OM-COscillations mécaniques

Oscillations mécaniques forcées — résonance d'élongation et de vitesse

Idée directrice

Lorsqu'une excitation sinusoïdale de fréquence $f$ est appliquée au pendule élastique amorti, l'amplitude de l'état forcé dépend de $f$ : elle passe par un maximum (résonance d'élongation à $f_\text{rés} < f_0$ ) et la vitesse est maximale exactement à $f = f_0$ (résonance de vitesse). L'exercice fait écrire l'équation du mouvement forcé, calculer l'amplitude en régime forcé, identifier les deux fréquences de résonance, et vérifier que la résonance d'élongation existe ( $h<\sqrt{2km}$ ).

Ce qui aide à reconnaître la démarche

« Écrire l'équation du mouvement forcé » ; « Montrer que l'amplitude vaut $X_m = F_0/\sqrt{(k-m\omega^2)^2 + h^2\omega^2}$ » ; « Calculer la pulsation de la résonance d'élongation » ; « Interpréter les comportements aux fréquences limites »

Besoin d’un point de départ ? Voir la méthode

Équation forcée : $m\ddot{x} + h\dot{x} + kx = F_0\cos(\omega t)$ où $F_0 = kX_e$ (excitation par le support) ou $F_0$ une force extérieure directe.
Amplitude en régime forcé : $X_m = F_0/\sqrt{(k-m\omega^2)^2 + h^2\omega^2}$ .
Résonance de vitesse : $\omega = \omega_0$ , $V_m=F_0/h$ maximale ; à cette fréquence $X_m = F_0/(h\omega_0)$ .
Résonance d'élongation : $\omega_r^2=\omega_0^2-h^2/(2m^2)$ , légèrement inférieure à $\omega_0$ ; elle n'existe que si $h<\sqrt{2km}$ . Plus $h$ est petit, plus le pic est haut et étroit.

Les pièges à vérifier dans ta démarche

Confondre résonance d'élongation (amplitude de $x$ maximale, $\omega_\text{rés} < \omega_0$ pour $Q$ fini) et résonance de vitesse ( $\omega = \omega_0$ exactement). Pour un faible amortissement, les deux fréquences sont très proches ; elles s'écartent quand $h$ augmente.

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

4 questionsCorrigé masqué

On soumet le pendule élastique ( $m = 500\,\text{g}$ , $k = 20\,\text{N/m}$ , $h = 0{,}40\,\text{N·s/m}$ ) à une excitation harmonique : le support oscille selon $x_e(t) = X_e\cos(\omega t)$ avec $X_e = 2{,}0\,\text{cm}$ .

Montrer que l'équation du mouvement forcé s'écrit $m\ddot{x} + h\dot{x} + kx = kX_e\cos(\omega t)$ .
1. Exprimer la force de rappel en fonction de l'élongation relative $x - x_e$ .
2. Écrire le PFD et simplifier.
En régime forcé, l'amplitude de la réponse est :
1. Montrer que $X_m(\omega) = \dfrac{kX_e}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + h^2\omega^2}}$ .
2. Calculer $X_m(\omega_0)$ , amplitude à la fréquence de la résonance de vitesse.
On admet que la résonance d'élongation a lieu pour $\omega_r^2=\omega_0^2-\dfrac{h^2}{2m^2}$ . Calculer $\omega_r$ , la comparer à $\omega_0$ et vérifier la condition d'existence $h<\sqrt{2km}$ .
À basse fréquence ( $\omega \to 0$ ), que vaut $X_m$ ? À haute fréquence ( $\omega \to \infty$ ) ? Interpréter physiquement.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1.(a) Idée : la force de rappel dépend de l'allongement du ressort $= x - x_e$ , pas de $x$ seul.

Force de rappel : $F = -k(x - x_e)$ . Force de frottement (contre la vitesse relative du solide) : $f = -h\dot{x}$ (le support est le référentiel d'excitation).

1.(b) PFD : $m\ddot{x} = -k(x - x_e) - h\dot{x} = -kx + kx_e - h\dot{x}$ . Donc :

m\ddot{x} + h\dot{x} + kx = kx_e = kX_e\cos(\omega t).

2.(a) Idée : en régime sinusoïdal forcé, on cherche la solution particulière de la forme $x_p(t) = X_m\cos(\omega t - \psi)$ . L'amplitude s'obtient par la construction de Fresnel des vecteurs $kX_m$ , $h\omega X_m$ et $m\omega^2X_m$ .

X_m(\omega) = \frac{kX_e}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2 + h^2\omega^2}}.

2.(b) À $\omega = \omega_0$ (fréquence de la résonance de vitesse) : $k - m\omega_0^2 = k - k = 0$ .

X_m(\omega_0) = \frac{kX_e}{h\omega_0} = \frac{20\times0{,}02}{0{,}40\times6{,}32} \approx \boxed{0{,}158\,\text{m}} = 15{,}8\,\text{cm}.

L'amplitude est amplifiée : $X_m(\omega_0)/X_e \approx 7{,}9$ .

\omega_r^2=\omega_0^2-\frac{h^2}{2m^2}=40-\frac{0{,}40^2}{2\times0{,}500^2}=39{,}7\ \mathrm{s^{-2}},\qquad \omega_r\approx\boxed{6{,}30\,\mathrm{rad\,s^{-1}}}.

$\omega_r$ est très légèrement inférieure à $\omega_0=6{,}32\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ : l'amortissement est faible. La résonance existe car $h=0{,}40\,\mathrm{kg\,s^{-1}}<\sqrt{2km}=\sqrt{20}=4{,}5\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$ .

4. À basse fréquence ( $\omega \to 0$ ) : $X_m \to kX_e/k = X_e = 2{,}0\,\text{cm}$ — le solide suit le support sans amplification. À haute fréquence ( $\omega \to \infty$ ) : $X_m \to 0$ — l'inertie du solide l'empêche de suivre les oscillations rapides.

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Choisis un seul transfert après le sujet principal. Qu’est-ce qui change ? Quel résultat ou quelle méthode peux-tu réutiliser ? Les autres exercices restent disponibles pour une prochaine séance.

Variantes rencontrées : force d'excitation directe $F(t) = F_0\cos(\omega t)$ ; tracé de $X_m(N)$ et de $V_m(N)$ pour identifier les deux résonances ; pendule simple forcé avec analogie électrique.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

1 Drill OM-C.1 — exploiter une courbe de résonance

Entraînement 01 / 04

Drill OM-C.1 — exploiter une courbe de résonance

3 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un oscillateur mécanique est soumis à une excitation sinusoïdale de fréquence réglable. La figure donne l'amplitude stationnaire $X_m$ en fonction de la fréquence $f$ .

Déterminer graphiquement la fréquence de résonance et l'amplitude maximale.
Justifier qu'il s'agit d'une résonance d'élongation.
Prévoir qualitativement l'effet d'un amortissement plus important sur le maximum de la courbe.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Lecture graphique. Le maximum est atteint pour $\boxed{f_r\approx1{,}0\,\text{Hz}}$ et vaut $\boxed{X_{m,\max}\approx6{,}8\,\text{cm}}$ .

2. Nature. Il s'agit d'une résonance d'élongation : la grandeur qui présente un maximum est l'amplitude de l'élongation, lorsque la fréquence d'excitation est proche de la fréquence propre.

3. Amortissement. Un amortissement plus fort dissipe davantage l'énergie cinétique des vibrations : le pic devient moins haut et moins dangereux.

2 Drill OM-C.2 — décider quel immeuble entre en résonance

Entraînement 02 / 04

Drill OM-C.2 — décider quel immeuble entre en résonance

3 questionsCorrigé masqué

Un séisme impose une fréquence dominante $f_e=0{,}80\,\text{Hz}$ . Les fréquences propres de deux immeubles A et B sont $f_{0A}=0{,}78\,\text{Hz}$ et $f_{0B}=1{,}60\,\text{Hz}$ .

Identifier l'immeuble le plus exposé à une forte amplitude et justifier.
Préciser l'excitateur et le résonateur.
Si la fréquence dominante devient $1{,}55\,\text{Hz}$ , expliquer comment le diagnostic change.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Premier séisme. $|0{,}80-0{,}78|=0{,}02\,\text{Hz}$ alors que $|0{,}80-1{,}60|=0{,}80\,\text{Hz}$ . A est le résonateur le plus exposé : sa fréquence propre est proche de l'excitation.

2. Acteurs. L'excitateur est le séisme ; le résonateur est l'immeuble A. La résonance d'élongation se manifeste par des oscillations importantes.

3. Nouvelle fréquence. Pour $f_e=1{,}55\,\text{Hz}$ , l'écart avec B n'est plus que $0{,}05\,\text{Hz}$ : B devient le bâtiment le plus exposé. Le diagnostic dépend de l'accord des fréquences, pas d'une propriété absolue de l'immeuble.

3 Drill OM-C.3 — distinguer force intense et accord de fréquence

Entraînement 03 / 04

Drill OM-C.3 — distinguer force intense et accord de fréquence

3 questionsCorrigé masqué

Le même oscillateur est testé deux fois. Dans l'essai 1, une force de faible amplitude agit à $0{,}99f_0$ et produit $X_m=8{,}0\,\text{cm}$ . Dans l'essai 2, une force deux fois plus intense agit à $2{,}0f_0$ et produit seulement $X_m=3{,}0\,\text{cm}$ .

Identifier l'essai résonant et justifier sans utiliser seulement l'intensité de la force.
Expliquer pourquoi l'amplitude peut être plus grande dans l'essai 1.
Formuler le critère fréquentiel qui manque à l'affirmation « une force plus intense produit toujours la plus grande oscillation ».

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Diagnostic. L'essai 1 est résonant puisque $0{,}99f_0$ est très proche de la fréquence propre. L'essai 2 est loin de l'accord malgré une force plus intense.

2. Explication. À la fréquence de résonance, le système accumule de l'énergie au fil des périodes ; ses oscillations deviennent importantes et l'amplitude atteint ici $8{,}0\,\text{cm}$ .

3. Critère. L'amplitude dépend à la fois de l'excitation et de la proximité entre sa fréquence et la fréquence propre. Une intensité plus grande ne garantit donc pas la résonance d'élongation.

4 Drill OM-C.4 — amplitude forcée, résonance d'élongation et résonance de vitesse

Entraînement 04 / 04

Drill OM-C.4 — amplitude forcée, résonance d'élongation et résonance de vitesse

3 questionsCorrigé masqué

Un pendule élastique ( $m=0{,}50\,\mathrm{kg}$ , $K=50\,\mathrm{N\,m^{-1}}$ ) soumis à un frottement visqueux $h=2{,}0\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$ est excité par une force sinusoïdale d'amplitude $F_m=0{,}40\,\mathrm{N}$ et de fréquence $N$ réglable : oscillations forcées. On admet $X_m=\dfrac{F_m}{\sqrt{h^2\omega^2+(K-m\omega^2)^2}}$ .

Calculer $N_0$ et l'amplitude $X_m$ quand $N=N_0$ , puis la limite de $X_m$ aux très basses fréquences.
Calculer la fréquence $N_r$ de la résonance d'élongation et vérifier qu'elle existe.
Par l'analogie électrique–mécanique, donner la fréquence et l'amplitude $V_m$ à la résonance de vitesse, puis la puissance mécanique moyenne reçue.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

Idée : l'amplitude est maximale un peu avant $N_0$ ; la vitesse, elle, est maximale exactement à $N_0$ .

1. $\omega_0=\sqrt{K/m}=10\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ , $N_0=\boxed{1{,}59\,\mathrm{Hz}}$ . À $\omega_0$ , $K-m\omega_0^2=0$ : $X_m=\dfrac{F_m}{h\omega_0}=\dfrac{0{,}40}{2{,}0\times10}=\boxed{2{,}0\times10^{-2}\,\mathrm{m}}$ . Pour $\omega\to0$ : $X_m\to F_m/K=\boxed{8{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{m}}$ .

2. $\omega_r^2=\omega_0^2-\dfrac{h^2}{2m^2}=100-\dfrac{4{,}0}{0{,}50}=92\,\mathrm{s^{-2}}$ , $\omega_r=9{,}59\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ , $N_r=\boxed{1{,}53\,\mathrm{Hz}}<N_0$ . Elle existe car $h=2{,}0<\sqrt{2Km}=7{,}07\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$ . Amplitude à la résonance : $X_m=\dfrac{0{,}40}{\sqrt{4{,}0\times92+(50-46)^2}}=2{,}04\times10^{-2}\,\mathrm{m}$ , à peine plus qu'à $N_0$ .

3. $h\leftrightarrow R$ , $v\leftrightarrow i$ : comme $I_m=U_m/R$ à $N_0$ , $V_m=F_m/h=\boxed{0{,}20\,\mathrm{m\,s^{-1}}}$ à $N=N_0$ . $P=\tfrac12hV_m^2=\tfrac12\times2{,}0\times0{,}20^2=\boxed{4{,}0\times10^{-2}\,\mathrm{W}}$ .

Relier ce raisonnement au bac

Choisis une filière pour voir les sujets qui étayent ce scénario.

Tu écris. Tu continues.

Où veux-tu aller ?

Oscillations mécaniques forcées — résonance d'élongation et de vitesse

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

Changer d’énoncé, garder le raisonnement

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Drill OM-C.1 — exploiter une courbe de résonance

Drill OM-C.2 — décider quel immeuble entre en résonance

Drill OM-C.3 — distinguer force intense et accord de fréquence

Drill OM-C.4 — amplitude forcée, résonance d'élongation et résonance de vitesse

Relier ce raisonnement au bac