R-KArithmétique

Congruences du second degré : table des restes, impossibilité, carré complété modulo $p$ , recombinaison modulo $pq$

Idée directrice

Une équation du second degré modulo un nombre premier $p$ se traite comme dans $\R$ , à condition de rester dans les congruences : on complète le carré (en multipliant par $4$ , ou en utilisant un inverse de $2$ modulo $p$ ), on reconnaît une différence de deux carrés grâce à une racine carrée connue modulo $p$ , puis « $p$ premier divise un produit, donc divise l'un des facteurs » laisse deux congruences du premier degré. Quand le module est un produit $pq$ de deux premiers, on résout modulo $p$ et modulo $q$ séparément et on recolle les solutions. La table des restes des carrés sert, elle, à prouver qu'une équation n'a aucune solution.

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Recopier et compléter le tableau des restes modulo $p$ de $x^2$ » ; « en déduire que l'équation … n'admet pas de solution » ; « vérifier que $(2x+1)^2+3=4(x^2+x+1)$ » ; « montrer que $(x-a)^2\equiv x^2-x-b \pmod p$ » ; « en déduire les solutions modulo $pq$ »

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Pour montrer qu'une équation n'a pas de solution : la lire modulo un entier bien choisi et consulter la table des restes des carrés (ou des cubes).
Second degré modulo un premier $p$ : compléter le carré ( $4(x^2+x+1)=(2x+1)^2+3$ , ou $(x-a)^2$ avec $2a\equiv1$ ), puis écrire une différence de deux carrés avec une racine carrée connue modulo $p$ .
« $p$ premier divise $AB$ » donne « $p\mid A$ ou $p\mid B$ » : deux congruences du premier degré, qu'on résout en multipliant par un inverse (ici $2\times7\equiv1\pmod{13}$ ).
Module composé $pq$ : résoudre modulo $p$ et modulo $q$ , puis recoller chaque couple de solutions avec la relation de Bézout ; il y a en général $2\times2=4$ solutions modulo $pq$ .
Vérifier chaque solution en la remplaçant dans l'équation de départ.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Simplifier par $2$ une congruence modulo $13$ au lieu de multiplier par l'inverse de $2$ ; oublier que « $13$ divise un produit » n'entraîne « $13$ divise un facteur » que parce que $13$ est premier (modulo $91$ , $7\times13\equiv0$ alors qu'aucun des deux facteurs n'est divisible par $91$ ) ; ne garder qu'une seule solution modulo $91$ alors que les deux congruences modulo $13$ et les deux modulo $7$ en donnent quatre ; conclure « pas de solution » sans avoir épuisé tous les restes du tableau.

Sujet principal

Exercice 3 — arithmétique (4 points), dans l'esprit des sessions 2022–2025

3 questionsCorrigé masqué

Carrés modulo $7$ .
1. Recopier et compléter le tableau des restes modulo $7$ de $x$ et de $x^2$ , pour $x$ allant de $0$ à $6$ .
2. En déduire que l'équation $x^2\equiv3\pmod 7$ n'admet pas de solution dans $\Z$ .
3. Montrer que l'équation $7x-y^2=4$ n'admet pas de solution dans $\Z\times\Z$ .
On considère dans $\Z$ l'équation $(E)\ :\ x^2+x+1\equiv0\pmod{13}$ .
1. Vérifier que, pour tout entier $x$ , $(2x+1)^2+3=4\left(x^2+x+1\right)$ , et que $6^2\equiv-3\pmod{13}$ .
2. Montrer que $x$ est solution de $(E)$ si et seulement si $13$ divise $(2x-5)(2x+7)$ .
3. En déduire que $x$ est solution de $(E)$ si et seulement si $2x\equiv5\pmod{13}$ ou $2x\equiv-7\pmod{13}$ .
4. Vérifier que $7$ est un inverse de $2$ modulo $13$ , puis résoudre $(E)$ dans $\Z$ .
5. En remarquant que $x^3-1=(x-1)\left(x^2+x+1\right)$ , résoudre dans $\Z$ l'équation $x^3\equiv1\pmod{13}$ .
On considère dans $\Z$ l'équation $(F)\ :\ x^2+x+1\equiv0\pmod{91}$ .
1. Résoudre dans $\Z$ l'équation $x^2+x+1\equiv0\pmod 7$ .
2. Justifier que $x$ est solution de $(F)$ si et seulement si $x$ est solution de $(E)$ et de l'équation de la question 3.a.
3. En utilisant l'égalité $2\times7-13=1$ , résoudre $(F)$ dans $\Z$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.a Idée : il suffit de tester les sept restes possibles. Restes modulo $7$ :

\begin{array}{c|ccccccc} x\equiv & 0&1&2&3&4&5&6\\ \hline x^2\equiv & 0&1&4&2&2&4&1 \end{array}

1.b Le reste modulo $7$ d'un carré est toujours $0$ , $1$ , $2$ ou $4$ , jamais $3$ : l'équation $x^2\equiv3\pmod 7$ n'a pas de solution.

1.c Idée : lire l'équation modulo $7$ . Si $7x-y^2=4$ , alors $y^2=7x-4\equiv-4\equiv3\pmod 7$ , ce qui est impossible d'après 1.b. L'équation n'a donc aucune solution dans $\Z\times\Z$ .

2.a $(2x+1)^2+3=4x^2+4x+1+3=4\left(x^2+x+1\right)$ . Et $6^2=36=3\times13-3$ , donc $6^2\equiv-3\pmod{13}$ .

2.b Idée : compléter le carré, puis faire apparaître une différence de deux carrés. Comme $4$ est premier avec $13$ , $x^2+x+1\equiv0\pmod{13}$ équivaut à $4\left(x^2+x+1\right)\equiv0$ , c'est-à-dire à $(2x+1)^2+3\equiv0\pmod{13}$ . D'après 2.a, $3\equiv-6^2$ , donc cela s'écrit $(2x+1)^2-6^2\equiv0$ , soit $(2x+1-6)(2x+1+6)\equiv0\pmod{13}$ : $x$ est solution de $(E)$ si et seulement si $13$ divise $(2x-5)(2x+7)$ .

2.c $13$ est premier : s'il divise un produit, il divise l'un des facteurs (lemme d'Euclide, cas particulier du lemme de Gauss). Donc $(E)\iff 2x\equiv5\pmod{13}$ ou $2x\equiv-7\pmod{13}$ .

2.d Idée : diviser par $2$ , c'est multiplier par un inverse de $2$ modulo $13$ . $2\times7=14\equiv1\pmod{13}$ . En multipliant par $7$ : $2x\equiv5\iff x\equiv35\equiv9$ , et $2x\equiv-7\iff x\equiv-49\equiv3\pmod{13}$ . Vérification : $9^2+9+1=91=7\times13$ et $3^2+3+1=13$ .

Les solutions de $(E)$ sont les entiers $x\equiv3\pmod{13}$ et $x\equiv9\pmod{13}$ .

2.e $x^3\equiv1\iff(x-1)\left(x^2+x+1\right)\equiv0\pmod{13}$ ; $13$ étant premier, $x\equiv1$ ou $x^2+x+1\equiv0$ . Les solutions de l'équation sont donc les entiers $x\equiv1$ , $3$ ou $9\pmod{13}$ (et $3^3=27=2\times13+1$ , $9^3=729=56\times13+1$ ).

3.a Le tableau des sept restes donne $x^2+x+1\equiv1,3,0,6,0,3,1\pmod 7$ pour $x\equiv0,\dots,6$ : les solutions sont $x\equiv2\pmod 7$ ou $x\equiv4\pmod 7$ .

3.b $91=7\times13$ avec $7$ et $13$ premiers entre eux : $91$ divise un entier si et seulement si $7$ et $13$ le divisent. Donc $(F)$ équivaut au système formé de $(E)$ et de l'équation de 3.a.

3.c Idée : recoller deux congruences grâce à la relation de Bézout donnée. Posons $a=14=2\times7$ et $b=-13$ : $a\equiv1\pmod{13}$ , $a\equiv0\pmod 7$ , $b\equiv0\pmod{13}$ et $b\equiv1\pmod 7$ (car $a+b=1$ ). Si $x\equiv r\pmod{13}$ et $x\equiv s\pmod 7$ , alors $x\equiv14r-13s\pmod{91}$ . Les quatre choix $r\in\{3,9\}$ , $s\in\{2,4\}$ donnent $42-26=16$ , $42-52=-10\equiv81$ , $126-26=100\equiv9$ et $126-52=74$ .

Les solutions de $(F)$ sont les entiers $x\equiv9$ , $x\equiv16$ , $x\equiv74$ ou $x\equiv81\pmod{91}$ .

Contrôle : $16^2+16+1=273=3\times91$ et $81^2+81+1=6643=73\times91$ .

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : carré complété directement sous la forme $(x-a)^2\equiv x^2-x-b$ modulo un premier, puis système avec une congruence modulo $5$ (principale 2024) ; $x^2\equiv x$ modulo un produit de deux premiers, c'est-à-dire $x\equiv0$ ou $1$ modulo chacun (principale 2022) ; polynôme dépendant d'un entier $n$ ramené à un carré modulo $7$ grâce à Fermat, avec discussion selon $n$ (contrôle 2023) ; impossibilité d'une somme de cubes modulo $7$ (contrôle 2020) ; $x^2\equiv2\pmod 3$ impossible (contrôle 2025).

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill R-K.1 — cubes modulo 7 : une équation sans solution, des restes forcés

Entraînement 01 / 04

Drill R-K.1 — cubes modulo 7 : une équation sans solution, des restes forcés

4 questionsCorrigé masqué

Déterminer, pour $x$ allant de $0$ à $6$ , le reste modulo $7$ de $x^3$ .
En déduire les restes possibles modulo $7$ de $x^3+y^3$ , pour $x$ et $y$ entiers.
L'équation $x^3+y^3=2026$ admet-elle des solutions dans $\Z\times\Z$ ?
Soient $x$ et $y$ deux entiers tels que $x^3+y^3\equiv5\pmod7$ . Montrer que $x^3\equiv y^3\equiv6\pmod7$ , puis que $x$ et $y$ sont congrus à $3$ , $5$ ou $6$ modulo $7$ . Vérifier ce résultat sur l'égalité $5^3+10^3=1125$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Pour $x\equiv0,1,2,3,4,5,6\pmod7$ , on trouve $x^3\equiv0,1,1,6,1,6,6$ (par exemple $2^3=8\equiv1$ , $3^3=27\equiv6$ , $6^3\equiv(-1)^3=-1\equiv6$ ). Un cube est donc congru à $0$ , $1$ ou $6$ modulo $7$ .

2. Idée : additionner deux restes parmi $\{0,1,6\}$ . $0+0=0$ , $0+1=1$ , $0+6=6$ , $1+1=2$ , $1+6=7\equiv0$ , $6+6=12\equiv5$ . Les restes possibles de $x^3+y^3$ modulo $7$ sont $0$ , $1$ , $2$ , $5$ et $6$ ; jamais $3$ ni $4$ .

3. $2026=289\times7+3$ , donc $2026\equiv3\pmod7$ . Une solution de $x^3+y^3=2026$ vérifierait $x^3+y^3\equiv3\pmod7$ , reste absent de la liste de la question 2 : l'équation n'a pas de solution dans $\Z\times\Z$ .

4. Idée : chercher dans le calcul de la question 2 quelles sommes donnent $5$ . Parmi les sommes de deux restes de $\{0,1,6\}$ , seule $6+6=12$ est congrue à $5$ modulo $7$ : donc $x^3\equiv6$ et $y^3\equiv6\pmod7$ . D'après la question 1, un cube est congru à $6$ exactement quand l'entier est congru à $3$ , $5$ ou $6$ modulo $7$ ; en particulier ni $x$ ni $y$ n'est divisible par $7$ .

Vérification : $1125=160\times7+5\equiv5\pmod7$ , et $5\equiv5$ , $10\equiv3\pmod7$ appartiennent bien à $\{3,5,6\}$ .

2 Drill R-K.2 —

x^2\equiv x

modulo

143=11\times13

Entraînement 02 / 04

Drill R-K.2 — $x^2\equiv x$ modulo $143=11\times13$

4 questionsCorrigé masqué

On considère dans $\Z$ l'équation $(E)\ :\ x^2\equiv x\pmod{143}$ .

Décomposer $143$ en produit de facteurs premiers et vérifier que $0$ et $1$ sont solutions de $(E)$ .
Soit $p$ un nombre premier. Montrer que $x^2\equiv x\pmod p$ si et seulement si $x\equiv0\pmod p$ ou $x\equiv1\pmod p$ .
Montrer que $x$ est solution de $(E)$ si et seulement si $x\equiv0$ ou $1\pmod{11}$ et $x\equiv0$ ou $1\pmod{13}$ .
Vérifier que $6\times11-5\times13=1$ , puis résoudre $(E)$ dans $\Z$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $143=11\times13$ , avec $11$ et $13$ premiers. $0^2=0$ et $1^2=1$ : $0$ et $1$ sont solutions.

2. $x^2\equiv x\pmod p\iff p\mid x(x-1)$ . Comme $p$ est premier, il divise $x$ ou $x-1$ (lemme d'Euclide) : $x\equiv0$ ou $x\equiv1\pmod p$ . La réciproque est immédiate.

3. $11$ et $13$ sont premiers entre eux, donc $143\mid x^2-x\iff 11\mid x^2-x$ et $13\mid x^2-x$ ; on conclut avec la question 2 appliquée à $p=11$ et $p=13$ .

4. Idée : recoller les quatre couples de restes. $66=6\times11\equiv1\pmod{13}$ et $\equiv0\pmod{11}$ ; $-65=-5\times13\equiv1\pmod{11}$ et $\equiv0\pmod{13}$ , et $66-65=1$ . Le couple ( $x\equiv0\pmod{11}$ , $x\equiv1\pmod{13}$ ) donne $x\equiv66$ ; le couple ( $x\equiv1\pmod{11}$ , $x\equiv0\pmod{13}$ ) donne $x\equiv-65\equiv78\pmod{143}$ ; les deux autres couples redonnent $0$ et $1$ . Vérification : $66^2-66=4290=30\times143$ et $78^2-78=6006=42\times143$ .

Les solutions de $(E)$ sont les entiers $x\equiv0$ , $x\equiv1$ , $x\equiv66$ ou $x\equiv78\pmod{143}$ .

3 Drill R-K.3 — carré complété

(x-15)^2

modulo 29, puis système modulo

145

Entraînement 03 / 04

Drill R-K.3 — carré complété $(x-15)^2$ modulo 29, puis système modulo $145$

4 questionsCorrigé masqué

On admet que $29$ est un nombre premier.

Montrer que, pour tout entier $x$ , $(x-15)^2\equiv x^2-x-7\pmod{29}$ .
En déduire que $x^2-x\equiv16\pmod{29}$ si et seulement si $(x-12)(x-18)\equiv0\pmod{29}$ , puis résoudre cette équation dans $\Z$ .
Montrer que $x^2-x\equiv1\pmod5$ si et seulement si $x\equiv3\pmod5$ .
En déduire les solutions dans $\Z$ de l'équation $x^2-x\equiv16\pmod{145}$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $(x-15)^2=x^2-30x+225$ . Or $-30x=-29x-x\equiv-x\pmod{29}$ et $225=7\times29+22\equiv22\equiv-7\pmod{29}$ . Donc $(x-15)^2\equiv x^2-x-7\pmod{29}$ .

2. Idée : le carré complété transforme l'équation en différence de deux carrés. $x^2-x\equiv16\iff x^2-x-7\equiv9\iff(x-15)^2-3^2\equiv0\iff(x-18)(x-12)\equiv0\pmod{29}$ . Comme $29$ est premier, $x\equiv12$ ou $x\equiv18\pmod{29}$ . Vérification : $12^2-12=132=4\times29+16$ et $18^2-18=306=10\times29+16$ .

3. Pour $x\equiv0,1,2,3,4\pmod5$ , $x^2-x\equiv0,0,2,1,2$ : seul $x\equiv3\pmod5$ convient.

4. $145=5\times29$ avec $5$ et $29$ premiers entre eux, et $16\equiv1\pmod5$ : $x^2-x\equiv16\pmod{145}$ équivaut à $x^2-x\equiv1\pmod5$ et $x^2-x\equiv16\pmod{29}$ , soit $x\equiv3\pmod5$ et ( $x\equiv12$ ou $18\pmod{29}$ ). Parmi $12,41,70,99,128$ (les entiers $\equiv12\pmod{29}$ entre $0$ et $144$ ), seul $128$ est $\equiv3\pmod5$ ; parmi $18,47,76,105,134$ , seul $18$ convient.

Les solutions sont les entiers $x\equiv18\pmod{145}$ et $x\equiv128\pmod{145}$ .

4 Drill R-K.4 — un polynôme qui dépend de

n

: carré modulo 7 et discussion selon

n

Entraînement 04 / 04

Drill R-K.4 — un polynôme qui dépend de $n$ : carré modulo 7 et discussion selon $n$

4 questionsCorrigé masqué

Pour tout entier naturel $n$ , on considère dans $\Z$ l'équation $(E_n)\ :\ x^2+2^{n+1}x+4^n+3\equiv0\pmod7$ .

Vérifier que $x^2+2^{n+1}x+4^n+3=\left(x+2^n\right)^2+3$ .
Montrer que $x$ est solution de $(E_n)$ si et seulement si $x+2^n\equiv2\pmod7$ ou $x+2^n\equiv5\pmod7$ .
Montrer que $2^3\equiv1\pmod7$ et en déduire le reste modulo $7$ de $2^n$ selon le reste de $n$ modulo $3$ .
Résoudre $(E_n)$ dans $\Z$ selon les valeurs de $n$ , puis résoudre $(E_{2026})$ .

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. $\left(x+2^n\right)^2=x^2+2\cdot2^n x+\left(2^n\right)^2=x^2+2^{n+1}x+4^n$ ; on ajoute $3$ .

2. Idée : $-3\equiv4=2^2\pmod7$ fournit une racine carrée connue. $(E_n)\iff\left(x+2^n\right)^2\equiv-3\equiv2^2\iff\left(x+2^n-2\right)\left(x+2^n+2\right)\equiv0\pmod7$ . $7$ étant premier, $x+2^n\equiv2$ ou $x+2^n\equiv-2\equiv5\pmod7$ .

3. $2^3=8=7+1\equiv1\pmod7$ . Si $n=3k+r$ avec $r\in\{0,1,2\}$ , $2^n=\left(2^3\right)^k2^r\equiv2^r$ : $2^n\equiv1$ , $2$ ou $4\pmod7$ selon que $n\equiv0$ , $1$ ou $2\pmod3$ .

4. On retranche $2^n$ dans les deux congruences de la question 2 :

$n\equiv0\pmod3$ : $x\equiv2-1=1$ ou $x\equiv5-1=4\pmod7$ ;
$n\equiv1\pmod3$ : $x\equiv0$ ou $x\equiv3\pmod7$ ;
$n\equiv2\pmod3$ : $x\equiv2-4\equiv5$ ou $x\equiv5-4=1\pmod7$ .

$2026=3\times675+1$ , donc $2026\equiv1\pmod3$ et les solutions de l'équation $(E_{2026})$ sont les entiers $x\equiv0$ ou $x\equiv3\pmod7$ .

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Congruences du second degré : table des restes, impossibilité, carré complété modulo $p$ , recombinaison modulo $pq$

Exercice 3 — arithmétique (4 points), dans l'esprit des sessions 2022–2025

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill R-K.1 — cubes modulo 7 : une équation sans solution, des restes forcés

Drill R-K.2 — $x^2\equiv x$ modulo $143=11\times13$

Drill R-K.3 — carré complété $(x-15)^2$ modulo 29, puis système modulo $145$

Drill R-K.4 — un polynôme qui dépend de $n$ : carré modulo 7 et discussion selon $n$

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Congruences du second degré : table des restes, impossibilité, carré complété modulo ppp, recombinaison modulo pqpqpq

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Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

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Congruences du second degré : table des restes, impossibilité, carré complété modulo $p$ , recombinaison modulo $pq$