite d'équation $x=1$ est une asymptote à $(C)$ .
$(C)$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction celle de l'axe des abscisses.
La droite $(T)$ passant par $A(2\,;0)$ et $B(3\,;3)$ est la tangente à $(C)$ au point $A$ .

En utilisant le graphique et les données :
1. Déterminer $\lim\limits_{x\to1^+}f(x)$ , $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ .
2. Déterminer $f(2)$ et justifier que $f'(2)=3$ .
On suppose que $f(x)=a\ln(x+b)$ pour tout $x>1$ , où $a$ et $b$ sont deux réels, $a\ne0$ .
1. Exprimer $f'(x)$ à l'aide de $a$ et $b$ .
2. En utilisant 1.b, montrer que $b=-1$ et $a=3$ .
1. Montrer que $f$ réalise une bijection de $]1,+\infty[$ sur $\R$ . On note $f^{-1}$ sa fonction réciproque.
2. Montrer que, pour tout réel $x$ , $f^{-1}(x)=1+e^{\frac x3}$ .
3. Résoudre l'équation $f(x)=3$ .
4. Tracer dans le même repère la courbe $(C')$ de $f^{-1}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a L'asymptote $x=1$ et la courbe qui descend le long de cette droite donnent $\boxed{\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=-\infty}$ . La branche parabolique de direction $(O,\vec i)$ signifie $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}$ et $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0}$ .

1.b $A(2\,;0)\in(C)$ donc $f(2)=0$ ; $f'(2)$ est le coefficient directeur de $(T)$ : $f'(2)=\dfrac{3-0}{3-2}=3$ .

2.a $\boxed{f'(x)=\dfrac{a}{x+b}}$ .

2.b Idée : la lecture $f(2)=0$ porte sur le logarithme, la lecture $f'(2)=3$ donne ensuite $a$ . $f(2)=a\ln(2+b)=0$ avec $a\ne0$ , donc $\ln(2+b)=0$ , soit $2+b=1$ et $b=-1$ . Puis $f'(2)=\dfrac{a}{2-1}=a=3$ . Ainsi $\boxed{f(x)=3\ln(x-1)}$ (et l'asymptote $x=1$ est bien celle de $\ln(x-1)$ ).

3.a $f$ est continue et strictement croissante sur $]1,+\infty[$ ( $f'(x)=\dfrac{3}{x-1}>0$ ), de $-\infty$ à $+\infty$ : c'est une bijection de $]1,+\infty[$ sur $\R$ .

3.b Idée : pour $x\in\R$ , résoudre $f(y)=x$ d'inconnue $y>1$ .

3\ln(y-1)=x\iff y-1=e^{\frac x3}

donc $\boxed{f^{-1}(x)=1+e^{\frac x3}}$ .

3.c $f(x)=3\iff x=f^{-1}(3)=1+e$ : $\boxed{S=\{1+e\}}$ .

3.d Idée : symétrie par rapport à la droite $y=x$ ; chaque élément de la lecture graphique a son image. L'asymptote $x=1$ devient l'asymptote horizontale $y=1$ de $(C')$ en $-\infty$ ; $A(2\,;0)$ donne $A'(0\,;2)$ et $B(3\,;3)$ reste sur $\Delta$ : la tangente à $(C')$ en $A'$ passe par $A'(0\,;2)$ et $B(3\,;3)$ , de coefficient directeur $\dfrac13$ ; le point $(1+e\,;3)$ de $(C)$ donne le point $(3\,;1+e)$ de $(C')$ .

2 Drill FR-H.2 — tangente

(AB)

lue sur le quadrillage, courbe décroissante, aire en fonction de

\alpha

Entraînement 02 / 05

Drill FR-H.2 — tangente $(AB)$ lue sur le quadrillage, courbe décroissante, aire en fonction de $\alpha$

8 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans le repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ ci-dessous, on a représenté la courbe $(C)$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$ , et la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ .

L'axe des abscisses est une asymptote à $(C)$ au voisinage de $+\infty$ .
$(C)$ admet au voisinage de $-\infty$ une branche parabolique de direction celle de l'axe des ordonnées.
La droite $(AB)$ , où $A(0\,;1)$ et $B(2\,;0)$ , est la tangente à $(C)$ au point $A$ .
$\Delta$ coupe $(C)$ en un seul point, d'abscisse $\alpha$ .

En utilisant le graphique :
1. Déterminer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ , $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ .
2. Déterminer $f(0)$ et justifier que $f'(0)=-\dfrac12$ .
3. Dresser le tableau de variation de $f$ .
On admet que $f(x)=e^{ax+b}$ pour tout réel $x$ , où $a$ et $b$ sont deux réels.
1. Exprimer $f'(x)$ à l'aide de $a$ et $b$ .
2. Montrer que $b=0$ et $a=-\dfrac12$ .
1. Montrer que $f$ réalise une bijection de $\R$ sur $]0,+\infty[$ . On note $f^{-1}$ sa fonction réciproque ; montrer que $f^{-1}(x)=-2\ln x$ pour tout $x>0$ .
2. Vérifier que $0{,}70<\alpha<0{,}71$ .
3. Justifier que $e^{-\frac{\alpha}{2}}=\alpha$ .
Soit $\mathcal A$ l'aire du domaine limité par $(C)$ , la droite $\Delta$ et l'axe des ordonnées.
1. Montrer que $\mathcal A=2-2\alpha-\dfrac{\alpha^2}{2}$ .
2. En déduire un encadrement de $\mathcal A$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}$ (asymptote $y=0$ ), $\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}$ et $\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=-\infty}$ (branche parabolique de direction $(O,\vec j)$ : $f(x)>0$ et $x<0$ , d'où le signe).

1.b $f(0)=1$ car $A\in(C)$ . Idée : $B$ n'est pas sur $(C)$ mais il est sur la tangente, et c'est un nœud du quadrillage. $f'(0)=\dfrac{0-1}{2-0}=-\dfrac12$ .

1.c $f$ est strictement décroissante sur $\R$ :

\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & & +\infty \\ \hline f(x) & +\infty & \searrow & 0 \end{array}

2.a $f'(x)=a\,e^{ax+b}$ .

2.b $f(0)=e^{b}=1$ , donc $b=0$ ; puis $f'(0)=a\,e^{0}=a=-\dfrac12$ . Ainsi $\boxed{f(x)=e^{-\frac x2}}$ .

3.a $f$ est continue et strictement décroissante sur $\R$ , de $+\infty$ à $0$ : bijection de $\R$ sur $]0,+\infty[$ . Pour $x>0$ : $e^{-\frac y2}=x\iff-\dfrac y2=\ln x\iff y=-2\ln x$ , donc $\boxed{f^{-1}(x)=-2\ln x}$ .

3.b Idée : théorème des valeurs intermédiaires pour $g(x)=f(x)-x$ , strictement décroissante comme somme de deux fonctions strictement décroissantes. $g(0{,}70)=e^{-0{,}35}-0{,}70\approx0{,}0047>0$ et $g(0{,}71)=e^{-0{,}355}-0{,}71\approx-0{,}0088<0$ : l'unique zéro $\alpha$ de $g$ vérifie $\boxed{0{,}70<\alpha<0{,}71}$ .

3.c Le point de $(C)$ d'abscisse $\alpha$ est sur $\Delta$ , donc $f(\alpha)=\alpha$ , c'est-à-dire $e^{-\frac{\alpha}{2}}=\alpha$ .

4.a Idée : sur $[0,\alpha]$ , $(C)$ est au-dessus de $\Delta$ ( $g\ge0$ ) ; on remplace à la fin $e^{-\frac{\alpha}{2}}$ par $\alpha$ , qu'on ne sait pas calculer autrement.

\mathcal A=\int_0^{\alpha}\left(e^{-\frac x2}-x\right)dx

=\left[-2e^{-\frac x2}-\dfrac{x^2}{2}\right]_0^{\alpha}

=-2e^{-\frac{\alpha}{2}}-\dfrac{\alpha^2}{2}+2

et avec $e^{-\frac{\alpha}{2}}=\alpha$ : $\boxed{\mathcal A=2-2\alpha-\dfrac{\alpha^2}{2}}$ u.a.

4.b La fonction $t\mapsto2-2t-\dfrac{t^2}{2}$ est décroissante sur $[0,1]$ ; avec $0{,}70<\alpha<0{,}71$ : $2-1{,}42-0{,}25205<\mathcal A<2-1{,}40-0{,}245$ , soit $\boxed{0{,}327<\mathcal A<0{,}355}$ .

3 Drill FR-H.3 — une fonction égale à sa réciproque :

f^{-1}=f

, courbe symétrique par rapport à

y=x

Entraînement 03 / 05

Drill FR-H.3 — une fonction égale à sa réciproque : $f^{-1}=f$ , courbe symétrique par rapport à $y=x$

3 questionsCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty,2[$ par $f(x)=\dfrac{2x}{x-2}$ , et $(C)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ .

1. Calculer $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to2^-}f(x)$ . Donner les équations des asymptotes à $(C)$ .
2. Montrer que, pour tout $x<2$ , $f'(x)=\dfrac{-4}{(x-2)^2}$ , puis dresser le tableau de variation de $f$ .
1. Montrer que $f$ réalise une bijection de $]-\infty,2[$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera.
2. On note $f^{-1}$ la fonction réciproque de $f$ . Montrer que, pour tout $x\in J$ , $f^{-1}(x)=f(x)$ .
3. Que peut-on en déduire pour la courbe $(C)$ ? Résoudre dans $]-\infty,2[$ l'équation $f(x)=x$ et donner une équation de la tangente à $(C)$ au point obtenu.
1. Vérifier que la fonction $F:x\mapsto2x+4\ln(2-x)$ est une primitive de $f$ sur $]-\infty,2[$ .
2. Calculer l'aire de la partie $P_1$ limitée par $(C)$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-2$ et $x=0$ .
3. Calculer $f(-2)$ et $f(1)$ . En déduire, sans nouveau calcul d'intégrale, l'aire de la partie $P_2$ limitée par $(C)$ , l'axe des ordonnées et la droite d'équation $y=-2$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $f(x)=\dfrac{2x}{x-2}$ tend vers $2$ en $-\infty$ (quotient des termes de plus haut degré). Quand $x\to2^-$ , $2x\to4$ et $x-2\to0^-$ , donc $f(x)\to-\infty$ . Asymptotes : $\boxed{y=2}$ au voisinage de $-\infty$ et $\boxed{x=2}$ .

1.b $f'(x)=\dfrac{2(x-2)-2x}{(x-2)^2}=\dfrac{-4}{(x-2)^2}<0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty,2[$ .

\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & & 2 \\ \hline f'(x) & & - & \\ \hline f(x) & 2 & \searrow & -\infty \end{array}

2.a $f$ est continue et strictement décroissante sur $]-\infty,2[$ : elle réalise une bijection de $]-\infty,2[$ sur $J=\,]-\infty,2[$ .

2.b Idée : résoudre $f(y)=x$ d'inconnue $y\in\,]-\infty,2[$ , pour $x\in J$ .

\dfrac{2y}{y-2}=x\iff2y=xy-2x

\iff y(2-x)=-2x\iff y=\dfrac{2x}{x-2}

(on peut diviser par $2-x\ne0$ car $x<2$ ). Donc $\boxed{f^{-1}(x)=f(x)}$ pour tout $x\in J$ .

2.c La courbe de $f^{-1}$ est la symétrique de $(C)$ par rapport à $\Delta:y=x$ ; comme $f^{-1}=f$ , $(C)$ est symétrique par rapport à $\Delta$ . $f(x)=x\iff2x=x^2-2x\iff x(x-4)=0$ ; seule $x=0$ appartient à $]-\infty,2[$ : $(C)$ coupe $\Delta$ en $O$ . $f'(0)=-1$ , donc la tangente en $O$ a pour équation $\boxed{y=-x}$ : elle est perpendiculaire à $\Delta$ , ce qui est cohérent avec la symétrie.

3.a $F'(x)=2+4\times\dfrac{-1}{2-x}=2+\dfrac{4}{x-2}=\dfrac{2x}{x-2}=f(x)$ .

3.b Sur $[-2,0]$ , $2x\le0$ et $x-2<0$ , donc $f(x)\ge0$ :

\mathcal A(P_1)=F(0)-F(-2)

=4\ln2-(-4+4\ln4)=\boxed{4-4\ln2}

3.c Idée : $P_2$ est la symétrique de $P_1$ par rapport à $\Delta$ . $f(-2)=\dfrac{-4}{-4}=1$ et $f(1)=\dfrac{2}{-1}=-2$ : $(C)$ passe par $(-2\,;1)$ et par son symétrique $(1\,;-2)$ . La symétrie d'axe $\Delta$ échange l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées, la droite $x=-2$ et la droite $y=-2$ , et laisse $(C)$ globalement invariante : elle transforme $P_1$ en $P_2$ . Une symétrie conserve les aires, donc $\boxed{\mathcal A(P_2)=4-4\ln2\approx1{,}23}$ u.a.

4 Drill FR-H.4 — aire sous la courbe de

f^{-1}

déduite par symétrie d'une aire entre

(C)

et sa tangente

Entraînement 04 / 05

Drill FR-H.4 — aire sous la courbe de $f^{-1}$ déduite par symétrie d'une aire entre $(C)$ et sa tangente

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=e^{x-2}$ . Dans l'annexe ci-dessous, on a tracé sa courbe $(C)$ dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ , ainsi que la droite $(T)$ d'équation $y=x-1$ .

1. Montrer que $f$ réalise une bijection de $\R$ sur $]0,+\infty[$ . On note $f^{-1}$ sa fonction réciproque ; montrer que $f^{-1}(x)=2+\ln x$ pour tout $x>0$ .
2. Montrer que $(T)$ est la tangente à $(C)$ au point $A(2\,;1)$ .
3. Construire dans l'annexe la courbe $(C')$ de $f^{-1}$ et la droite $(T')$ symétrique de $(T)$ par rapport à la droite $y=x$ . Donner une équation de $(T')$ .
1. Soit $g(x)=e^{x-2}-x+1$ . Étudier les variations de $g$ et en déduire que $(C)$ est au-dessus de $(T)$ .
2. Montrer que l'aire de la partie limitée par $(C)$ , $(T)$ et l'axe des ordonnées est égale à $1-e^{-2}$ .
1. En déduire l'aire de la partie limitée par $(C')$ , $(T')$ et l'axe des abscisses.
2. En déduire que l'aire de la partie limitée par $(C')$ , l'axe des abscisses et la droite d'équation $x=1$ est égale à $1+e^{-2}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $f$ est continue et strictement croissante sur $\R$ , avec $\lim\limits_{-\infty}f=0$ et $\lim\limits_{+\infty}f=+\infty$ : bijection de $\R$ sur $]0,+\infty[$ . Pour $x>0$ : $e^{y-2}=x\iff y-2=\ln x$ , donc $\boxed{f^{-1}(x)=2+\ln x}$ .

1.b $f(2)=e^{0}=1$ et $f'(x)=e^{x-2}$ , $f'(2)=1$ : la tangente en $A$ est $y=1\times(x-2)+1$ , soit $y=x-1$ , c'est $(T)$ .

1.c Idée : échanger $x$ et $y$ dans l'équation de $(T)$ . $(T'):x=y-1$ , soit $\boxed{y=x+1}$ ; elle touche $(C')$ en $A'(1\,;2)$ , symétrique de $A$ . $(C')$ passe par $A'$ , coupe l'axe des abscisses en $x=e^{-2}$ et admet l'axe des ordonnées pour asymptote.

2.a $g'(x)=e^{x-2}-1$ , négatif sur $]-\infty,2]$ et positif sur $[2,+\infty[$ : $g$ est décroissante puis croissante, de minimum $g(2)=1-2+1=0$ . Donc $g(x)\ge0$ , c'est-à-dire $e^{x-2}\ge x-1$ : $(C)$ est au-dessus de $(T)$ .

2.b La partie est comprise, pour $x\in[0,2]$ , entre $(T)$ (en bas) et $(C)$ (en haut) :

\int_0^2\left(e^{x-2}-x+1\right)dx

=\left[e^{x-2}-\dfrac{x^2}{2}+x\right]_0^2

=(1-2+2)-e^{-2}=\boxed{1-e^{-2}}

3.a Idée : la symétrie d'axe $y=x$ transforme $(C)$ en $(C')$ , $(T)$ en $(T')$ et l'axe des ordonnées en l'axe des abscisses ; elle conserve les aires. La partie limitée par $(C')$ , $(T')$ et l'axe des abscisses a donc pour aire $\boxed{1-e^{-2}}$ .

3.b Le triangle limité par $(T')$ , l'axe des abscisses et la droite $x=1$ a pour sommets $(-1\,;0)$ , $(1\,;0)$ et $A'(1\,;2)$ : son aire est $\dfrac{2\times2}{2}=2$ . Il est formé de la partie de 3.a et de la partie située sous $(C')$ entre $x=e^{-2}$ et $x=1$ . Donc cette dernière a pour aire $2-\left(1-e^{-2}\right)=\boxed{1+e^{-2}}$ u.a.

5 Drill FR-H.5 — Économie-Gestion : restriction bijective lue sur la courbe, courbe de sa réciproque et

(f^{-1})'

Entraînement 05 / 05

Drill FR-H.5 — Économie-Gestion : restriction bijective lue sur la courbe, courbe de sa réciproque et $(f^{-1})'$

7 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans le repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ ci-dessous, $(C)$ est la courbe d'une fonction $h$ définie et dérivable sur $\R$ .

La droite $D$ d'équation $y=-x$ est une asymptote à $(C)$ au voisinage de $-\infty$ .
$(C)$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction celle de l'axe des ordonnées.
$(C)$ admet une unique tangente horizontale, au point $A(0\,;1)$ .
Le point $B(1\,;e-1)$ appartient à $(C)$ et la tangente $(T)$ à $(C)$ en $B$ passe par l'origine $O$ .

En utilisant les données et le graphique :
1. Donner $h(0)$ , $h'(0)$ , $\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)$ .
2. Dresser le tableau de variation de $h$ .
3. Justifier que $h'(1)=e-1$ .
Soit $f$ la restriction de $h$ à l'intervalle $[0,+\infty[$ .
1. Montrer que $f$ réalise une bijection de $[0,+\infty[$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera. On note $f^{-1}$ sa fonction réciproque et $(C')$ sa courbe.
2. Tracer $(C')$ dans le même repère. Quelle est la tangente à $(C')$ au point $A'(1\,;0)$ ?
1. Montrer que $f^{-1}$ est dérivable en $e-1$ et calculer $(f^{-1})'(e-1)$ .
2. Donner une équation de la tangente $(T')$ à $(C')$ au point $B'(e-1\,;1)$ . Que remarque-t-on ?
3. On admet que $h(x)=e^{x}-x$ . Vérifier les valeurs $h(0)$ , $h'(0)$ , $h(1)$ et $h'(1)$ utilisées.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a $A\in(C)$ : $h(0)=1$ ; la tangente en $A$ est horizontale : $h'(0)=0$ . L'asymptote $y=-x$ en $-\infty$ donne $\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=+\infty$ , et la branche parabolique donne $\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=+\infty$ .

1.b $h$ est strictement décroissante sur $]-\infty,0]$ et strictement croissante sur $[0,+\infty[$ :

\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline h'(x) & & - & 0 & + & \\ \hline h(x) & +\infty & \searrow & 1 & \nearrow & +\infty \end{array}

1.c $(T)$ passe par $O(0\,;0)$ et $B(1\,;e-1)$ : son coefficient directeur est $\dfrac{(e-1)-0}{1-0}=e-1$ , donc $h'(1)=e-1$ .

2.a Idée : $h$ n'est pas monotone sur $\R$ ; on se place sur un intervalle où elle l'est. $f$ est continue et strictement croissante sur $[0,+\infty[$ , avec $f(0)=1$ et $\lim\limits_{+\infty}f=+\infty$ : bijection de $[0,+\infty[$ sur $\boxed{J=[1,+\infty[}$ .

2.b $(C')$ est la symétrique, par rapport à la droite $y=x$ , de la partie de $(C)$ située à droite de l'axe des ordonnées. La tangente horizontale en $A(0\,;1)$ devient une tangente verticale (d'équation $x=1$ ) en $A'(1\,;0)$ ; $(C')$ passe aussi par $B'(e-1\,;1)$ .

3.a Idée : $f^{-1}$ est dérivable en $f(a)$ dès que $f'(a)\ne0$ , et $(f^{-1})'(f(a))=\dfrac{1}{f'(a)}$ . Ici $e-1=f(1)$ et $f'(1)=h'(1)=e-1\ne0$ , donc $f^{-1}$ est dérivable en $e-1$ et $\boxed{(f^{-1})'(e-1)=\dfrac{1}{e-1}}\approx0{,}58$ .

3.b $(T')$ : $y=\dfrac{1}{e-1}\left(x-(e-1)\right)+1$ , soit $\boxed{y=\dfrac{x}{e-1}}$ . Elle passe par $O$ , comme $(T)$ : $(T')$ est la symétrique de $(T)$ par rapport à $y=x$ .

3.c $h(0)=1-0=1$ ; $h'(x)=e^{x}-1$ , donc $h'(0)=0$ ; $h(1)=e-1$ et $h'(1)=e-1$ : les lectures sont confirmées.

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Le problème de fonction du Sport : courbe fournie en annexe, paramètres de $e^{ax+b}$ , bijection, courbe de $f^{-1}$ par symétrie, $f^{-1}$ explicite, aire

Exercice 2 — problème de fonction (7 points), dans l'esprit des sessions Sport 2016–2024

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Drill FR-H.1 — forme $a\ln(x+b)$ : asymptote et tangente lues, puis $f^{-1}$ et sa courbe

Drill FR-H.2 — tangente $(AB)$ lue sur le quadrillage, courbe décroissante, aire en fonction de $\alpha$

Drill FR-H.3 — une fonction égale à sa réciproque : $f^{-1}=f$ , courbe symétrique par rapport à $y=x$

Drill FR-H.4 — aire sous la courbe de $f^{-1}$ déduite par symétrie d'une aire entre $(C)$ et sa tangente

Drill FR-H.5 — Économie-Gestion : restriction bijective lue sur la courbe, courbe de sa réciproque et $(f^{-1})'$

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Le problème de fonction du Sport : courbe fournie en annexe, paramètres de eax+be^{ax+b}eax+b, bijection, courbe de f−1f^{-1}f−1 par symétrie, f−1f^{-1}f−1 explicite, aire

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