OM-EOscillations mécaniques

Oscillateur mécanique libre : exploiter l'enregistrement $x(t)$ pour remonter à $m$ puis à la vitesse

Idée directrice

Ici l'énoncé ne donne ni la masse ni les conditions initiales : il donne l'enregistrement de $x(t)$ . Toute la trajectoire part de trois lectures sur le tracé — l'élongation à $t=0$ (donc l'état du ressort), l'amplitude $X_m$ et la période propre $T_0$ — dont on tire $\omega_0 = 2\pi/T_0$ , puis la grandeur manquante par $\omega_0^2 = k/m$ , et enfin l'énergie mécanique $E = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}kx^2$ qui livre la vitesse au passage par la position d'équilibre. C'est l'entrée inverse de celle du pendule où l'on part du principe fondamental de la dynamique.

Signature de reconnaissance — l'énoncé se trahit ainsi

« Determiner, a partir de la courbe de la figure 2 : l'état du ressort a l'instant t = 0 » ; « En exploitant la courbe de la Figure 2 » ; « la valeur de l'amplitude Xm des oscillations de G » ; « la valeur de la periode To de ces oscillations » ; « Calculer la valeur de l'énergie mecanique Eo du systeme (solide (S), ressort (R)) a l'instant t = 0 » ; « Deduire la valeur de la vitesse V1 de (S) lors de son premier passage par sa position d'équilibre »

Sujet principal

Exercice — dans l'esprit des sujets du bac

4 questionsFigure fournieCorrigé masqué

Un solide (S), supposé ponctuel, de masse $m$ inconnue, est attaché à l'une des extrémités d'un ressort (R) à spires non jointives, de raideur $k = 25\,\text{N}\cdot\text{m}^{-1}$ et de masse négligeable devant $m$ . L'autre extrémité du ressort est maintenue fixe. Le solide (S) glisse sans frottement sur un banc à coussin d'air, suivant la direction d'un axe horizontal $(x'x)$ .

La position du centre d'inertie $G$ de (S) est repérée par son abscisse $x$ dans le repère $(O,\vec\imath)$ , où $O$ est la position de $G$ à l'équilibre et $\vec\imath$ est orienté du support fixe vers le solide (S). On note $\vec v = v\,\vec\imath$ le vecteur vitesse de $G$ . Le plan horizontal passant par $G$ est pris comme plan de référence de l'énergie potentielle de pesanteur ( $E_{pp} = 0$ ).

On écarte (S) de sa position d'équilibre d'une distance $d$ , puis on l'abandonne sans vitesse initiale à l'instant $t = 0$ . Un dispositif d'acquisition enregistre l'élongation $x(t)$ de $G$ : on obtient la courbe de la figure 1.

En exploitant la courbe de la figure 1 :
1. préciser, en le justifiant, si le ressort est allongé ou comprimé à l'instant $t = 0$ ;
2. relever la valeur de l'amplitude $X_m$ des oscillations de $G$ et celle de la période propre $T_0$ ;
3. en déduire la valeur de la distance $d$ dont (S) a été écarté.
Analyse du mouvement :
1. préciser, en le justifiant, si les oscillations de $G$ sont libres non amorties, libres amorties ou forcées ;
2. calculer la valeur de la pulsation propre $\omega_0$ ;
3. sachant que $\omega_0^2 = \dfrac{k}{m}$ , exprimer $m$ en fonction de $k$ et $T_0$ puis calculer $m$ .
Bilan énergétique du système {solide (S), ressort (R), Terre} :
1. écrire, à un instant $t$ , l'expression de l'énergie mécanique $E$ en fonction de $m$ , $k$ , $x$ et $v$ ;
2. calculer la valeur $E_0$ de cette énergie mécanique à l'instant $t = 0$ ;
3. en déduire la valeur $|v_1|$ de la vitesse de $G$ lors de son premier passage par la position d'équilibre.
On refait l'expérience après avoir plongé (S) dans un liquide visqueux. Les oscillations deviennent pseudo-périodiques : l'élongation maximale vaut encore $4{,}0\,\text{cm}$ à $t = 0$ , mais elle n'est plus que $X_3 = 2{,}4\,\text{cm}$ à l'instant $t_3$ , trois pseudo-périodes plus tard, où la vitesse de $G$ est de nouveau nulle.
1. calculer l'énergie mécanique $E_3$ du système à l'instant $t_3$ ;
2. en déduire l'énergie perdue entre $t = 0$ et $t_3$ et préciser, en le justifiant, si le système est conservatif.

Voir la correction commentéeAprès avoir posé votre démarche

1. Idée : rien n'est calculable avant d'avoir fait parler le tracé ; on lit d'abord, on interprète ensuite.

a. La courbe de la figure 1 donne $x(0) = +4{,}0\,\text{cm}$ . Comme $\vec\imath$ est orienté du support fixe vers (S), une abscisse positive signifie que $G$ s'est éloigné du support : le ressort est donc allongé à $t = 0$ .

b. Sur le tracé, l'élongation oscille entre $+4{,}0\,\text{cm}$ et $-4{,}0\,\text{cm}$ : $X_m = 4{,}0\,\text{cm}$ . Deux maxima consécutifs sont séparés de $0{,}4\,\text{s}$ : $T_0 = 0{,}40\,\text{s}$ (on retrouve bien $2{,}5$ motifs sur l'intervalle affiché de $1{,}0\,\text{s}$ ).

c. (S) est lâché sans vitesse initiale : à $t = 0$ toute l'élongation est de l'écart initial, donc $d = X_m = 4{,}0\,\text{cm}$ .

2. a. Idée : l'allure du tracé nomme le régime. L'amplitude reste la même d'une période à l'autre et aucune excitation extérieure n'est imposée : les oscillations sont libres non amorties.

\omega_0 = \dfrac{2\pi}{T_0} = \dfrac{2\pi}{0{,}40} \approx 15{,}7\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}

c. De $\omega_0^2 = k/m$ on tire $m = \dfrac{k}{\omega_0^2} = \dfrac{k\,T_0^2}{4\pi^2}$ .

m = \dfrac{25 \times (0{,}40)^2}{4\pi^2} \approx \boxed{0{,}10\ \text{kg}}

3. a. Idée : le plan de référence choisi annule l'énergie potentielle de pesanteur ; il ne reste que le terme élastique et le terme cinétique.

E = E_c + E_{pe} = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2 + \tfrac{1}{2}\,k\,x^2

b. À $t = 0$ la vitesse est nulle et $x = X_m$ , si bien que toute l'énergie est élastique :

E_0 = \tfrac{1}{2}\,k\,X_m^2 = \tfrac{1}{2}\times 25 \times (4{,}0\times10^{-2})^2 = \boxed{2{,}0\times10^{-2}\ \text{J}}

c. Sans frottement, $E$ garde la même valeur à chaque instant. Au premier passage par la position d'équilibre $x = 0$ , tout est cinétique : $\tfrac{1}{2}m v_1^2 = E_0$ , d'où $|v_1| = \sqrt{2E_0/m}$ .

|v_1| = \sqrt{\dfrac{2 \times 2{,}0\times10^{-2}}{0{,}10}} \approx \boxed{0{,}63\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}

On peut contrôler ce résultat autrement : pour un oscillateur harmonique $|v_{\max}| = \omega_0 X_m = 15{,}7 \times 4{,}0\times10^{-2} \approx 0{,}63\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ — les deux voies concordent, ce qui valide la valeur de $m$ .

4. a. À l'instant $t_3$ la vitesse est nulle, donc l'énergie mécanique y est encore purement élastique :

E_3 = \tfrac{1}{2}\,k\,X_3^2 = \tfrac{1}{2}\times 25 \times (2{,}4\times10^{-2})^2 \approx 7{,}2\times10^{-3}\ \text{J}

b. La variation vaut $\Delta E = E_3 - E_0 \approx -1{,}3\times10^{-2}\,\text{J}$ . Cette perte est le travail, résistant, de la force de frottement visqueux ; elle est passée dans le liquide sous forme de transfert thermique. L'énergie mécanique ne se conserve donc pas : le système n'est pas conservatif.

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Entraînement 01 / 02

Drill OM-E.1 — du relevé chronométrique à la raideur

3 questionsCorrigé masqué

Un solide (S) de masse $m = 0{,}20\,\text{kg}$ est accroché à un ressort horizontal à spires non jointives, de raideur $k$ inconnue, et glisse sans frottement suivant l'axe $(x'x)$ . On l'écarte de sa position d'équilibre puis on le lâche sans vitesse initiale.

Sur l'enregistrement de $x(t)$ , on mesure la durée de 10 oscillations complètes : $\Delta t = 6{,}28\,\text{s}$ . Le même enregistrement montre que l'élongation varie entre $-5{,}0\,\text{cm}$ et $+5{,}0\,\text{cm}$ .

Déterminer la période propre $T_0$ puis la pulsation propre $\omega_0$ de l'oscillateur.
Exprimer la raideur $k$ en fonction de $m$ et $T_0$ , puis calculer sa valeur.
Préciser la nature du mouvement de $G$ et écrire son équation horaire $x(t)$ sachant qu'à $t = 0$ l'élongation vaut $+5{,}0\,\text{cm}$ .

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Idée : la période ne se lit pas sur une seule oscillation ; on en chronomètre plusieurs et on divise, ce qui divise aussi l'incertitude.

T_0 = \dfrac{\Delta t}{10} = \dfrac{6{,}28}{10} = 0{,}628\ \text{s} \qquad ; \qquad \omega_0 = \dfrac{2\pi}{T_0} = 10{,}0\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}

2. De $\omega_0^2 = k/m$ on tire $k = m\,\omega_0^2 = \dfrac{4\pi^2 m}{T_0^2}$ .

k = 0{,}20 \times (10{,}0)^2 = \boxed{20\ \text{N}\cdot\text{m}^{-1}}

3. L'amplitude reste constante et aucune excitation n'est imposée : le mouvement est rectiligne sinusoïdal, d'amplitude $X_m = 5{,}0\,\text{cm}$ . En écrivant $x(t) = X_m\sin(\omega_0 t + \varphi_0)$ , la condition $x(0) = +X_m$ impose $\sin\varphi_0 = 1$ , soit $\varphi_0 = \pi/2\ \text{rad}$ ; la vitesse initiale nulle est alors automatiquement vérifiée.

x(t) = 5{,}0\times10^{-2}\,\sin\!\left(10{,}0\,t + \dfrac{\pi}{2}\right)\quad (x \text{ en m}, t \text{ en s})

Entraînement 02 / 02

Drill OM-E.2 — remonter à l'amplitude et au régime par l'énergie

3 questionsCorrigé masqué

Un solide de masse $m = 0{,}25\,\text{kg}$ oscille horizontalement au bout d'un ressort de raideur $k = 40\,\text{N}\cdot\text{m}^{-1}$ , sans frottement. Le plan horizontal passant par le centre d'inertie est pris comme plan de référence de l'énergie potentielle de pesanteur.

Un dispositif d'acquisition donne l'énergie mécanique du système {solide, ressort, Terre} : elle vaut $E = 8{,}0\times10^{-2}\,\text{J}$ et garde cette valeur tout au long de l'enregistrement.

Justifier, à partir de la seule constance de $E$ , que le système est conservatif.
En déduire l'amplitude $X_m$ des oscillations puis la valeur maximale de la vitesse du solide.
On reprend l'expérience en ajoutant un frein visqueux. L'énergie mécanique relevée passe de $8{,}0\times10^{-2}\,\text{J}$ à $5{,}0\times10^{-2}\,\text{J}$ en $2{,}0\,\text{s}$ . Calculer la puissance moyenne dissipée et préciser le nom du régime d'oscillations si le solide effectue encore plusieurs allers-retours.

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Idée : l'énergie mécanique est ici le relevé de mesure ; c'est elle qui remplace la lecture d'amplitude.

1. L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle élastique. Sa variation entre deux dates est égale au travail des forces intérieures dissipatives et des forces extérieures autres que le poids. Elle reste constante, donc ce travail est nul : aucune force ne dissipe d'énergie, le système est conservatif.

2. À l'élongation maximale la vitesse est nulle, donc $E = \tfrac{1}{2}k X_m^2$ :

X_m = \sqrt{\dfrac{2E}{k}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 8{,}0\times10^{-2}}{40}} = \boxed{6{,}3\times10^{-2}\ \text{m}}

Au passage par la position d'équilibre l'élongation est nulle, donc $E = \tfrac{1}{2}m v_{\max}^2$ :

|v_{\max}| = \sqrt{\dfrac{2E}{m}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 8{,}0\times10^{-2}}{0{,}25}} = \boxed{0{,}80\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}

3. L'énergie perdue vaut $\Delta E = 3{,}0\times10^{-2}\,\text{J}$ en $2{,}0\,\text{s}$ , soit une puissance moyenne dissipée $\mathcal{P} = 1{,}5\times10^{-2}\,\text{W}$ . Le solide continue d'osciller de part et d'autre de sa position d'équilibre tout en perdant de l'amplitude : le régime est pseudo-périodique, et non apériodique — ce dernier correspondrait à un retour à l'équilibre sans aucune oscillation.

Méthode / Automatismes

Lire d'abord, calculer ensuite : élongation à $t=0$ , amplitude $X_m$ , période $T_0$ — trois nombres pris sur le tracé avant toute formule.
Le signe de $x(0)$ ne se traduit en « allongé / comprimé » qu'une fois l'orientation de $\vec\imath$ repérée dans l'énoncé.
$\omega_0 = 2\pi/T_0$ puis $\omega_0^2 = k/m$ : c'est ce couple qui fait passer du graphe à la grandeur manquante ( $m$ ou $k$ ).
Choisir l'instant où l'énergie se calcule le plus vite : à l'amplitude ( $v=0$ , tout est élastique), à l'équilibre ( $x=0$ , tout est cinétique).
Comparer deux valeurs de $E$ prises à deux dates : leur écart, et lui seul, décide du caractère conservatif.

Pièges classiques

Lire l'amplitude de crête à crête ( $8{,}0\,\text{cm}$ ici) au lieu de la crête ( $4{,}0\,\text{cm}$ ) : l'énergie est alors multipliée par 4.
Prendre pour $T_0$ l'intervalle entre deux passages consécutifs par zéro : c'est une demi-période.
Confondre $\omega_0$ (en $\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ ) et la fréquence propre $N_0 = 1/T_0$ (en Hz).
Ajouter un terme d'énergie potentielle de pesanteur alors que le plan de référence passe par $G$ et que le mouvement est horizontal.
Conclure « non conservatif » sans avoir calculé les deux énergies : c'est l'écart chiffré qui justifie, pas l'allure.

Oscillateur mécanique libre : exploiter l'enregistrement x(t)x(t)x(t) pour remonter à mmm puis à la vitesse

Exercices d'entraînement — une nuance à la fois

Oscillateur mécanique libre : exploiter l'enregistrement $x(t)$ pour remonter à $m$ puis à la vitesse