OF-AOscillations électriques forcées et résonance

Oscillations forcées en RLC série — résonance d'intensité

Idée directrice

Sous excitation sinusoïdale de fréquence variable $f$ , l'impédance totale $Z$ est minimale pour $f = f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ : c'est la résonance d'intensité. L'exercice fait calculer $Z$ , trouver $f_0$ , tracer la courbe $I(f)$ (ou $I(\omega)$ ), et analyser le facteur de qualité $Q = L\omega_0/R$ ainsi que le déphasage $\varphi$ entre la tension et le courant.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Exprimer l'impédance $Z$ du circuit » ; « Déterminer la fréquence de résonance » ; « Calculer le facteur de qualité $Q$ » ; « Calculer le déphasage entre $u$ et $i$ à $f = 2f_0$ »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

5 questionsCorrigé masqué

Un circuit RLC série comporte $R = 20\,\Omega$ , $L = 0{,}10\,\text{H}$ et $C = 10\,\mu\text{F}$ . Le générateur fournit une tension $u(t) = U_m\sin(\omega t)$ avec $U_m = 10\,\text{V}$ .

Exprimer l'impédance $Z$ du circuit en fonction de $R$ , $L$ , $C$ et $\omega$ . En déduire l'expression de l'intensité maximale $I_m(\omega)$ .
1. Montrer que $Z = \sqrt{R^2 + (L\omega - 1/(C\omega))^2}$ .
2. Exprimer $I_m = U_m/Z$ .
Déterminer la fréquence de résonance $f_0$ et la valeur maximale $I_{m,\text{max}}$ du courant à la résonance. Application numérique.
Calculer le facteur de qualité $Q = \dfrac{L\omega_0}{R}$ . Que représente-t-il ?
Calculer le déphasage $\varphi$ de $u$ par rapport à $i$ à $f = 2f_0$ .
1. Exprimer $\tan\varphi = (L\omega - 1/(C\omega))/R$ .
2. Calculer numériquement $\varphi$ et préciser la nature du circuit (inductif ou capacitif).
Calculer le facteur de puissance $\cos\varphi$ et la puissance active $P = \frac{1}{2}U_m I_m \cos\varphi$ à $f = 2f_0$ .

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1.(a) Idée : les réactances s'ajoutent algébriquement : $X_L = L\omega$ (inductif) et $X_C = 1/(C\omega)$ (capacitif). L'impédance totale se calcule quadratiquement car elles sont en quadrature avec $R$ .

Z = \sqrt{R^2 + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2}.

1.(b) $I_m = U_m/Z$ .

2. Idée : $Z$ est minimal quand $X_L = X_C$ , i.e. $L\omega_0 = 1/(C\omega_0)$ .

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}10\times10^{-5}}} = \frac{1}{10^{-3}} = 1000\,\text{rad/s}.

f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} \approx \boxed{159\,\text{Hz}}.

À la résonance, $Z = R$ et :

I_{m,\text{max}} = \frac{U_m}{R} = \frac{10}{20} = \boxed{0{,}50\,\text{A}}.

Q = \frac{L\omega_0}{R} = \frac{0{,}10\times1000}{20} = \boxed{5{,}0}.

$Q$ mesure la sélectivité du circuit : plus $Q$ est grand, plus le pic de résonance est étroit. On a aussi $U_{L,\text{rés}} = U_{C,\text{rés}} = Q\times U_m = 50\,\text{V}$ : il y a surgénérateur de tension aux bornes de $L$ et $C$ .

4.(a) À $f = 2f_0$ : $\omega = 2\omega_0 = 2000\,\text{rad/s}$ .

\tan\varphi = \frac{L\omega - 1/(C\omega)}{R} = \frac{0{,}10\times2000 - 1/(10^{-5}\times2000)}{20} = \frac{200 - 50}{20} = 7{,}5.

4.(b) $\varphi = \arctan(7{,}5) \approx 82{,}4°$ . $\varphi > 0$ : le circuit est inductif (la tension est en avance sur le courant).

\cos\varphi = \frac{R}{Z} = \frac{20}{\sqrt{400 + 150^2}} = \frac{20}{\sqrt{400+22500}} = \frac{20}{\sqrt{22900}} \approx 0{,}132.

I_m = \frac{U_m}{Z} = \frac{10}{\sqrt{22900}} \approx 0{,}066\,\text{A}.

P = \frac{1}{2}U_m I_m \cos\varphi \approx \frac{1}{2}\times10\times0{,}066\times0{,}132 \approx \boxed{4{,}4\times10^{-2}\,\text{W}}.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 04

Drill OF-A.1 — condition de résonance d'intensité

1 questionCorrigé masqué

Un circuit RLC série est soumis à une tension sinusoïdale de pulsation $\omega$ . À quelle condition l'intensité efficace est-elle maximale ?

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Idée : $I=U/Z$ ; $U$ étant fixée, $I$ est maximale quand $Z$ est minimale. $Z=\sqrt{R^2+(L\omega-1/(C\omega))^2}\geq R$ , avec égalité si $L\omega=\dfrac1{C\omega}$ , c'est-à-dire $\omega=\omega_0=\dfrac1{\sqrt{LC}}$ ( $N_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}$ ). Alors $Z=R$ , $I=U/R$ et $u$ , $i$ sont en phase. $\boxed{\omega=\omega_0=1/\sqrt{LC}}$

Entraînement 02 / 04

Drill OF-A.2 — impédance

1 questionCorrigé masqué

Donner l'expression de l'impédance $Z$ d'un circuit RLC série et sa valeur à la résonance.

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Idée : construction de Fresnel — $U_R$ sur l'axe du courant, $U_L$ en avance de $\pi/2$ , $U_C$ en retard de $\pi/2$ . $U_m^2=(RI_m)^2+(L\omega I_m-I_m/(C\omega))^2$ , donc $Z=\dfrac{U_m}{I_m}=\sqrt{R^2+\Big(L\omega-\dfrac1{C\omega}\Big)^2}$ . À la résonance $L\omega=1/(C\omega)$ : $\boxed{Z_{\min}=R}$ .

Entraînement 03 / 04

Drill OF-A.3 — intensité à la résonance

1 questionCorrigé masqué

$R=50\ \Omega$ , tension efficace $U=10\text{ V}$ . Calculer l'intensité efficace à la résonance.

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Idée : à la résonance le circuit est équivalent à $R$ seul. $I=\dfrac UZ=\dfrac UR=\dfrac{10}{50}=\boxed{0{,}20\ \mathrm A}$ . Hors résonance, $Z>R$ et l'intensité efficace serait plus faible pour la même tension.

Entraînement 04 / 04

Drill OF-A.4 — déphasage à la résonance

1 questionCorrigé masqué

Quel est le déphasage entre la tension $u$ et l'intensité $i$ à la résonance d'intensité ?

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Idée : $\tan\varphi=\dfrac{L\omega-1/(C\omega)}{R}$ . À la résonance le numérateur est nul : $\varphi=0$ , $u$ et $i$ sont en phase, le circuit se comporte comme un conducteur ohmique. Pour $\omega>\omega_0$ le circuit est inductif ( $i$ en retard), pour $\omega<\omega_0$ capacitif ( $i$ en avance). $\boxed{\varphi=0}$

Méthode / Automatismes

Résonance d'intensité : $X_L = X_C \Rightarrow \omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ , $Z_\text{min} = R$ , $I_\text{max} = U_m/R$ .
Impédance : $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ . Toujours calculer $X_L$ et $X_C$ numériquement avant $Z$ .
Déphasage : $\tan\varphi = (X_L - X_C)/R$ ; $\varphi > 0$ = inductif, $\varphi < 0$ = capacitif.
Facteur de qualité : $Q = L\omega_0/R = 1/(RC\omega_0) = \frac{1}{R}\sqrt{L/C}$ .
Puissance active : $P = \frac{1}{2}U_m I_m \cos\varphi = R\,I_\text{eff}^2$ (seule $R$ dissipe).

Pièges classiques

Confondre résonance d'intensité ( $Z$ minimal, $f = f_0$ ) et résonance de tension (tension aux bornes de $L$ ou $C$ maximale, qui survient à des fréquences légèrement différentes). Autre piège : oublier que $\cos\varphi = R/Z$ et non $R/(X_L - X_C)$ .

Variantes rencontrées : tracé de $I_m(f)$ et lecture de la bande passante $\Delta f = f_0/Q$ ; détermination de $R$ , $L$ ou $C$ à partir d'un oscillogramme de $u(t)$ et $i(t)$ (mesure de $T$ et $\varphi$ ) ; calcul du facteur de puissance et de la puissance réactive.

Où ce scénario est tombé

Bac 2021 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 2 (RLC forcé / résonance)attestéDocument RLC série; facteur de qualité Q; surtension à résonance.

Bac 2023 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 1 (RL puis RLC forcé)attestéÉtablissement courant; insertion condensateur; régime forcé.

Bac 2025 — Sciences physiques — session principale· Physique — Exercice 1 (dipôles RC / RL / régime forcé)probableIdentification condensateur/bobine; charge RC; régime oscillatoire/forcé avec oscilloscope et tensions efficaces.