Masar
Masar
Bac Tunisie
Sciences physiques/NU-E
Entraîner la reconnaissance
NU-EPhysique nucléaire

L'étude documentaire complète : médecine nucléaire, rayonnements, demi-vie et décroissance du fluor 18

Idée directrice

Le troisième exercice de physique (3 points, chaque session) est une étude de document : un texte court, des questions qui demandent d'abord de relever (citer, dégager), puis de préciser avec le cours (nature des rayonnements, définition de la demi-vie, équation de désintégration), et enfin de calculer avec la loi de décroissance A(t)=A0 e−λtA(t)=A_0\,\e^{-\lambda t}, λ=ln⁡2T\lambda=\dfrac{\ln2}{T}. La note se perd rarement sur le calcul : elle se perd quand on répond avec le cours là où le texte était attendu, ou l'inverse.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Étude d'un document scientifique » ; « en se référant au texte, citer … » ; « préciser la nature de chaque rayonnement … » ; « dégager du texte un avantage … » ; « déterminer l'instant tt au bout duquel … de la dose radioactive initiale … ».

Sujet principal

Exercice 3 — étude d’un document scientifique (3 points), dans l’esprit de la session 2018

5 questionsCorrigé masqué

Document — Des isotopes à courte vie pour voir l'intérieur du corps. En imagerie médicale, on administre au patient une molécule marquée par un noyau radioactif et l'on détecte le rayonnement émis. Les isotopes retenus ont une période courte, de quelques minutes à quelques heures : assez longue pour réaliser l'examen, assez brève pour que l'activité disparaisse rapidement de l'organisme et limite l'irradiation. Le fluor 18, émetteur β+\beta^+, est le traceur le plus utilisé en tomographie par émission de positons : sa demi-vie est de 110110 minutes. Chaque positon émis s'annihile avec un électron du milieu en produisant deux photons γ\gamma détectés en coïncidence, ce qui localise la source. La dose injectée est de l'ordre de 3,5×108 Bq3{,}5\times10^{8}\,\text{Bq} ; on considère que l'activité n'est plus détectable lorsqu'elle est tombée au millième de sa valeur initiale.

Données : 918F^{18}_{9}\text{F} ; numéros atomiques Z(O)=8Z(\text{O})=8, Z(Ne)=10Z(\text{Ne})=10.

  1. Relever dans le texte la caractéristique commune des isotopes utilisés en imagerie médicale et l'avantage qu'elle procure.
  2. Préciser la nature du rayonnement β+\beta^+ et celle du rayonnement γ\gamma ; expliquer pourquoi c'est le rayonnement γ\gamma qui est détecté et non le positon lui-même.
  3. Écrire l'équation de la désintégration du fluor 18 en précisant les lois de conservation utilisées et le noyau fils.
  4. Donner la définition de la demi-vie TT et calculer la constante radioactive λ\lambda du fluor 18.
  5. Déterminer l'instant tt au bout duquel l'activité n'est plus détectable. Exprimer le résultat en heures et le comparer à la durée d'un examen (≈1 h\approx1\,\text{h}).
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1. Idée : citer, ne pas paraphraser le cours. Caractéristique : une période courte (« de quelques minutes à quelques heures »). Avantage : l'activité disparaît rapidement de l'organisme, ce qui limite l'irradiation du patient tout en laissant le temps de l'examen.

2. Le rayonnement β+\beta^+ est constitué de positons (antiparticules de l'électron, charge +e+e), particules matérielles émises par le noyau ; le rayonnement γ\gamma est une onde électromagnétique de très haute énergie (photons). Le positon s'annihile avec un électron au bout d'un trajet de l'ordre du millimètre : il ne sort pas du corps ; ce sont les deux photons γ\gamma émis en sens opposés, très pénétrants, qui atteignent les détecteurs et permettent de localiser l'émission.

3. Idée : conservation du nombre de nucléons et de la charge (lois de Soddy). Un proton se transforme en neutron avec émission d'un positon et d'un neutrino : AA conservé (18=18+018=18+0), ZZ conservé (9=Z′+1⇒Z′=89=Z'+1\Rightarrow Z'=8, l'oxygène).

918F ⟶ 818O+ +10e+ 00ν^{18}_{9}\text{F}\ \longrightarrow\ ^{18}_{8}\text{O}+\ ^{0}_{+1}e+\ ^{0}_{0}\nu

4. La demi-vie TT est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents se sont désintégrés (l'activité est divisée par deux). λ=ln⁡2T=0,693110×60≈1,05×10−4 s−1\lambda=\dfrac{\ln2}{T}=\dfrac{0{,}693}{110\times60}\approx\boxed{1{,}05\times10^{-4}\,\text{s}^{-1}}.

5. Idée : loi de décroissance A(t)=A0e−λtA(t)=A_0\e^{-\lambda t}, condition A=A0/1000A=A_0/1000. e−λt=10−3  ⟺  t=ln⁡1000λ=3ln⁡10ln⁡2 T≈9,97 T\e^{-\lambda t}=10^{-3}\iff t=\dfrac{\ln1000}{\lambda}=\dfrac{3\ln10}{\ln2}\,T\approx9{,}97\,T (le millième est atteint après dix demi-vies, 210=10242^{10}=1024). Avec T=110 minT=110\,\text{min} :

t≈9,97×110 min≈1,10×103 min≈18 ht\approx9{,}97\times110\ \text{min}\approx1{,}10\times10^{3}\ \text{min}\approx\boxed{18\ \text{h}}

L'examen dure environ une heure : l'activité résiduelle disparaît en moins d'une journée, ce qui illustre l'avantage relevé à la question 1.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 01

Drill NU-E.1 — activité, nombre de noyaux et demi-vie

3 questionsCorrigé masqué

Une dose de fluor 18 a une activité initiale A0=3,5×108 BqA_0=3{,}5\times10^{8}\,\text{Bq} ; la demi-vie vaut T=110 minT=110\,\text{min}.

  1. Calculer le nombre N0N_0 de noyaux radioactifs présents initialement.
  2. Calculer l'activité au bout de 5,5 h5{,}5\,\text{h} de deux façons : par la loi exponentielle, puis en comptant les demi-vies écoulées.
  3. Au bout de combien de temps l'activité vaut-elle 1 %1\,\% de A0A_0 ?
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1. A0=λN0A_0=\lambda N_0 avec λ=ln⁡2110×60=1,05×10−4 s−1\lambda=\dfrac{\ln2}{110\times60}=1{,}05\times10^{-4}\,\text{s}^{-1} : N0=A0λ=3,5×1081,05×10−4≈3,3×1012N_0=\dfrac{A_0}{\lambda}=\dfrac{3{,}5\times10^8}{1{,}05\times10^{-4}}\approx3{,}3\times10^{12} noyaux.

2. 5,5 h=330 min=3T5{,}5\,\text{h}=330\,\text{min}=3T. Loi : A=A0e−λt=3,5×108×e−3ln⁡2=3,5×108/8≈4,4×107 BqA=A_0\e^{-\lambda t}=3{,}5\times10^8\times\e^{-3\ln2}=3{,}5\times10^8/8\approx4{,}4\times10^7\,\text{Bq}. Comptage : trois demi-vies divisent l'activité par 23=82^3=8, même résultat.

3. e−λt=0,01  ⟺  t=ln⁡100λ=2ln⁡10ln⁡2 T≈6,64 T≈730 min≈12 h\e^{-\lambda t}=0{,}01\iff t=\dfrac{\ln100}{\lambda}=\dfrac{2\ln10}{\ln2}\,T\approx6{,}64\,T\approx730\,\text{min}\approx12\,\text{h}.

Méthode / Automatismes
  • Repérer le verbe : relever / citer / dégager ⇒\Rightarrow réponse tirée du texte ; préciser / définir / écrire l'équation ⇒\Rightarrow cours ; déterminer / calculer ⇒\Rightarrow loi de décroissance.
  • Équation de désintégration : écrire AA et ZZ de chaque terme, appliquer les deux conservations, nommer le noyau fils avec la classification.
  • λ=ln⁡2T\lambda=\dfrac{\ln2}{T} ; A=λNA=\lambda N ; A(t)=A0e−λtA(t)=A_0\e^{-\lambda t} ; « le millième »   ⟺  t=ln⁡1000λ≈10 T\iff t=\dfrac{\ln1000}{\lambda}\approx10\,T, « le centième »   ⟺  ≈6,6 T\iff\approx6{,}6\,T.
  • Garder les unités cohérentes (TT en secondes si λ\lambda en s−1\text{s}^{-1}) et convertir le résultat final dans l'unité demandée.
Pièges classiques

Répondre à « relever dans le texte » par une définition de cours ; confondre β+\beta^+ (positon) et β−\beta^- (électron) et écrire un noyau fils de Z=10Z=10 ; oublier le neutrino (accepté sans lui dans beaucoup de barèmes, mais la conservation de ZZ doit être explicite) ; calculer λ\lambda avec TT en minutes puis tt en secondes.