GR-FThéorie des graphes

Graphe probabiliste à deux états : graphe à compléter, matrice de transition, $P_n=P_0M^n$ , état stable, première année au-delà d'un seuil

Idée directrice

Un graphe probabiliste à deux états décrit une évolution d'une étape à la suivante : chaque sommet est un état, chaque arc — boucles comprises — porte la probabilité de passer d'un état à l'autre, et les poids des arcs issus d'un même sommet ont pour somme $1$ . La matrice de transition $M$ range ces poids (ligne = état de départ), et l'état probabiliste à l'étape $n$ est la matrice ligne $P_n=P_0M^n$ . L'état stable $P$ vérifie $PM=P$ , avec des coefficients de somme $1$ : c'est la répartition vers laquelle $P_n$ se stabilise. Une question de seuil se ramène à une inéquation en $q^n$ résolue par le logarithme népérien.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Recopier et compléter le graphe probabiliste $(G)$ traduisant la situation » ; « déterminer la matrice de transition $M$ associée à $(G)$ » ; « on admet que $M^n=\dots$ ; déterminer l'état probabiliste … » ; « montrer que la matrice $P=\dots$ traduit l'état stable de la situation » ; « déterminer le rang de la semaine où, pour la première fois, … »

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Graphe probabiliste : en chaque sommet, la somme des poids des arcs sortants (boucle comprise) vaut $1$ ; on complète les poids manquants par différence.
Matrice de transition : ligne = état de départ, colonne = état d'arrivée, dans l'ordre imposé ; chaque ligne a pour somme $1$ .
$P_{n+1}=P_nM$ , donc $P_n=P_0M^n$ : avec $M^n$ donnée, on multiplie la matrice ligne $P_0$ par chaque colonne de $M^n$ .
État stable $P=(a\ \ b)$ : $a+b=1$ et $PM=P$ . Pour le vérifier, on calcule $PM$ ; pour le déterminer, on résout le système.
Seuil : isoler $q^n$ , puis passer au logarithme népérien en changeant le sens de l'inégalité, car $\ln q<0$ lorsque $0<q<1$ ; prendre le premier entier qui convient et le traduire en année ou en semaine.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Écrire la matrice en colonnes (sa transposée) ; oublier la boucle quand on complète le graphe ; calculer $MP_0$ au lieu de $P_0M$ ; confondre l'indice $n$ et l'année $2025+n$ ; oublier de changer le sens de l'inégalité en divisant par $\ln0{,}6<0$ ; arrondir $5{,}86$ à $5$ au lieu de prendre le premier entier strictement supérieur.

Sujet principal

Exercice 3 — graphe probabiliste (5 points), dans l'esprit des sessions Économie et Gestion 2015–2025

6 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Dans une ville, chaque salarié se rend au travail soit en voiture, soit en transport en commun. Une étude a montré qu'en septembre 2025, $5\,\%$ des salariés utilisaient le transport en commun et que, d'une année à l'autre :

$10\,\%$ des salariés qui utilisent la voiture passent au transport en commun l'année suivante ;
$30\,\%$ des salariés qui utilisent le transport en commun reviennent à la voiture l'année suivante.

On suppose que le nombre de salariés reste constant. On choisit un salarié au hasard et on note $A$ l'état « le salarié utilise la voiture » et $B$ l'état « le salarié utilise le transport en commun ». Pour tout entier naturel $n$ , on note $a_n$ et $b_n$ les probabilités que le salarié soit dans l'état $A$ , respectivement $B$ , en septembre de l'année $2025+n$ , et $P_n=\begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ l'état probabiliste correspondant.

Pour la question 3, on admet que, pour tout entier naturel $n$ :

M^n=\dfrac14\begin{pmatrix}3+0{,}6^n&1-0{,}6^n\\3-3\times0{,}6^n&1+3\times0{,}6^n\end{pmatrix}

1. Recopier et compléter le graphe probabiliste $(G)$ traduisant la situation.
2. Déterminer la matrice de transition $M$ associée à $(G)$ , les sommets étant pris dans l'ordre $A$ , $B$ .
1. Déterminer l'état initial $P_0$ .
2. Calculer $P_1$ et interpréter le résultat.
1. Exprimer $P_n$ en fonction de $n$ ; en déduire que $b_n=0{,}25-0{,}2\times0{,}6^n$ .
2. Quelle est la probabilité qu'un salarié choisi au hasard utilise le transport en commun en septembre 2028 ?
1. Vérifier que la matrice $P=\begin{pmatrix}0{,}75&0{,}25\end{pmatrix}$ traduit l'état stable de la situation, et interpréter.
2. Déterminer la première année à partir de laquelle la proportion de salariés utilisant le transport en commun dépasse $24\,\%$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : les poids des arcs issus d'un même sommet, boucle comprise, ont pour somme $1$ . Boucle sur $A$ : $1-0{,}1=0{,}9$ (le salarié garde sa voiture). Arc de $B$ vers $A$ : $1-0{,}7=0{,}3$ , ce sont les $30\,\%$ qui reviennent à la voiture.

1.b Idée : ligne = état de départ, colonne = état d'arrivée, dans l'ordre $A$ , $B$ .

M=\begin{pmatrix}0{,}9&0{,}1\\0{,}3&0{,}7\end{pmatrix}

2.a En septembre 2025, $5\,\%$ des salariés utilisent le transport en commun : $P_0=\begin{pmatrix}0{,}95&0{,}05\end{pmatrix}$ .

2.b $P_1=P_0M$ : on multiplie la matrice ligne $P_0$ par chaque colonne de $M$ .

a_1=0{,}95\times0{,}9+0{,}05\times0{,}3=0{,}87

b_1=0{,}95\times0{,}1+0{,}05\times0{,}7=0{,}13

Donc $P_1=\begin{pmatrix}0{,}87&0{,}13\end{pmatrix}$ : en septembre 2026, $13\,\%$ des salariés utilisent le transport en commun.

3.a Idée : $P_{n+1}=P_nM$ donne $P_n=P_0M^n$ ; on multiplie $P_0$ par la seconde colonne de $M^n$ pour obtenir $b_n$ . En posant $q=0{,}6^n$ :

4b_n=0{,}95(1-q)+0{,}05(1+3q)

Le membre de droite vaut $1-0{,}8q$ , donc $b_n=0{,}25-0{,}2\times0{,}6^n$ ; de même $4a_n=0{,}95(3+q)+0{,}05(3-3q)=3+0{,}8q$ , soit $a_n=0{,}75+0{,}2\times0{,}6^n$ (et $a_n+b_n=1$ ).

P_n=\begin{pmatrix}0{,}75+0{,}2\times0{,}6^n&0{,}25-0{,}2\times0{,}6^n\end{pmatrix}

3.b Septembre 2028 correspond à $n=3$ : $b_3=0{,}25-0{,}2\times0{,}216=0{,}25-0{,}0432=\boxed{0{,}2068}$ .

4.a Idée : un état stable vérifie $PM=P$ et la somme de ses coefficients vaut $1$ . $0{,}75+0{,}25=1$ et :

0{,}75\times0{,}9+0{,}25\times0{,}3=0{,}75

0{,}75\times0{,}1+0{,}25\times0{,}7=0{,}25

Donc $PM=P$ : $P$ traduit l'état stable. À long terme, $75\,\%$ des salariés utiliseront la voiture et $25\,\%$ le transport en commun ; c'est cohérent avec $b_n$ , puisque $0{,}6^n$ tend vers $0$ .

4.b Idée : isoler $0{,}6^n$ , puis passer au logarithme ; $\ln0{,}6<0$ change le sens de l'inégalité.

b_n>0{,}24\iff0{,}2\times0{,}6^n<0{,}01

\iff0{,}6^n<0{,}05\iff n\ln0{,}6<\ln0{,}05

\iff n>\dfrac{\ln0{,}05}{\ln0{,}6}\approx5{,}86

Le plus petit entier convenable est $n=6$ : la proportion dépasse $24\,\%$ pour la première fois en septembre $2025+6=\boxed{2031}$ . Contrôle : $b_5\approx0{,}2344$ et $b_6\approx0{,}2407$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : formules d'assurance A et B, graphe à compléter, $P_1$ puis état stable à vérifier (principale 2015) ; deux fournisseurs, matrice à compléter et rang de la première semaine où $a_n>b_n$ (contrôle 2016) ; spots allumés ou éteints toutes les 15 minutes, probabilité à une heure donnée puis état stable à déterminer (contrôle 2020) ; écoles étatiques ou privées, état en septembre d'une année donnée et état stable (contrôle 2025). En section Mathématiques, la même évolution à deux états se traite sans graphe ni matrice, par une suite récurrente $p_{n+1}=ap_n+b$ (scénario P-F).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill GR-F.1 — spots allumés ou éteints : probabilité à une heure donnée, état stable à déterminer

Entraînement 01 / 02

Drill GR-F.1 — spots allumés ou éteints : probabilité à une heure donnée, état stable à déterminer

2 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Une salle de spectacle est éclairée par un très grand nombre de spots programmés ainsi : à 18 h, tous les spots sont allumés ; ensuite, toutes les 10 minutes et de manière aléatoire, $25\,\%$ des spots allumés s'éteignent et $50\,\%$ des spots éteints se rallument. On s'intéresse à un spot pris au hasard ; on note $A$ l'état « le spot est allumé » et $B$ l'état « le spot est éteint ».

Pour tout entier naturel $n$ , on note $P_n=\begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ l'état du spot au bout de $n$ intervalles de 10 minutes après 18 h, et on admet que :

M^n=\dfrac13\begin{pmatrix}2+0{,}25^n&1-0{,}25^n\\2-2\times0{,}25^n&1+2\times0{,}25^n\end{pmatrix}

1. Recopier et compléter le graphe probabiliste $(G)$ traduisant la situation.
2. Déterminer la matrice $M$ associée au graphe $(G)$ , les sommets étant pris dans l'ordre $A$ , $B$ .
1. Justifier que $a_0=1$ et $b_0=0$ .
2. Quelle est la probabilité que le spot considéré soit éteint à 18 h 40 ?
3. Déterminer l'état stable $P=\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}$ de la situation et l'interpréter.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Depuis $A$ : $0{,}25$ vers $B$ , donc une boucle de poids $1-0{,}25=0{,}75$ . Depuis $B$ : $0{,}5$ vers $A$ (les spots qui se rallument), donc une boucle de poids $0{,}5$ .

\textbf{1.b}\quad M=\begin{pmatrix}0{,}75&0{,}25\\0{,}5&0{,}5\end{pmatrix}

2.a À 18 h ( $n=0$ ), tous les spots sont allumés : le spot est allumé avec la probabilité $1$ , donc $a_0=1$ et $b_0=0$ .

2.b Idée : convertir l'heure en nombre d'intervalles. De 18 h à 18 h 40 il s'écoule $4$ intervalles de 10 minutes : $n=4$ . Comme $P_0=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}$ , $P_4=P_0M^4$ est la première ligne de $M^4$ :

b_4=\dfrac{1-0{,}25^4}{3}=\dfrac{255}{768}=\dfrac{85}{256}

La probabilité cherchée est $\boxed{\dfrac{85}{256}\approx0{,}332}$ .

2.c Idée : ici l'état stable n'est pas donné, on le détermine en résolvant $PM=P$ avec $a+b=1$ . La première coordonnée de $PM=P$ donne $0{,}75a+0{,}5b=a$ , soit $0{,}5b=0{,}25a$ , c'est-à-dire $a=2b$ ; avec $a+b=1$ : $3b=1$ .

Donc $b=\dfrac13$ , $a=\dfrac23$ et $P=\begin{pmatrix}\frac23&\frac13\end{pmatrix}$ (la seconde coordonnée, $0{,}25a+0{,}5b=b$ , donne la même relation). À long terme, un spot est éteint avec une probabilité proche de $\frac13$ : environ un spot sur trois est éteint à un instant donné.

2 Drill GR-F.2 — deux fournisseurs : rang de la première semaine où

a_n>b_n

Entraînement 02 / 02

Drill GR-F.2 — deux fournisseurs : rang de la première semaine où $a_n>b_n$

2 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un commerçant passe chaque semaine sa commande auprès de l'un de deux fournisseurs $F_1$ et $F_2$ . Le choix d'une semaine à l'autre est modélisé par le graphe probabiliste $(G)$ ci-dessous, où le sommet $F_1$ désigne l'état « la commande est passée auprès de $F_1$ » et le sommet $F_2$ l'état « la commande est passée auprès de $F_2$ ».

1. Lorsque la commande est passée auprès de $F_1$ , quelle est la probabilité qu'elle le soit encore la semaine suivante ?
2. Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe en prenant les sommets $F_1$ et $F_2$ dans cet ordre.
Pour tout entier $n\ge1$ , on note $a_n$ (respectivement $b_n$ ) la probabilité que la commande de la semaine $n$ soit passée auprès de $F_1$ (respectivement $F_2$ ), et $P_n=\begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ . La première semaine, la commande est passée auprès de $F_2$ .
1. Vérifier que $P=\begin{pmatrix}0{,}6&0{,}4\end{pmatrix}$ traduit l'état stable de la situation.
2. On admet que, pour tout $n\ge1$ , $a_n=0{,}6-0{,}6\times0{,}75^{n-1}$ et $b_n=0{,}4+0{,}6\times0{,}75^{n-1}$ . Vérifier ces formules pour $n=1$ .
3. Déterminer le rang de la semaine où, pour la première fois, la probabilité que le commerçant commande auprès de $F_1$ dépasse la probabilité qu'il commande auprès de $F_2$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Les poids issus de $F_1$ ont pour somme $1$ : la boucle sur $F_1$ vaut $1-0{,}1=\boxed{0{,}9}$ .

\textbf{1.b}\quad M=\begin{pmatrix}0{,}9&0{,}1\\0{,}15&0{,}85\end{pmatrix}

2.a $0{,}6+0{,}4=1$ , et $PM=\begin{pmatrix}0{,}54+0{,}06&0{,}06+0{,}34\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}6&0{,}4\end{pmatrix}=P$ : $P$ traduit l'état stable.

2.b Pour $n=1$ , $0{,}75^0=1$ : $a_1=0$ et $b_1=1$ , ce qui traduit bien $P_1=\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}$ (commande auprès de $F_2$ la première semaine).

2.c Idée : comme $a_n+b_n=1$ , $a_n>b_n$ équivaut à $a_n>0{,}5$ ; on isole la puissance puis on passe au logarithme. En posant $x=0{,}75^{n-1}$ :

a_n>b_n\iff0{,}6-0{,}6x>0{,}4+0{,}6x

\iff1{,}2x<0{,}2\iff x<\dfrac16

\iff(n-1)\ln0{,}75<-\ln6

\iff n-1>\dfrac{\ln6}{\ln\frac43}\approx6{,}23

( $\ln0{,}75<0$ : l'inégalité change de sens.) Donc $n-1\ge7$ , soit $n\ge8$ : c'est la semaine 8. Contrôle : $a_7\approx0{,}4932<0{,}5$ et $a_8\approx0{,}5199>0{,}5$ .

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

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Graphe probabiliste à deux états : graphe à compléter, matrice de transition, $P_n=P_0M^n$ , état stable, première année au-delà d'un seuil

Exercice 3 — graphe probabiliste (5 points), dans l'esprit des sessions Économie et Gestion 2015–2025

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Drill GR-F.1 — spots allumés ou éteints : probabilité à une heure donnée, état stable à déterminer

Drill GR-F.2 — deux fournisseurs : rang de la première semaine où $a_n>b_n$

Relier ce raisonnement au bac

Graphe probabiliste à deux états : graphe à compléter, matrice de transition, Pn=P0MnP_n=P_0M^nPn​=P0​Mn, état stable, première année au-delà d'un seuil

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Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Relier ce raisonnement au bac

Graphe probabiliste à deux états : graphe à compléter, matrice de transition, $P_n=P_0M^n$ , état stable, première année au-delà d'un seuil